Subiectul I.1 (5p · progresie geometrică)
Calculați termenul \(b_4\) al progresiei geometrice \(\left(b_n\right)_{n\ge1}\), știind că \(b_1=\sqrt2\) și \(b_2=4\).
Simulare Bac 2022 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate
Publicitate
Subiectele oficiale de la simularea națională a Bacalaureatului 2022, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), susținută de elevii de clasa a XII-a marți, 29 martie 2022, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Simularea nu contează la nota finală de la Bacalaureat, dar are exact structura examenului din iunie.
Ca la examen, proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2022 M2, sesiunea iunie–iulie.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(b_4=32\) |
| I.2 | \(m=1\) |
| I.3 | \(x=0\) |
| I.4 | \(p=\frac12\) |
| I.5 | \(d:\ y=3x-3\) |
| I.6 | \(\mathcal{A}=9\sqrt3\) |
| II.1 | a) \(1\); b) \(x=2\); c) \((-1,-1)\), \((1,1)\) |
| II.2 | a) \(8\); b) \(e=1\); c) diferența este \(\ge0\) |
| III.1 | b) \(a=1\); c) \(f\) strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\) |
| III.2 | a) \(e\); b) \(-1\); c) \(a=-2\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul al II-lea)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx^2-2x+1\), unde \(m\) este număr real nenul. Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Axa \(Ox\) este tangentă parabolei dacă și numai dacă ecuația \(f(x)=0\) are o singură soluție (dublă), adică \(\Delta=0\):
Verificare: \(f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\), al cărei grafic atinge axa \(Ox\) doar în punctul \((1,0)\). ✓
Răspuns: \(m=1\).
Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.
Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^{x+2}-3^x-6\cdot3^{x-1}=6\).
Vezi rezolvarea
Dăm factor comun \(3^{x-1}\), folosind \(3^{x+2}=3^3\cdot3^{x-1}\) și \(3^x=3\cdot3^{x-1}\):
Funcția exponențială este injectivă, deci \(x-1=-1\), adică \(x=0\). Verificare: \(9-1-6\cdot\frac13=6\). ✓
Răspuns: \(x=0\).
Vezi și: Ecuații exponențiale.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(2n-60\) să aparțină mulțimii \(A\).
Vezi rezolvarea
\(A=\{10,11,\dots,99\}\) are \(90\) de elemente, deci sunt \(90\) de cazuri posibile.
\(2n-60\in A\) dacă și numai dacă \(10\le2n-60\le99\), adică \(70\le2n\le159\), deci \(35\le n\le79\) (\(n\) natural). Sunt \(79-35+1=45\) de cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\frac12\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · ecuația dreptei, drepte perpendiculare)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-1,4)\), \(B(5,2)\) și \(C\), mijlocul segmentului \(AB\). Determinați ecuația dreptei \(d\) care trece prin punctul \(C\) și este perpendiculară pe dreapta \(AB\).
Vezi rezolvarea
Panta dreptei \(AB\):
Cum \(d\perp AB\), \(m_d\cdot m_{AB}=-1\), deci \(m_d=3\).
Mijlocul segmentului: \(C\left(\frac{-1+5}{2},\frac{4+2}{2}\right)=C(2,3)\). Ecuația dreptei \(d\):
Răspuns: \(d:\ y=3x-3\).
Vezi și: Drepte paralele și perpendiculare, Ecuația dreptei.
Subiectul I.6 (5p · aria triunghiului cu sinus)
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), cu măsura unghiului \(A\) egală cu \(120^\circ\) și \(AB=6\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(9\sqrt3\).
Vezi rezolvarea
Unghiul de \(120^\circ\) este obtuz, deci el este unghiul din vârful triunghiului isoscel: \(AC=AB=6\).
Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABC}=9\sqrt3\).
Vezi și: Aria triunghiului.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=xI_2+iA\), unde \(x\) este număr real și \(i^2=-1\).
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det A=1\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det A=1\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)
Determinați numărul real \(x\) pentru care \(B(3)\cdot B(5)=8B(x)\).
Vezi rezolvarea
Observăm mai întâi că
deci \(i^2A\cdot A=(-1)(-I_2)=I_2\).
Cum \(8B(x)=8xI_2+8iA\), egalitatea \(8B(2)=8B(x)\) are loc doar pentru \(x=2\).
Răspuns: \(x=2\).
Subiectul II.1 c) (5p · matrice neinversabilă, numere complexe)
Determinați perechile \((m,n)\) de numere întregi pentru care matricea \(B(m)+iB(n)\) nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
Desfacem parantezele, cu \(i\cdot iA=-A\):
deci
unde am folosit \((i-1)^2=i^2-2i+1=-2i\).
Matricea nu este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este \(0\):
Un număr complex este zero dacă partea reală și partea imaginară sunt zero: \(m^2=n^2\) și \(mn=1\). Cu \(m,n\) întregi, \(mn=1\) dă \((m,n)=(1,1)\) sau \((m,n)=(-1,-1)\), și ambele verifică \(m^2=n^2\).
Răspuns: \((m,n)\in\{(-1,-1),\,(1,1)\}\).
Vezi și: Matrice inversabilă, Numere complexe.
2. Pe mulțimea \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}\).
Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)
Arătați că \(2*5=8\).
Subiectul II.2 b) (5p · element neutru)
Arătați că \(e=1\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.
Vezi rezolvarea
\(1\in M\) și, pentru orice \(x\in M\):
Deci \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.
Răspuns: \(x*1=1*x=x\) pentru orice \(x\in M\), deci \(e=1\).
Vezi și: Structuri algebrice.
Subiectul II.2 c) (5p · inegalitate cu lege de compoziție)
Demonstrați că \((nx)*y\ge x(n*y)\), pentru orice \(x,\,y\in M\) și orice număr natural \(n\), \(n\ge2\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\ge1\) și \(n\ge2\), \(nx\ge2\), deci \(nx\in M\) și \(n\in M\). Scriem cele două membre:
Diferența lor, după ce amplificăm cu conjugata (numitorul este pozitiv, deoarece \(nx-1\ge1\)):
Numărătorul se descompune:
Deci
Avem \(\sqrt{y-1}\ge0\), \(x-1\ge0\), iar pentru \(x\ge1\) și \(n\ge2\):
Toți factorii sunt nenegativi, deci diferența este \(\ge0\).
Răspuns: \((nx)*y-x(n*y)\ge0\), deci \((nx)*y\ge x(n*y)\) pentru orice \(x,y\in M\), \(n\ge2\).
Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4\sqrt x}{x^2+3}\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)
Arătați că \(f'(x)=\dfrac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt x\left(x^2+3\right)^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Cu \(\left(4\sqrt x\right)'=\frac{2}{\sqrt x}\) și \(\left(x^2+3\right)'=2x\):
Amplificăm cu \(\sqrt x\) (folosind \(\sqrt x\cdot\sqrt x=x\)):
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{6\left(1-x^2\right)}{\sqrt x\left(x^2+3\right)^2}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · tangentă paralelă cu Ox)
Determinați \(a\in(0,+\infty)\), știind că tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A\big(a,f(a)\big)\) este paralelă cu axa \(Ox\).
Vezi rezolvarea
Panta tangentei în \(A\) este \(f'(a)\). Tangenta este paralelă cu \(Ox\) dacă și numai dacă panta este \(0\):
Cum \(a\in(0,+\infty)\), obținem \(a=1\).
Răspuns: \(a=1\).
Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Demonstrați că \(\dfrac{\sqrt x}{x^2+3}\gt\dfrac{\sqrt{x+\frac1x}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\gt1\), \(1-x^2\lt0\), deci \(f'(x)\lt0\): \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).
Cum \(\frac1x\gt0\), avem \(1\lt x\lt x+\frac1x\), deci \(f(x)\gt f\left(x+\frac1x\right)\). Calculăm:
așadar
Împărțind la \(4\) se obține inegalitatea cerută.
Răspuns: \(f\) este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\) și \(x\lt x+\frac1x\), deci \(f(x)\gt f\left(x+\frac1x\right)\), adică inegalitatea cerută.
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x}\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 e^xf(x)\,dx=e\).
Vezi rezolvarea
\(e^xf(x)=e^x+2x\), deci, cu formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(e\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrare prin părți)
Arătați că \(\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx=-1\).
Vezi rezolvarea
Despărțim fracția: \(f(x)=1+2xe^{-x}\). Pentru \(\int 2xe^{-x}\,dx\) integrăm prin părți, cu \(e^{-x}=\left(-e^{-x}\right)'\):
Răspuns: integrala este egală cu \(-1\).
Vezi și: Integrarea prin părți.
Subiectul III.2 c) (5p · primitivă, integrare prin părți)
Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\displaystyle\int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=\frac{a(e+1)}{e^2}\), unde \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) cu proprietatea \(F(0)=0\).
Vezi rezolvarea
\(F'(x)=f(x)\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\). Integrăm prin părți (\(f''=(f')'\)), apoi observăm că \(f\cdot f'=\left(\frac{f^2}{2}\right)'\):
Derivata funcției \(f(x)=1+2xe^{-x}\) este
deci \(f'(1)=0\); iar \(F(0)=0\). Rămâne doar ultimul termen, cu \(f(1)=1+\frac2e\) și \(f(0)=1\):
Răspuns: \(a=-2\).
Vezi și: Primitive, Integrarea prin părți.
Ce s-a cerut la simularea Bac 2022 M2
Subiectul I a cuprins o progresie geometrică, funcția de gradul al II-lea (axa \(Ox\) tangentă la parabolă), o ecuație exponențială, o probabilitate, ecuația unei drepte perpendiculare și aria unui triunghi cu sinus. Subiectul al II-lea a avut matrice cu elemente complexe și o lege de compoziție cu radical, iar Subiectul al III-lea derivate, tangenta paralelă cu \(Ox\), o inegalitate prin monotonie, integrale definite și o integrală cu primitiva \(F\) rezolvată prin părți.
La simulare nu există extragere de variante: Ministerul Educației / CNPEE a dat un singur subiect pentru profilul științele naturii, publicat împreună cu baremul pe subiecte.edu.ro, în arhiva simulării din 2022.
Întrebări frecvente
Contează simularea Bac 2022 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2022 (29 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același barem de notare.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2022 M2? De obicei II.2 c) și III.2 c). La II.2 c) diferența celor doi membri se scrie ca produs de factori nenegativi după amplificarea cu conjugata; la III.2 c) se integrează prin părți și se observă că \(f'(1)=0\) și \(F(0)=0\), deci rămâne doar \(-\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}\).
Alte subiecte
Bac 2022 M2 rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2023 M2 rezolvată · Simulare Bac 2021 M2 rezolvată
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.