Subiectul I.1 (5p · Numere complexe)
Se consideră numerele complexe \(z_1=1-i\) și \(z_2=2+i\). Arătați că \(2z_1+iz_2=1\).
Bacalaureat 2025 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie
Subiectul oficial de Bacalaureat 2025 la matematică M_mate-info (M1), sesiunea iunie–iulie (varianta 1), rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Pentru fiecare item ai enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și linkuri către formulele folosite.
Proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică (și filiera vocațională, profil militar, mate-info). Toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · Compunerea funcțiilor)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(a)=9\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
\(f(a)=a+3\), deci \((f\circ f)(a)\)\(=f(a+3)\)\(=(a+3)+3\)\(=a+6\).
\(a+6=9\), de unde \(a=3\). Verificare: \(f(3)=6\), \(f(6)=9\) ✓.
Răspuns: \(a=3\)
Formule utile: Funcții — noțiuni introductive (compunere)
Subiectul I.3 (5p · Ecuație irațională)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2-3x+2}\)\(=x\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Condiții: membrul stâng este nenegativ, deci \(x\ge0\). Radicandul \(2x^2-3x+2\) are \(\Delta=9-16\lt0\), deci este mereu pozitiv.
Ridicăm la pătrat: \(2x^2-3x+2\)\(=x^2\)\(\iff x^2-3x+2\)\(=0\)\(\iff(x-1)(x-2)\)\(=0\).
\(x=1\) și \(x=2\) verifică \(x\ge0\). Verificare: \(\sqrt{1}=1\) ✓, \(\sqrt{8-6+2}=2\) ✓.
Răspuns: \(S=\{1,\,2\}\)
Formule utile: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea
Subiectul I.4 (5p · Probabilități)
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului \(2^6\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\): 90 de cazuri posibile.
Divizorii lui \(2^6=64\) sunt \(1,2,4,8,16,32,64\); dintre ei au două cifre \(16,32,64\): 3 cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\dfrac{1}{30}\)
Formule utile: Probabilități, Puteri
Subiectul I.5 (5p · Geometrie analitică)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,1)\), \(B(5,0)\), \(C(6,3)\) și \(D(a,b)\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Determinați numerele reale \(a\) și \(b\), știind că segmentele \(AC\) și \(BD\) au același mijloc.
Vezi rezolvarea pas cu pas
Mijlocul lui \(AC\): \(\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+3}{2}\right)\)\(=(3,2)\). Mijlocul lui \(BD\): \(\left(\frac{5+a}{2},\frac{b}{2}\right)\).
Egalând: \(\frac{5+a}{2}\)\(=3\)\(\Rightarrow a\)\(=1\) și \(\frac b2\)\(=2\)\(\Rightarrow b\)\(=4\). (Atunci \(ABCD\) este paralelogram.)
Răspuns: \(a=1,\ b=4\), adică \(D(1,4)\)
Formule utile: Coordonatele mijlocului unui segment
Subiectul I.6 (5p · Triunghiul dreptunghic)
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB=2\) și \(\operatorname{tg}B\)\(=3\). Arătați că \(BC=2\sqrt{10}\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
În triunghiul dreptunghic în \(A\): \(\operatorname{tg}B\)\(=\dfrac{AC}{AB}\), deci \(AC=3\cdot2=6\).
Teorema lui Pitagora: \(BC^2\)\(=AB^2+AC^2\)\(=4+36\)\(=40\), deci \(BC\)\(=\sqrt{40}\)\(=2\sqrt{10}\).
Răspuns: \(BC=2\sqrt{10}\)
Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea \(A(x)\)\(=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Subiectul II.1.a) (5p · Determinanți)
Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)\(=8\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
\(A(1)\)\(=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&2&0\\-9&0&5\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:
(Sau, dezvoltând după linia a doua: \(2\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\-9&5\end{vmatrix}\)\(=2(-5+9)\)\(=8\).)
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)\(=8\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
Subiectul II.1.b) (5p · Înmulțirea matricelor)
Arătați că \(A(x)\cdot A(y)\)\(=2A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Înmulțim linie cu coloană. De exemplu, elementul de pe poziția \((1,1)\): \((2-3x)(2-3y)+x\cdot(-9y)\)\(=4-6x-6y\); poziția \((1,3)\): \((2-3x)y+x(2+3y)\)\(=2x+2y\). Analog pentru celelalte:
Răspuns: \(A(x)A(y)=2A(x+y)\) pentru orice \(x,y\in\mathbb{R}\).
Formule utile: Matrice și determinanți
Subiectul II.1.c) (5p · Ecuații matriceale)
Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\big(A(x)+A(3x)\big)\cdot A(2x)\)\(=4A(x^2)\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Elementele lui \(A(x)\) sunt de forma „constantă + multiplu de \(x\)”, deci \(A(x)+A(3x)\)\(=2A\left(\frac{x+3x}{2}\right)\)\(=2A(2x)\) (de exemplu \((2-3x)+(2-9x)\)\(=2(2-6x)\)).
Folosind b): \(\big(A(x)+A(3x)\big)A(2x)\)\(=2A(2x)A(2x)\)\(=2\cdot2A(4x)\)\(=4A(4x)\).
Ecuația devine \(4A(4x)=4A(x^2)\), adică \(A(4x)=A(x^2)\); comparând elementul de pe poziția \((1,3)\): \(4x\)\(=x^2\)\(\iff x(x-4)\)\(=0\).
Răspuns: \(x=0\) sau \(x=4\)
2. Se consideră polinomul \(f=aX^3+3X^2-aX-6\), unde \(a\) este număr real nenul.
Subiectul II.2.a) (5p · Polinoame)
Arătați că \(f(1)=-3\), pentru orice număr real nenul \(a\).
Subiectul II.2.b) (5p · Împărțirea polinoamelor)
Pentru \(a=1\), determinați câtul și restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g=X^2+3X-1\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Pentru \(a=1\): \(f=X^3+3X^2-X-6\). Observăm că \(X\cdot g\)\(=X^3+3X^2-X\), deci
Restul \(-6\) are gradul \(0\)\(\lt2\)\(=\operatorname{grad}g\), deci aceasta este împărțirea cu rest.
Răspuns: Câtul este \(X\), restul este \(-6\).
Formule utile: Polinoame (teorema împărțirii cu rest)
Subiectul II.2.c) (5p · Relațiile lui Viète)
Determinați numărul real nenul \(a\) pentru care \((1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)\)\(=1\), unde \(x_1,x_2,x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Din \(f\)\(=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\) obținem \(f(-1)\)\(=a(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)\)\(=-a(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)\), deci
\(f(-1)=-a+3+a-6=-3\), deci produsul este \(\dfrac3a\). Din \(\dfrac3a=1\) rezultă \(a=3\).
Verificare cu Viète: \(s_1=-\frac3a\), \(s_2=-1\), \(s_3=\frac6a\), iar \((1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)\)\(=1+s_1+s_2+s_3\)\(=1-\frac3a-1+\frac6a\)\(=\frac3a\) ✓.
Răspuns: \(a=3\)
Formule utile: Polinoame — relațiile lui Viète
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=2x+\ln\dfrac{x}{x+2}\).
Subiectul III.1.a) (5p · Derivate)
Arătați că \(f'(x)\)\(=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\), \(x\in(0,+\infty)\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
Pentru \(x\gt0\), \(\ln\dfrac{x}{x+2}\)\(=\ln x-\ln(x+2)\), deci
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Subiectul III.1.b) (5p · Asimptote)
Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
deoarece \(\ln\dfrac{x}{x+2}\to\ln1\)\(=0\).
Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) este \(y=2x\).
Formule utile: Asimptote oblice, calculator asimptote
Subiectul III.1.c) (5p · Funcții bijective)
Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă.
Vezi rezolvarea pas cu pas
Injectivitate: pentru orice \(x\gt0\), \(f'(x)\)\(=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\)\(\gt0\), deci \(f\) este strict crescătoare, prin urmare injectivă.
Surjectivitate: \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\)\(=0+\ln0^+\)\(=-\infty\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)\(=+\infty\) (căci \(2x\to+\infty\) și \(\ln\frac{x}{x+2}\to0\)). Funcția este continuă, deci are proprietatea lui Darboux și ia toate valorile din \((-\infty,+\infty)\): \(f\) este surjectivă.
Răspuns: \(f\) este injectivă și surjectivă, deci bijectivă.
Formule utile: Proprietățile funcțiilor (injectivitate, surjectivitate), Monotonie cu derivata
2. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{x^2}{(x+1)^3}\).
Subiectul III.2.a) (5p · Integrala definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx\)\(=9\).
Subiectul III.2.b) (5p · Integrala definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}\,dx\)\(=1-\ln2\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
\(f(x)(x+1)\)\(=\dfrac{x^2}{(x+1)^2}\), iar pe \([0,1]\) avem \(\dfrac{x}{x+1}\)\(\ge0\), deci \(\sqrt{f(x)(x+1)}\)\(=\dfrac{x}{x+1}\)\(=1-\dfrac{1}{x+1}\).
Răspuns: \(1-\ln2\)
Formule utile: Tabel de integrale, calculator integrale
Subiectul III.2.c) (5p · Aria unei suprafețe)
Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)\)\(=\dfrac{f(e^x)}{e^x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=-1\) și \(x=1\) este egală cu \(\dfrac{e-1}{2(e+1)}\).
Vezi rezolvarea pas cu pas
\(g(x)\)\(=\dfrac{e^{2x}}{(e^x+1)^3\,e^x}\)\(=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}\)\(\gt0\), deci aria este \(\displaystyle\int_{-1}^1g(x)\,dx\).
Cum \((e^x+1)'=e^x\), o primitivă este \(-\dfrac{1}{2(e^x+1)^2}\):
Răspuns: \(\mathcal{A}\)\(=\dfrac{e-1}{2(e+1)}\)
Formule utile: Aplicații ale integralei definite (arii)
Răspunsuri pe scurt — Bac 2025 M1
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(2z_1+iz_2=1\) |
| I.2 | \(a=3\) |
| I.3 | \(x\in\{1,2\}\) |
| I.4 | \(p=\frac1{30}\) |
| I.5 | \(a=1,\ b=4\) |
| I.6 | \(BC=2\sqrt{10}\) |
| II.1 | a) 8; c) \(x\in\{0,4\}\) |
| II.2 | a) \(-3\); b) cât \(X\), rest \(-6\); c) \(a=3\) |
| III.1 | b) \(y=2x\); c) \(f\) bijectivă |
| III.2 | a) 9; b) \(1-\ln2\); c) \(\frac{e-1}{2(e+1)}\) |
Întrebări frecvente
Ce variantă a picat la Bac 2025 la matematică M1? În sesiunea iunie–iulie 2025, la proba E. c) Matematică M_mate-info a fost extrasă varianta 1, publicată împreună cu baremul pe subiecte.edu.ro.
Ce teme au apărut la subiectul al II-lea în 2025? Matrice de forma \(A(x)\) cu proprietatea \(A(x)A(y)=2A(x+y)\) și un polinom de gradul trei, cu împărțire cu rest și relațiile lui Viète.
Cum demonstrez că o funcție este bijectivă la Bac? Arăți că este strict monotonă (deci injectivă) și, folosind continuitatea și limitele la capetele domeniului, că ia toate valorile din codomeniu (deci surjectivă).
Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele de la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.
Alte subiecte de Bacalaureat rezolvate
- Bac 2026 matematică M1 (mate-info), sesiunea iunie–iulie — rezolvat
- Bac 2025 matematică M1 (mate-info), sesiunea iunie–iulie — rezolvat
- Bac 2024 matematică M1 (mate-info), sesiunea iunie–iulie — rezolvat
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți.
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.