Reper cartezian — formule: distanța, mijlocul, coordonate

Q: Cum calculez distanța dintre două puncte în reperul cartezian?

Folosești formula AB = √((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) , care vine din teorema lui Pitagora. De exemplu, pentru A(1, 2) și B(4, 6) : AB = √(9 + 16) = 5 .

Q: Cum aflu celălalt capăt al unui segment dacă știu mijlocul?

Din formula mijlocului rezultă B(2x_M - x_A, 2y_M - y_A) . De exemplu, pentru A(1, 3) și M(4, 5) obții B(7, 7) .

Formule

Într-un reper cartezian $x O y$ fiecare punct are o pereche de coordonate $A (x_{A}, y_{A})$ . Distanța dintre două puncte este $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ , mijlocul segmentului $A B$ este $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ , iar centrul de greutate al triunghiului $A B C$ are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor vârfurilor. Mai jos găsești cadranele, simetricele unui punct, aria triunghiului cu determinant și condiția de coliniaritate.

Reperul cartezian și coordonatele unui punct

Reperul cartezian $x O y$ este format din două axe perpendiculare: axa absciselor $O x$ (orizontală) și axa ordonatelor $O y$ (verticală), cu originea comună $O (0, 0)$ și aceeași unitate de măsură. Fiecărui punct $A$ din plan îi corespunde perechea ordonată $(x_{A}, y_{A})$ : $x_{A}$ este abscisa (proiecția pe $O x$ ), iar $y_{A}$ este ordonata (proiecția pe $O y$ ).

Punctele de pe $O x$ au ordonata 0: $P (x, 0)$ ; punctele de pe $O y$ au abscisa 0: $Q (0, y)$ .

Cadranele și semnele coordonatelor

Cadranul	Abscisa $x$	Ordonata $y$	Exemplu
I	$x > 0$	$y > 0$	$(3, 2)$
II	$x < 0$	$y > 0$	$(- 3, 2)$
III	$x < 0$	$y < 0$	$(- 3, - 2)$
IV	$x > 0$	$y < 0$	$(3, - 2)$

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran.

Distanța dintre două puncte

Pentru $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , lungimea segmentului $A B$ se obține din teorema lui Pitagora:

A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}

Cazuri utile: distanța de la origine $O A = \sqrt{x_{A}^{2} + y_{A}^{2}}$ ; dacă $y_{A} = y_{B}$ , atunci $A B = | x_{B} - x_{A} |$ ; dacă $x_{A} = x_{B}$ , atunci $A B = | y_{B} - y_{A} |$ . Aceeași valoare este lungimea vectorului $\vec{A B}$ — vezi lungimea unui vector și coordonatele vectorilor.

Mijlocul segmentului și împărțirea într-un raport

Mijlocul $M$ al segmentului $A B$ are coordonatele egale cu media coordonatelor capetelor:

M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

Dacă se cunosc capătul $A$ și mijlocul $M$ , celălalt capăt este $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ .

Punctul $P \in (A B)$ care împarte segmentul în raportul $\frac{A P}{P B} = k$ , $k > 0$ , are coordonatele:

P (\frac{x_{A} + k x_{B}}{1 + k}, \frac{y_{A} + k y_{B}}{1 + k})

Pentru $k = 1$ se regăsește formula mijlocului.

Centrul de greutate al triunghiului

Centrul de greutate $G$ (intersecția medianelor) al triunghiului $A B C$ este:

G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})

$G$ se află pe fiecare mediană, la două treimi de vârf și o treime de mijlocul laturii opuse.

Simetricul unui punct

Simetricul lui $A (x, y)$ față de	Coordonate
originea $O$	$(- x, - y)$
axa $O x$	$(x, - y)$
axa $O y$	$(- x, y)$
prima bisectoare $y = x$	$(y, x)$
punctul $P (a, b)$	$(2 a - x, 2 b - y)$

Simetricul față de un punct $P$ se obține din formula mijlocului: $P$ este mijlocul segmentului $A A^{'}$ .

Aria triunghiului cu determinant

Pentru triunghiul cu vârfurile $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ se calculează determinantul de ordinul 3:

Δ = | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |

A_{A B C} = \frac{| Δ |}{2}

Modulul este obligatoriu: $Δ$ poate fi negativ, în funcție de ordinea vârfurilor. Alte formule de arie (Heron, $\frac{b \cdot h}{2}$ ) găsești la distanța de la un punct la o dreaptă și arii.

Puncte coliniare

Punctele $A, B, C$ sunt coliniare dacă și numai dacă $Δ = 0$ (triunghiul are aria zero). Echivalent, pentru drepte neverticale, pantele sunt egale: $m_{A B} = m_{A C}$ , adică $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}}$ . Despre pantă: panta unei drepte; despre dreapta care trece prin două puncte: ecuația dreptei.

Probleme tipice Bac

Natura triunghiului: calculezi cele trei laturi cu formula distanței; laturi egale înseamnă triunghi isoscel sau echilateral, iar $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ înseamnă unghi drept în $B$ .
Punct pe o axă egal depărtat de două puncte: pe $O y$ scrii $C (0, c)$ , pe $O x$ scrii $C (c, 0)$ , apoi egalezi $A C^{2} = B C^{2}$ ; pătratele lui $c$ se reduc.
Lungimea medianei: afli mijlocul laturii opuse, apoi distanța de la vârf la acest mijloc.
Al patrulea vârf al paralelogramului $A B C D$ : diagonalele au același mijloc, deci $x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B}$ și $y_{D} = y_{A} + y_{C} - y_{B}$ .

Greșeli frecvente

Ordinea coordonatelor: în $A (x, y)$ prima este abscisa; $(2, 5)$ și $(5, 2)$ sunt puncte diferite.
Semnul la pătrat: $(x_{B} - x_{A})^{2}$ cu $x_{A} = - 3$ devine $(x_{B} + 3)^{2}$ ; paranteza nu se omite.
Radicalul uitat: $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ este $A B^{2}$ , nu $A B$ .
Aria fără modul sau fără $\frac{1}{2}$ : aria este $\frac{| Δ |}{2}$ , niciodată negativă.
Simetric față de Ox vs. Oy: față de $O x$ se schimbă semnul lui $y$ , față de $O y$ semnul lui $x$ .

Calculează rapid: calculator ecuația dreptei prin două puncte — pantă, ecuație, distanță și mijloc, cu toți pașii.

Întrebări frecvente

Cum calculez distanța dintre două puncte în reperul cartezian? Folosești formula $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ , care vine din teorema lui Pitagora. De exemplu, pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ : $A B = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Cum aflu celălalt capăt al unui segment dacă știu mijlocul? Din formula mijlocului rezultă $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ . De exemplu, pentru $A (1, 3)$ și $M (4, 5)$ obții $B (7, 7)$ .

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare? Calculezi determinantul cu coordonatele lor (cu a treia coloană de 1); punctele sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul este 0. Alternativ, pentru drepte neverticale, verifici că pantele $m_{A B}$ și $m_{A C}$ sunt egale.

Istoric: René Descartes (1596 – 1650) — reperul cartezian îi poartă numele: în La Géométrie (1637) a arătat cum se descriu punctele prin numere și curbele prin ecuații.

Verifică-te: 3 întrebări

Mijlocul $M$ al segmentului $[A B]$ are coordonatele:

$(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$
$(\frac{x_{B} - x_{A}}{2}, \frac{y_{B} - y_{A}}{2})$
$(x_{A} + x_{B}, y_{A} + y_{B})$

Cât este distanța dintre punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ ?

$7$
$25$
$5$

Centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $A (1, 2)$ , $B (3, - 1)$ , $C (5, 5)$ este:

$G (\frac{9}{2}, 3)$
$G (3, 2)$
$G (9, 6)$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (distanța, Bac M2). Calculați lungimea segmentului $A B$ , unde $A (2, 3)$ și $B (5, 7)$ .

Rezolvare: $A B = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2}}$ $= \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Exemplul 2 (mijlocul, Bac M2). Fie $A (- 1, 4)$ și $B (5, - 2)$ . Aflați mijlocul $M$ al lui $A B$ și simetricul $A^{'}$ al lui $A$ față de $B$ .

Rezolvare: $M (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}) = M (2, 1)$ . $B$ este mijlocul lui $A A^{'}$ , deci $A^{'} (2 \cdot 5 + 1, 2 \cdot (- 2) - 4) = A^{'} (11, - 8)$ .

Exemplul 3 (centrul de greutate). Determinați centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $A (1, 2)$ , $B (3, - 4)$ , $C (5, 8)$ .

Rezolvare: $x_{G} = \frac{1 + 3 + 5}{3} = 3$ , $y_{G} = \frac{2 - 4 + 8}{3} = 2$ , deci $G (3, 2)$ .

Exemplul 4 (simetrice). Scrieți simetricele punctului $A (2, - 3)$ față de $O$ , $O x$ , $O y$ și față de $P (1, 1)$ .

Rezolvare: față de $O$ : $(- 2, 3)$ ; față de $O x$ : $(2, 3)$ ; față de $O y$ : $(- 2, - 3)$ ; față de $P$ : $(2 \cdot 1 - 2, 2 \cdot 1 + 3) = (0, 5)$ .

Exemplul 5 (aria cu determinant, Bac M1). Calculați aria triunghiului $A B C$ , unde $A (1, 1)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 5)$ .

Rezolvare: Dezvoltând după prima linie, $Δ = 1 \cdot (2 - 5)$ $- 1 \cdot (4 - 2)$ $+ 1 \cdot (20 - 4)$ $= - 3 - 2 + 16 = 11$ . Aria este $\frac{| 11 |}{2} = \frac{11}{2}$ .

Exemplul 6 (coliniaritate, Bac M1). Determinați $m \in R$ pentru care punctele $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ , $C (m, 10)$ sunt coliniare.

Rezolvare: $Δ = 1 \cdot (6 - 10)$ $- 2 \cdot (3 - m)$ $+ 1 \cdot (30 - 6 m)$ $= 20 - 4 m$ . Din $Δ = 0$ obținem $m = 5$ . Verificare: $m_{A B} = \frac{4}{2} = 2$ și $m_{A C} = \frac{8}{4} = 2$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Determinați distanța dintre punctele $A (- 4, 8)$ și $B (- 1, 4)$ .
Se consideră punctul $M (- 2, m)$ , $m \in R$ . Determinați $m$ pentru care $O M = \sqrt{29}$ .
Determinați $a \in R$ știind că lungimea segmentului determinat de $A (3 - a, 1 + a)$ și $B (- 2, - 1)$ este 5.
Verificați dacă triunghiul $A B C$ , cu $A (2, 2)$ , $B (- 1, 6)$ , $C (- 5, 3)$ , este dreptunghic isoscel.
Se consideră punctele $A (- 1, 2)$ și $B (6, 3)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ situat pe $O y$ , știind că $A C = B C$ .
Arătați că punctele $A (2, 4)$ , $B (3, 6)$ , $C (1, 2)$ sunt coliniare.
Se consideră punctele $A (2, 4)$ , $B (- 6, 10)$ , $C (7, 19)$ . Determinați coordonatele mijlocului $M$ al lui $A B$ și lungimea medianei din $C$ .
Aflați simetricul punctului $A (3, - 5)$ față de punctul $B (1, 2)$ și față de axa $O x$ .

Răspunsuri

$A B = \sqrt{9 + 16} = 5$
$4 + m^{2} = 29 \Rightarrow m = \pm 5$
$(a - 5)^{2} + (a + 2)^{2} = 25$ $\Rightarrow a^{2} - 3 a + 2 = 0$ $\Rightarrow a \in {1, 2}$
$A B = B C = 5$ , $A C = \sqrt{50}$ , $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ : da, dreptunghic isoscel în $B$
$C (0, c)$ : $1 + (c - 2)^{2} = 36 + (c - 3)^{2}$ $\Rightarrow c = 20$ , deci $C (0, 20)$
$Δ = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 0$ , deci punctele sunt coliniare
$M (- 2, 7)$ , $C M = \sqrt{81 + 144} = 15$
față de $B$ : $(- 1, 9)$ ; față de $O x$ : $(3, 5)$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Reper cartezian — coordonate, distanța dintre 2 puncte, mijlocul