Simulare Bac 2024 M3 tehnologic

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2024 M3?

De obicei III.2 c): după calculul integralei, ecuația ((n-1)²)/(2)+n n=2+3 n se rezolvă dând factor comun n-3, nu încercând să izolezi n.

Subiectul oficial de la simularea Bacalaureatului 2024, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), dată marți, 5 martie 2024, elevilor de clasa a XII-a, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Simularea națională a examenului de Bacalaureat este organizată de Ministerul Educației în fiecare primăvară, cu un subiect unic pentru fiecare profil și cu aceeași structură ca la examen: filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale), 3 ore de lucru, trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Nota de la simulare nu contează la media de Bacalaureat. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat, iar formulele de care ai nevoie în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$0, 5 \cdot 10 = 5$ (adevărat)
I.2	$a = 2$
I.3	$x = - 2$ sau $x = 0$
I.4	$150$ de lei
I.5	$A B = B C = 5$
I.6	$A C = 4$ , $tg B = \frac{4}{3}$
II.1	a) $4$ ; b) adevărat; c) $x \in {- 1, 0}$
II.2	a) $3$ ; b) $x = 4$ ; c) $(x - 1)^{2} - 3 \geq - 3$
III.1	b) $0$ ; c) $f (x) \geq f (3) = \frac{e^{3}}{6}$
III.2	a) $6$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $n = 3$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · fracții zecimale)

Arătați că

(0, 2 + \frac{3}{10}) \cdot 10 = 5

Vezi rezolvarea

Scriem fracția ordinară ca fracție zecimală: $\frac{3}{10} = 0, 3$ .

$(0, 2 + 0, 3) \cdot 10 = 0, 5 \cdot 10 = 5.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $5$ .

Vezi și: Fracții — operații.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x + 3

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) = 7

Vezi rezolvarea

$f (a) = 2 a + 3$ , deci ecuația devine $2 a + 3 = 7$ , adică $2 a = 4$ , de unde $a = 2$ .

Răspuns: $a = 2$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = 2

Vezi rezolvarea

Expresia de sub radical este pozitivă pentru orice $x$ , deoarece $x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3 > 0$ . Ridicăm la pătrat:

$x^{2} + 2 x + 4 = 4 \Rightarrow x^{2} + 2 x = 0 \Rightarrow x (x + 2) = 0.$

Obținem $x = 0$ sau $x = - 2$ ; verificare: $\sqrt{4} = 2$ în ambele cazuri. ✓

Răspuns: $x \in {- 2, 0}$ .

Vezi și: Radicali.

Subiectul I.4 (5p · procente)

După o scumpire cu

50 %

, prețul unui obiect este de

225

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul inițial. După scumpirea cu $50 %$ obiectul costă $x + \frac{50}{100} x = \frac{3}{2} x$ :

$\frac{3}{2} x = 225 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 225}{3} = 150.$

Răspuns: prețul inițial era $150$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (1, 3)

B (5, 0)

și

C (5, 5)

. Arătați că triunghiul

A B C

este isoscel.

Vezi rezolvarea

$A B = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (0 - 3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5,$

$B C = \sqrt{(5 - 5)^{2} + (5 - 0)^{2}} = 5.$

Două laturi sunt egale, $A B = B C$ , deci triunghiul $A B C$ este isoscel (cu baza $A C$ ).

Răspuns: $A B = B C = 5$ , deci triunghiul $A B C$ este isoscel.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

A B = 3

și

B C = 5

. Arătați că

tg B = \frac{4}{3}

Vezi rezolvarea

Cu teorema lui Pitagora calculăm cateta $A C$ :

$A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4.$

Tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată:

$tg B = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3} .$

Răspuns: $tg B = \frac{4}{3}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (x) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x} \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (2)) = 4

Vezi rezolvarea

$A (2) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}),$

$det (A (2)) = 1 \cdot 4 - 0 \cdot 0 = 4.$

Răspuns: $det (A (2)) = 4$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că

A (3) + 2 A (1) = 3 A (2)

Vezi rezolvarea

$A (3) + 2 A (1) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 12 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = 3 A (2) .$

Răspuns: $A (3) + 2 A (1) = 3 A (2)$ .

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație exponențială)

Determinați numerele reale

x

pentru care

A (x) \cdot A (x^{2}) = I_{2}

Vezi rezolvarea

$A (x) \cdot A (x^{2}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x^{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x + x^{2}} \end{matrix}),$

pentru orice număr real $x$ . Egalitatea cu $I_{2}$ revine la

$2^{x + x^{2}} = 1 = 2^{0} \Leftrightarrow x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x (x + 1) = 0.$

Răspuns: $x \in {- 1, 0}$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - x - y + 2$ .

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Arătați că

2 \circ 3 = 3

Vezi rezolvarea

$2 \circ 3 = 2 \cdot 3 - 2 - 3 + 2 = 6 - 2 - 3 + 2 = 3.$

Răspuns: $2 \circ 3 = 3$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real

x

pentru care

x \circ 4 = x + 6

Vezi rezolvarea

$x \circ 4 = 4 x - x - 4 + 2 = 3 x - 2,$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine $3 x - 2 = x + 6$ , adică $2 x = 8$ , deci $x = 4$ .

Răspuns: $x = 4$ .

Subiectul II.2 c) (5p · inegalitate)

Arătați că

(x - 2) \circ (x + 2) \geq - 3

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$(x - 2) \circ (x + 2) = (x - 2) (x + 2) - (x - 2) - (x + 2) + 2 = x^{2} - 4 - 2 x + 2 = x^{2} - 2 x - 2.$

Formăm un pătrat perfect:

$x^{2} - 2 x - 2 = (x - 1)^{2} - 3 \geq - 3,$

deoarece $(x - 1)^{2} \geq 0$ pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $(x - 2) \circ (x + 2) = (x - 1)^{2} - 3 \geq - 3$ .

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{e^{x} (x^{2} - 2 x - 3)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}

x \in (2, + \infty)

Vezi rezolvarea

Folosim ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , cu ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ :

$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (x^{2} - 3) - e^{x} \cdot 2 x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{x} (x^{2} - 2 x - 3)}{{(x^{2} - 3)}^{2}},$

pentru $x \in (2, + \infty)$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{e^{x} (x^{2} - 2 x - 3)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · limită la infinit)

Arătați că

lim_{x \to + \infty} \frac{x f (x)}{e^{x}} = 0

Vezi rezolvarea

$\frac{x f (x)}{e^{x}} = \frac{x}{x^{2} - 3}$ . Dăm factor comun forțat pe $x^{2}$ la numitor:

$lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x^{2} (1 - \frac{3}{x^{2}})} = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x (1 - \frac{3}{x^{2}})} = 0.$

Răspuns: limita este egală cu $0$ .

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Demonstrați că

\frac{e^{x - 3}}{x^{2} - 3} \geq \frac{1}{6}

, pentru orice

x \in (2, + \infty)

Vezi rezolvarea

$x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , deci pe $(2, + \infty)$ , $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ , iar semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $x - 3$ :

• pentru $x \in (2, 3]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(2, 3]$ ;

• pentru $x \in [3, + \infty)$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[3, + \infty)$ .

Deci $x = 3$ este punct de minim și, pentru orice $x \in (2, + \infty)$ ,

$f (x) \geq f (3) = \frac{e^{3}}{6} \Leftrightarrow \frac{e^{x}}{x^{2} - 3} \geq \frac{e^{3}}{6} .$

Împărțind cu $e^{3} > 0$ obținem $\frac{e^{x - 3}}{x^{2} - 3} \geq \frac{1}{6}$ .

Răspuns: $f (x) \geq f (3) = \frac{e^{3}}{6}$ pe $(2, + \infty)$ , echivalent cu $\frac{e^{x - 3}}{x^{2} - 3} \geq \frac{1}{6}$ .

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

2. Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + \ln x$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{2}^{4} (f (x) - \ln x) d x = 6

Vezi rezolvarea

$f (x) - \ln x = x$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{2}^{4} x d x = {\frac{x^{2}}{2} |}_{2}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6.$

Răspuns: integrala este egală cu $6$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală de forma u·u')

Arătați că

\int_{1}^{e} \frac{f (x) - x}{x} d x = \frac{1}{2}

Vezi rezolvarea

$\frac{f (x) - x}{x} = \frac{\ln x}{x} = \ln x \cdot (\ln x)^{'}$ , deci o primitivă este $\frac{(\ln x)^{2}}{2}$ :

$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x = {\frac{(\ln x)^{2}}{2} |}_{1}^{e} = \frac{(\ln e)^{2}}{2} - \frac{(\ln 1)^{2}}{2} = \frac{1}{2} .$

Răspuns: integrala este egală cu $\frac{1}{2}$ .

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Determinați numărul natural nenul

n

pentru care

\int_{1}^{n} f (x) d x = 2 + 3 \ln n

Vezi rezolvarea

Pentru $\int \ln x d x$ integrăm prin părți ( $\ln x = x^{'} \ln x$ ): $\int \ln x d x = x \ln x - x + C$ . Atunci

$\int_{1}^{n} (x + \ln x) d x = {(\frac{x^{2}}{2} + x \ln x - x) |}_{1}^{n} = \frac{n^{2}}{2} + n \ln n - n + \frac{1}{2} = \frac{(n - 1)^{2}}{2} + n \ln n .$

Ecuația devine $\frac{(n - 1)^{2}}{2} + n \ln n = 2 + 3 \ln n$ . Înmulțim cu $2$ și grupăm:

$n^{2} - 2 n - 3 + 2 (n - 3) \ln n = 0 \Leftrightarrow (n - 3) (n + 1) + 2 (n - 3) \ln n = 0 \Leftrightarrow (n - 3) (n + 1 + 2 \ln n) = 0.$

Pentru $n \geq 1$ , $n + 1 + 2 \ln n \geq 2 > 0$ , deci $n - 3 = 0$ .

Răspuns: $n = 3$ .

Vezi și: Integrarea prin părți.

Ce s-a cerut la simularea Bac 2024 M3

Subiectul I a cuprins un calcul cu fracții, funcția de gradul I, o ecuație cu radical, o problemă cu procente, distanța dintre două puncte și tangenta unui unghi în triunghiul dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți (cu o ecuație exponențială) și o lege de compoziție, iar Subiectul al III-lea derivata unui cât, o limită la infinit, o inegalitate demonstrată prin monotonie și integrale definite, inclusiv integrarea prin părți.

Subiectul și baremul oficial ale simulării (proba din 5 martie 2024) au fost publicate de Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2024 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2024 este un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat; rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca la examen. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2024 M3? De obicei III.2 c): după calculul integralei, ecuația $\frac{(n - 1)^{2}}{2} + n \ln n = 2 + 3 \ln n$ se rezolvă dând factor comun $n - 3$ , nu încercând să izolezi $n$ .

Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat (sesiunea iunie–iulie) · Simulare Bac 2026 M3 tehnologic rezolvat · Simulare Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2024 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · fracții zecimale)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Subiectul I.4 (5p · procente)

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație exponențială)

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.2 c) (5p · inegalitate)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)

Subiectul III.1 b) (5p · limită la infinit)

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrală de forma u·u')

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Ce s-a cerut la simularea Bac 2024 M3

Întrebări frecvente

Formule conexe