Bacalaureat 2021 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Termenul general al progresiei aritmetice este $a_n=a_1+(n-1)r$:

$$a_3=a_1+2r=4+2\cdot 5=4+10=14.$$

Răspuns: $a_3=14$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

$$f(0)=0-0-1=-1,$$

$$f(1)=1-1-1=-1.$$

Deci $f(0)=f(1)=-1$.

Răspuns: $f(0)=f(1)=-1$.

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.

Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale:

$$3x+4=16\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4.$$

Verificare: $3\cdot 4+4=16>0$, deci $x=4$ convine.

Răspuns: $x=4$.

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Notăm cu $x$ prețul înainte de scumpire. După scumpire, prețul devine:

$$x+\frac{25}{100}\cdot x=350\iff \frac{5x}{4}=350\Rightarrow x=\frac{4\cdot 350}{5}=280.$$

Răspuns: prețul înainte de scumpire era $280$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Originea are coordonatele $O(0,0)$. Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$$\frac{-4+a}{2}=0,$$

$$\frac{1+b}{2}=0.$$

Obținem $a=4$ și $b=-1$.

Răspuns: $a=4$ și $b=-1$, adică $B(4,-1)$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Triunghiul este dreptunghic isoscel cu unghiul drept în $A$, deci catetele sunt egale: $AC=AB$. Aria este semiprodusul catetelor:

$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{A{B}^2}{2}=8\iff A{B}^2=16.$$

Cum $AB>0$, obținem $AB=4$.

Răspuns: $AB=4$.

Vezi și: Aria triunghiului.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right|=5\cdot 1-(-2)\cdot (-1)=5-2=3.$$

Răspuns: $detA=3$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -1\end{array}\right),$$

$$B(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& -1\end{array}\right).$$

$$3B(2)+B(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 3& -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& -24\\ 4& -4\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{cc}12& -24\\ 4& -4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -1\end{array}\right)=4B(3).$$

Răspuns: $3B(2)+B(6)=4B(3)$.

Vezi și: Matrice și determinanți.

$$B(-x)-B(x)=\left(\begin{array}{cc}-2x& 4x\\ 0& 0\end{array}\right),$$

$$B(-x)+B(x)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{cc}-2x& 4x\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8x& -8x\\ 0& 0\end{array}\right).$$

$$A+B(3)=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -8\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Egalând elementele: $8x=8$ și $-8x=-8$, deci $x=1$.

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Matrice și determinanți.

$$3\circ 4=3\cdot 3+4\cdot 4-25=9+16-25=0.$$

Răspuns: $3\circ 4=0$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$(2x)\circ x=3\cdot 2x+4x-25=10x-25,\text{pentru orice număr real }x.$$

$$10x-25=5\Rightarrow 10x=30\Rightarrow x=3.$$

Răspuns: $x=3$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice număr întreg $m$:

$$m^2\circ 1=3m^2+4-25=3m^2-21,$$

$$1\circ m^2=3+4m^2-25=4m^2-22.$$

$$3m^2-21\ge 4m^2-22\iff -m^2+1\ge 0\iff m^2\le 1\iff m\in [-1,1].$$

Cum $m$ este număr întreg, $m\in \{-1,0,1\}$.

Răspuns: $m=-1$, $m=0$ sau $m=1$.

Vezi și: Inecuații.

Folosim regula de derivare a câtului ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{2(3x+1)-2x\cdot 3}{(3x+1{)}^2}=\frac{6x+2-6x}{(3x+1{)}^2}=\frac{2}{(3x+1{)}^2}.$$

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{(3x+1{)}^2}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{3x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{x(3+\frac{1}{x})}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}.$$

Limita este finită, deci dreapta $y=\frac{2}{3}$ este asimptotă orizontală spre $+\mathrm{\infty }$.

Răspuns: $y={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Vezi și: Asimptote, Calculator asimptote.

Derivăm $f^{\prime }(x)=2(3x+1{)}^{-2}$:

$$f^{″}(x)=2\cdot (-2)(3x+1{)}^{-3}\cdot 3=-\frac{12}{(3x+1{)}^3},x\in (-\frac{1}{3},+\mathrm{\infty }).$$

Pentru $x>-\frac{1}{3}$ avem $3x+1>0$, deci $f^{″}(x)<0$ pe tot domeniul. O funcție cu derivata a doua negativă este concavă.

Răspuns: $f^{″}(x)\le 0$ pe $(-\frac{1}{3},+\mathrm{\infty })$, deci $f$ este concavă.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — convexitate, concavitate.

$f(x)-\ln x+1=x^2$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_1^4{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_1^4=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=\frac{63}{3}=21.$$

Răspuns: integrala este egală cu $21$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$f(x)-\ln x=x^2-1$, iar ${(x^2-1)}^{\prime }=2x$. Integrala are forma $\frac{1}{2}\int \frac{u^{\prime }}{u}$:

$${\int }_2^4\frac{x}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}{\int }_2^4\frac{{(x^2-1)}^{\prime }}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}{\ln (x^2-1)|}_2^4.$$

$$=\frac{1}{2}\ln 15-\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}\ln 5.$$

Răspuns: integrala este egală cu ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 5$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.

Despărțim fracția: ${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}=1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Pentru termenul cu logaritm integrăm prin părți, cu $\frac{1}{x^2}={(-\frac{1}{x})}^{\prime }$:

$${\int }_1^a\frac{\ln x}{x^2}dx={(-\frac{1}{x}\ln x)|}_1^a+{\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx=-\frac{\ln a}{a}+{\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx.$$

Ultima integrală se reduce cu termenul $-{\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx$, deci:

$${\int }_1^a\frac{f(x)}{x^2}dx={x|}_1^a-\frac{\ln a}{a}=a-1-\frac{\ln a}{a}.$$

Cum $\frac{a-\ln a}{a}=1-\frac{\ln a}{a}$, ecuația devine $a-1=1$, adică $a=2$, care aparține intervalului $(1,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $a=2$.

Vezi și: Integrarea prin părți.