Bacalaureat 2023 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Desfacem paranteza (înmulțim fiecare termen cu \(3\)), apoi reducem termenii asemenea:

\[ 4-6\sqrt3+3\left(2\sqrt3-1\right)=4-6\sqrt3+6\sqrt3-3=4-3=1. \]

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este \(1\).

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

Scriem egalitatea \(f(a)=g(a)\):

\[ 5a-3=2a+3 \;\Rightarrow\; 3a=6 \;\Rightarrow\; a=2. \]

Verificare: \(f(2)=10-3=7\) și \(g(2)=4+3=7\). ✓

Răspuns: \(a=2\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții, iar \(1=2^0\):

\[ 2^{2x+1}\cdot2^3=2^{2x+4}=2^0. \]

Funcția exponențială este injectivă, deci \(2x+4=0\), adică \(x=-2\).

Răspuns: \(x=-2\).

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri — reguli de calcul.

Cifra zecilor se poate alege în \(4\) moduri (oricare dintre \(3,4,5,6\); niciuna nu este \(0\)).

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților trebuie să fie diferită de ea, deci se poate alege în câte \(3\) moduri. Conform regulii produsului:

\[ 4\cdot3=12 \text{ numere}. \]

Acestea sunt: \(34, 35, 36, 43, 45, 46, 53, 54, 56, 63, 64, 65\). (Echivalent: \(A_4^2=4\cdot3=12\).)

Răspuns: se pot forma \(12\) numere.

Vezi și: Combinatorică — permutări, aranjamente, combinări, Calculator aranjamente.

Mijlocul segmentului \(AB\): \(x_M=\frac{4+0}{2}=2\), \(y_M=\frac{0+2}{2}=1\), deci \(M(2,1)\).

\[ MO=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt5, \]

\[ MC=\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5. \]

Prin urmare \(MO=MC\).

Răspuns: \(MO=MC=\sqrt5\).

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Pentru \(x=\frac{\pi}{6}\) avem \(2x=\frac{\pi}{3}\). Valorile necesare:

\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ E\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0. \]

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\).

Vezi și: Tabel trigonometric.

\[ A(0)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}, \]

\[ \det\big(A(0)\big)=3\cdot1-2\cdot1=3-2=1. \]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)=1\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Scădem element cu element:

\[ A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}3+a-3&2-2a-2\\1-a-1&1+3a-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-2a\\-a&3a\end{pmatrix}. \]

Înmulțim (linie cu coloană):

\[ A(0)\cdot\big(A(a)-A(0)\big)=\begin{pmatrix}3a-2a&-6a+6a\\a-a&-2a+3a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}=aI_2, \]

pentru orice număr real \(a\).

Răspuns: \(A(0)\cdot\big(A(a)-A(0)\big)=aI_2\).

\[ A(a^2)=\begin{pmatrix}3+a^2&2-2a^2\\1-a^2&1+3a^2\end{pmatrix}, \]

\[ aA(a)=\begin{pmatrix}3a+a^2&2a-2a^2\\a-a^2&a+3a^2\end{pmatrix}. \]

Scăzând, termenii în \(a^2\) se reduc:

\[ A(a^2)-aA(a)=\begin{pmatrix}3-3a&2-2a\\1-a&1-a\end{pmatrix}. \]

\[ \det\big(A(a^2)-aA(a)\big)=3(1-a)(1-a)-2(1-a)(1-a)=3(1-a)^2-2(1-a)^2=(1-a)^2\ge0, \]

pentru orice număr real \(a\), deoarece un pătrat este nenegativ.

Răspuns: \(\det\big(A(a^2)-aA(a)\big)=(1-a)^2\ge0\).

\[ 0\circ2=0^2-4\cdot0\cdot2+3\cdot2^2=0-0+12=12. \]

Răspuns: \(0\circ2=12\).

Vezi și: Legi de compoziție.

Înlocuim în definiție \(x\) cu \(2x\) și \(y\) cu \(x\):

\[ (2x)\circ x=(2x)^2-4\cdot2x\cdot x+3x^2=4x^2-8x^2+3x^2=-x^2. \]

Ecuația devine \(-x^2=-1\), adică \(x^2=1\), de unde \(x=-1\) sau \(x=1\).

Răspuns: \(x\in\{-1,\,1\}\).

Descompunem în factori (scriem \(-4mn=-mn-3mn\)):

\[ m\circ n=m^2-mn-3mn+3n^2=m(m-n)-3n(m-n)=(m-n)(m-3n). \]

Ecuația devine \((m-n)(m-3n)=3\), cu ambii factori numere întregi. Cum \(m\lt n\), avem \(m-n\lt0\); produsul fiind pozitiv, și \(m-3n\lt0\). Divizorii negativi ai lui \(3\) dau două cazuri:

• \(m-n=-1\), \(m-3n=-3\): scăzând, \(2n=2\), deci \(n=1\), \(m=0\);

• \(m-n=-3\), \(m-3n=-1\): scăzând, \(2n=-2\), deci \(n=-1\), \(m=-4\).

Verificare: \(0\circ1=0-0+3=3\) și \((-4)\circ(-1)=16-16+3=3\). ✓

Răspuns: \((m,n)\in\{(-4,-1),\,(0,1)\}\).

Derivata constantei \(5\) este \(0\); pentru fracție folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\):

\[ f'(x)=\frac{4\cdot x^2-(4x-4)\cdot2x}{x^4}=\frac{4x^2-8x^2+8x}{x^4}=\frac{4x(2-x)}{x^4}=\frac{4(2-x)}{x^3}, \]

pentru \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\).

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac{4x-4}{x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac4x-\frac4{x^2}\right)=5. \]

Limita este finită, deci dreapta de ecuație \(y=5\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).

Răspuns: \(y=5\).

Vezi și: Asimptote, Calculator asimptote.

Din a), \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\). Semnul derivatei pe \([1,+\infty)\) este semnul lui \(2-x\):

• pentru \(x\in[1,2]\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,2]\);

• pentru \(x\in[2,+\infty)\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \([2,+\infty)\).

Calculăm valorile importante:

\[ f(1)=5+\frac{0}{1}=5, \]

\[ f(2)=5+\frac{4}{4}=6, \]

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=5. \]

Pe \([1,2]\), \(f\) crește de la \(5\) la \(6\); pe \([2,+\infty)\), \(f\) scade de la \(6\) spre \(5\), fără a coborî sub \(5\). Deci \(5\le f(x)\le6\), pentru orice \(x\in[1,+\infty)\). (Se vede și direct: pentru \(x\ge1\), \(4x-4\ge0\), deci \(f(x)\ge5\).)

Atunci, pentru orice \(x,\,y\in[1,+\infty)\), valorile \(f(x)\) și \(f(y)\) sunt în intervalul \([5,6]\), de lungime \(1\), deci

\[ \left|f(x)-f(y)\right|\le6-5=1. \]

Răspuns: \(5\le f(x)\le6\) pe \([1,+\infty)\), deci \(\left|f(x)-f(y)\right|\le1\).

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Pentru \(x\in[1,2]\), \(f(x)-4\ln x=3x^2\). Aplicăm formula Leibniz–Newton:

\[ \int_1^2 3x^2\,dx=\left.x^3\right|_1^2=8-1=7. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(7\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Pentru \(x\in[1,e]\), \(x\big(f(x)-3x^2\big)=4x\ln x\). Scriem \(4x=\left(2x^2\right)'\) și integrăm prin părți:

\[ \int_1^e 4x\ln x\,dx=\int_1^e\left(2x^2\right)'\ln x\,dx=\left.2x^2\ln x\right|_1^e-\int_1^e 2x^2\cdot\frac1x\,dx. \]

\[ \int_1^e 2x\,dx=\left.x^2\right|_1^e=e^2-1, \]

\[ \left.2x^2\ln x\right|_1^e=2e^2\cdot1-2\cdot0=2e^2. \]

\[ \int_1^e 4x\ln x\,dx=2e^2-\left(e^2-1\right)=e^2+1. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(e^2+1\).

Vezi și: Integrarea prin părți.

\(F\) este o primitivă a lui \(f\), deci \(F'(x)=f(x)\) și, derivând încă o dată, \(F''(x)=f'(x)\), \(x\in(0,+\infty)\). Integrala nu depinde de alegerea primitivei:

\[ \int_1^{\sqrt e} f(x)F''(x)\,dx=\int_1^{\sqrt e} f(x)f'(x)\,dx=\left.\frac{f^2(x)}{2}\right|_1^{\sqrt e}, \]

deoarece \(\left(\frac{f^2}{2}\right)'=f\cdot f'\). Calculăm valorile:

\[ f\left(\sqrt e\right)=3e+4\ln\sqrt e=3e+4\cdot\frac12=3e+2, \]

\[ f(1)=3+4\ln1=3. \]

\[ \int_1^{\sqrt e} f(x)F''(x)\,dx=\frac{(3e+2)^2-3^2}{2}=\frac{(3e+2-3)(3e+2+3)}{2}=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}\), pentru orice primitivă \(F\).

Vezi și: Primitive, Tabel de integrale nedefinite.