Matrice și determinanți la Bacalaureat — subiectele II.1 rezolvate

Matricele, determinanții și sistemele liniare apar la Bacalaureat la Subiectul al II-lea, problema 1 (15 puncte, cerințele a, b, c), la M1 (mate-info) și la M2 (științele naturii). Aici sunt toate cele 126 cerințe din 42 variante oficiale rezolvate pe site (2020–2027), cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas. Cerința a) este aproape mereu calculul unui determinant, iar b) și c) cer operații cu matrice, inversa, o ecuație matriceală sau rezolvarea unui sistem.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Determinanți: \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\); pentru ordinul 3 se folosește regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie; \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\) — determinanți.
• Matrice inversabilă: \(A\) este inversabilă dacă și numai dacă \(\det A\ne 0\), iar \(A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,A^*\); pentru ordinul 2, \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) — matrice inversabilă, calculator determinant și inversă.
• Ecuații matriceale: din \(AX=B\) cu \(A\) inversabilă rezultă \(X=A^{-1}B\); din \(XA=B\) rezultă \(X=BA^{-1}\) (înmulțirea matricelor nu este comutativă).
• Sisteme liniare: dacă determinantul sistemului \(\Delta\ne 0\), sistemul are soluție unică (sistem Cramer): \(x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}\), \(y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\), \(z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}\) — sisteme de ecuații, calculator sisteme.
• Puteri de matrice: se calculează \(A^2\), \(A^3\), se intuiește forma lui \(A^n\) și se demonstrează prin inducție; pentru ordinul 2 ajută relația Hamilton–Cayley \(A^2-(\operatorname{tr}A)\,A+(\det A)\,I_2=O_2\).

Tipuri de cerințe la Subiectul II.1

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Sisteme de ecuații liniare	15	M1 2026 aug. b), M1 2026 aug. c), M1 2026 iun. b), M1 2026 iun. c), M1 2026 sim. c), M1 2025 aug. b), M1 2025 aug. c), M1 2025 sim. b), M1 2025 sim. c), M1 2023 iun. c), M1 2023 sim. b), M1 2023 sim. c), M1 2022 sim. c), M1 2021 sim. b), M1 2021 sim. c)
Matrice inversabilă	14	M2 2026 aug. b), M1 2026 sim. b), M2 2025 iun. b), M2 2024 iun. c), M1 2024 sim. c), M1 2023 iun. b), M2 2023 sim. c), M2 2022 iun. c), M2 2022 sim. c), M1 2021 aug. b), M1 2021 aug. c), M2 2021 aug. b), M1 2020 iun. b), M1 2020 iun. c)
Determinanți	48	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)
Ecuații matriceale	6	M2 model 2027 c), M2 2026 iun. c), M2 2025 iun. c), M2 2021 sim. c), M2 2020 aug. b), M2 2020 iun. c)
Puteri de matrice	3	M1 2025 iun. c), M1 2022 iun. c), M1 2022 sim. b)
Operații cu matrice	40	în aproape fiecare variantă (vezi lista de mai jos)

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info) — Subiectul II.1

Model Bac 2027 M1 (oficial)

Se consideră matricele \(I_3\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}-2&x&0\\0&1&0\\0&3x+2&-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(3)\big)\)​\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(x)\cdot A(y)-A(x)+2A(y)\)​\(=2I_3\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \(A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)\)​\(=aA(x)+bI_3\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay-2az=-1\\2x-y-az=a\\x-ay=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(2)\big)\)​\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru \(a=1\), arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că, pentru orice \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), sistemul de ecuații are soluție unică \((x_0,y_0,z_0)\) și \(4x_0z_0=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}1&a&a\\a&3&a\\0&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay+az=1\\ax+3y+az=0\\2y+z=0\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că, pentru orice număr real \(a\), sistemul de ecuații are soluție unică. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural nenul \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluția \((x_0,y_0,z_0)\), cu \(z_0=nx_0\), unde \(n\) este număr natural. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&-1&a\\3&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}ax+y+z=2a\\x-y+az=-4\\3x+2y+z=8\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care matricea \(A(a)\) este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Considerăm \((x_1,y_1,z_1)\) soluția sistemului de ecuații liniare pentru \(a=1\). Pentru \(a=2\), determinați soluțiile \((x_0,y_0,z_0)\) ale sistemului de ecuații liniare pentru care \(x_0y_0=y_1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a&1&2a\\a&1&0\\1&1&-a\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}ax+y+2az=a+1\\ax+y=0\\x+y-az=-1\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(2)\big)\)​\(=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Pentru \(a=1\), arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluția unică \((x_0,y_0,z_0)\) și \(x_0=a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(x)\cdot A(y)\)​\(=2A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\big(A(x)+A(3x)\big)\cdot A(2x)\)​\(=4A(x^2)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M1

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a&1&-a\\3&1&-2\\1&-3&a\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}ax+y-az=1\\3x+y-2z=1\\x-3y+az=-3\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=-2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care sistemul are soluție unică. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru \(a=1\), determinați soluțiile \((x_1,y_1,z_1)\) și \((x_2,y_2,z_2)\) ale sistemului de ecuații pentru care \(y_1=x_2\) și \(z_1=y_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(A\)​\(=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(B(x)\)​\(=\begin{pmatrix}2^x&0&0\\0&1&x\\0&x&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(B(1)\big)\)​\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(B(x)\cdot B(y)-B(x+y)\)​\(=xyA\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)\)​\(=xA\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(M(x)\)​\(=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x+2&x\\0&2x&x+2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(M(1)\big)\)​\(=7\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(M(x)\cdot M(2)\)​\(=M(x-1)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele naturale \(n\) pentru care \(2\det\big(M(n)\big)\)​\(\le\det\big(M(2n)\big)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M1

Se consideră matricele \(I_3\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}1&-1&x\\-1&0&0\\x&0&-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\det\big(A(x)\cdot A(x)-I_3\big)\)​\(\le0\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră matricea \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\), \(B\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\). Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) pentru care \(X\cdot\big(A(0)\big)^{-1}\)​\(=B\cdot A(0)\), unde \(\big(A(0)\big)^{-1}\) este inversa matricei \(A(0)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}x&x&x\\1&x&1\\-1&-x&-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(x)\cdot A(y)-A(xy)\)​\(=(x+y-2)A(0)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)\)​\(=A(y)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care matricea \(A(a)\) este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru \(a=-2\), arătați că \(x_0z_0+y_0=-2\), pentru orice soluție \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului de ecuații. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a&1&2\\1&a&-1\\2&2&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}ax+y+2z=-2\\x+ay-z=4\\2x+2y+z=2\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați mulțimea numerelor reale \(a\) pentru care sistemul de ecuații are soluție unică. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru \(a=1\), determinați soluțiile \((x_0,y_0,z_0)\) ale sistemului pentru care \(x_0\), \(y_0\) și \(z_0\) sunt numere întregi și \(x_0\gt y_0\gt z_0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_3\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(1)\cdot A(x)-A(x-1)\)​\(=2I_3\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)\)​\(=3A(1)+2I_3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(x)\cdot A(y)\)​\(=A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)\)​\(=A\left(2n^2\right)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)\)​\(=a^3B(1)\), pentru orice număr real \(a\), unde \(B(a)=A(a)-A(0)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci \(x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\)​\(\le0\), pentru orice soluție \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului de ecuații, cu \(x_0\), \(y_0\) și \(z_0\) numere reale. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2a&0&1\end{pmatrix}\), unde \(a\in(0,+\infty)\).

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, pentru orice \(a\in(0,+\infty)\), matricea \(A(a)\) este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că, pentru orice \(a\in(0,+\infty)\), \(\det\Big(A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}\Big)\)​\(\ge8\), unde \(\big(A(a)\big)^{-1}\) este inversa matricei \(A(a)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(I_3\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=8\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați matricea \(B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), știind că \(aB=A(a)-2I_3\), pentru orice număr real \(a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(\det\big(A(n)\cdot A(-n)\big)\)​\(\gt0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M1

Se consideră sistemul de ecuații \(\begin{cases}ax+(a+1)y+(a+2)z=a\\bx+(b+1)y+(b+2)z=b\\y+z=1\end{cases}\) și matricea \(X(a,b)\)​\(=\begin{pmatrix}a&a+1&a+2\\b&b+1&b+2\\0&1&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale.

a) Arătați că \(\det\big(X(0,1)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte \(a\) și \(b\), sistemul de ecuații are soluție unică. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că, dacă \((x_0,y_0,z_0)\) este soluție a sistemului de ecuații, atunci \(y_0^2-z_0^2-2ax_0\)​\(=3\), pentru orice număr real \(a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&1+\ln x\\0&x&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\in(0,+\infty)\).

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că \(A(x)A(y)=A(y)A(x)\), pentru orice \(x,y\in(0,+\infty)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(A\left(\dfrac13\right)\cdot A\left(\dfrac12\right)\cdot A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(a)\)​\(=\begin{pmatrix}a&a+1&a+2\\a^2+1&a^2+2&a^2+3\\1&2&4\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)\)​\(=-1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, pentru orice număr real \(a\), matricea \(A(a)\) este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele întregi \(a\) pentru care inversa matricei \(A(a)\) are toate elementele numere întregi. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii) — Subiectul II.1

Model Bac 2027 M2 (oficial)

Se consideră matricele \(I_2\)​\(=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A\)​\(=\begin{pmatrix}4&0\\2&1\end{pmatrix}\) și \(B(x)\)​\(=\begin{pmatrix}x&1\\3-2x&4x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(B(2)\big)\)​\(=19\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(\big(B(x+1)-B(x)\big)\cdot A\)​\(=4I_2\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(B(3)\cdot X\)​\(=2A+B(2)\cdot X\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale.

a) Arătați că \(\det\big(A(1,2)\big)=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că matricea \(A(x,y)\) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=xI_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\-a&1-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care \(2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(2)\big)=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(xA(y)-A(xy)=(x-1)I_2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(A(1)\cdot A(x-1)=xA(x)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\).

a) Arătați că \(\det A=2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că matricea \(B=\frac12\left(I_2-A\right)\) este inversa matricei \(A\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(\left(A-I_2\right)\cdot X=2A\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x\\-2x&2x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale, cu \(m\lt n\), pentru care \(A(-1)\cdot\big(A(m)+A(n)\big)=2A(-4)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x&x-3\\3-x&x-4\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det A=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(B(4)\cdot B(4)+I_2=aB(4)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A\cdot B(x)=B(x)\cdot A\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\) și \(B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(B(1)\big)=7\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care matricea \(C(a)=B(a)-aA\) nu este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&3x-3\\1-x&3x-2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(m\) pentru care \(A(2)\cdot A(0)+A(5)=mI_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\det\big(A(x)-A(0)\cdot A(1-x)\big)=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(B(2)\big)=4\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(B(0)\cdot B(1)=aA\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A\cdot B(x)=A\cdot\big(B(0)-3I_2\big)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(0)\cdot\big(A(a)-A(0)\big)=aI_2\), pentru orice număr real \(a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Demonstrați că \(\det\big(A(a^2)-aA(a)\big)\ge0\), pentru orice număr real \(a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot A(x)=A(0)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \(\big(A(1)\big)^{-1}=aA(1)+bI_3\), unde \(\big(A(1)\big)^{-1}\) este inversa matricei \(A(1)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=3\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=2I_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=3I_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\), \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det A=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(B(x)-B(0)=xA\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Arătați că matricea \(C(a)=B(a)\cdot B(1)-B(a+1)\) este inversabilă, pentru orice număr întreg \(a\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M2

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=xI_2+iA\), unde \(x\) este număr real și \(i^2=-1\).

a) Arătați că \(\det A=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(B(3)\cdot B(5)=8B(x)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere întregi pentru care matricea \(B(m)+iB(n)\) nu este inversabilă. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix}\), unde \(x\) și \(y\) sunt numere reale.

a) Arătați că \(\det\big(A(1,1)\big)=0\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Demonstrați că, dacă matricea \(A(x,y)\) este inversabilă, atunci \(|x|\neq|y|\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Determinați perechile \((m,n)\), de numere întregi, pentru care \(A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}1+2^a&2^a\\-2^a&1-2^a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Arătați că \(A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=I_2\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră numerele naturale \(m\) și \(n\), astfel încât \(A(m)\cdot A(n)=A(m+n)\). Arătați că \(m=n=1\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

Se consideră \(a\) un număr real nenul și matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}1+2x&0&-4x\\0&a&0\\x&0&1-2x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(x)\big)=a\), pentru orice număr real \(x\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numărul real nenul \(a\) astfel încât \(A(x)\cdot A(y)=A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru \(a=1\), determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) pentru care \(A(2)\cdot X=A(3)\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea august–septembrie

Se consideră matricea \(A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale.

a) Arătați că \(\det(A\cdot A)=a^2b^2\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Se consideră matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) astfel încât \(A\cdot X=X\cdot A\). Demonstrați că, dacă \(a\) și \(b\) sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale \(x\) și \(t\) astfel încât \(X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Pentru \(a=4\) și \(b=0\), determinați matricele \(Y\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(Y\cdot Y=A\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}12+a&a\\1+a&3+a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.

a) Arătați că \(\det\big(A(0)\big)=36\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

b) Determinați numerele reale \(a\) pentru care \(\det\big(A(a)-(12+a)I_2\big)=0\), unde \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Vezi rezolvarea pas cu pas →

c) Se consideră matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) cu proprietatea \(X\cdot X=A(0)\). Arătați că cel puțin un element al matricei \(X\) este număr irațional. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Geometrie în spațiu la EN (Subiectul III).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul II.1 la Bacalaureat? Se dau una sau mai multe matrice (uneori și un sistem de ecuații liniare) și se cer trei cerințe de câte 5 puncte: un determinant, apoi operații cu matrice, inversa unei matrice, o ecuație matriceală, puteri de matrice sau discuția și rezolvarea unui sistem.

Cum calculez rapid un determinant de ordinul 3? Cu regula lui Sarrus: aduni produsele de pe diagonala principală și de pe cele două „paralele” cu ea și scazi produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei. Dacă o linie are zerouri, dezvoltarea după acea linie este mai rapidă.

Cum rezolv o ecuație matriceală de forma AX = B? Verifici că det A ≠ 0, calculezi inversa A⁻¹ și înmulțești la stânga: X = A⁻¹B. Pentru XA = B înmulțești la dreapta: X = BA⁻¹. Ordinea contează, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.