Subiectul I.1 (5p · numere complexe)
Arătați că \(3-4i+i(4-i)=4\), unde \(i^2=-1\).
Vezi rezolvarea
Desfacem paranteza și folosim \(i^2=-1\):
Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este \(4\).
Vezi și: Numere complexe.
Bacalaureat 2023 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate, sesiunea august–septembrie
Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2023, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), din a doua sesiune (de toamnă), august–septembrie 2023 — proba scrisă din 17 august 2023, Varianta 7 — rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2. Subiectul din prima sesiune (iunie–iulie) este rezolvat la Bac 2023 M2 — sesiunea iunie–iulie.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \(3-4i+i(4-i)=4\) (adevărat) |
| I.2 | \((f\circ f)(1)=f(2)=0\) |
| I.3 | \(x\in\{0,\,2\}\) |
| I.4 | \(p=\frac{2}{45}\) |
| I.5 | \(a=2\), \(b=4\) |
| I.6 | \(AD=6\) |
| II.1 | a) \(\det B(2)=4\); b) \(a=2\); c) \(x=-1\) |
| II.2 | a) \(f(1)=0\); b) \(m=-2\); c) \(m=3\) |
| III.1 | b) \(y=3\); c) \(f(x)\ge3\), \(f\left(x^2\right)\ge\frac83\) |
| III.2 | a) \(20\); b) \(\frac12\); c) \(\frac{e^2-5}{4}\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · compunerea funcțiilor)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4-2x\). Arătați că \((f\circ f)(1)=0\).
Vezi rezolvarea
Calculăm întâi \(f(1)=4-2\cdot1=2\). Apoi:
Răspuns: \((f\circ f)(1)=0\).
Vezi și: Funcția de gradul I, Funcții — noțiuni introductive.
Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_5\left(x^2-2x+6\right)=\log_5 6\).
Vezi rezolvarea
Condiția de existență: \(x^2-2x+6=(x-1)^2+5\gt0\), adevărată pentru orice \(x\) real. Funcția logaritmică este injectivă, deci
de unde \(x=0\) sau \(x=2\), care convin.
Răspuns: \(x\in\{0,\,2\}\).
Vezi și: Logaritmi — proprietăți, Fișă: ecuații logaritmice.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu \(3\) și cu \(7\).
Vezi rezolvarea
Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\), adică \(90\) de numere.
Cazuri favorabile: \(3\) și \(7\) sunt prime între ele, deci un număr divizibil cu \(3\) și cu \(7\) este divizibil cu \(21\). Multiplii de \(21\) de două cifre sunt \(21, 42, 63, 84\), adică \(4\) numere.
Răspuns: \(p=\dfrac{2}{45}\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\), \(B(a,0)\) și \(C(0,b)\). Determinați numerele reale \(a\) și \(b\), știind că punctul \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\).
Vezi rezolvarea
Mijlocul segmentului \(BC\) are coordonatele \(\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)\). Acesta este \(A(1,2)\), deci
Răspuns: \(a=2\) și \(b=4\).
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.
Subiectul I.6 (5p · triunghi isoscel, Pitagora)
Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB=AC=10\) și \(BC=16\). Arătați că \(AD=6\), unde \(AD\) este înălțime în triunghiul \(ABC\).
Vezi rezolvarea
Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu baza \(BC\), deci înălțimea \(AD\) este și mediană: \(BD=\frac{BC}{2}=8\). Triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în \(D\); aplicăm teorema lui Pitagora:
Răspuns: \(AD=6\).
Vezi și: Teorema lui Pitagora.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(B(2)\big)=4\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(B(2)\big)=4\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · produs de matrice)
Determinați numărul real \(a\) pentru care \(B(0)\cdot B(1)=aA\).
Vezi rezolvarea
Egalitatea devine \(aA=2A\); comparând elementele de pe poziția \((1,1)\), \(a\cdot1=2\), deci \(a=2\).
Răspuns: \(a=2\).
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)
Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A\cdot B(x)=A\cdot\big(B(0)-3I_2\big)\).
Vezi rezolvarea
Membrul stâng (linie cu coloană):
Membrul drept: \(B(0)-3I_2=\begin{pmatrix}-2&1\\-1&-4\end{pmatrix}\), deci
Egalând elementele corespunzătoare: \(3x-1=-4\Rightarrow x=-1\) și \(6x-1=-7\Rightarrow x=-1\) (celelalte două ecuații sunt aceleași, cu semn schimbat).
Răspuns: \(x=-1\).
Vezi și: Fișă: ecuații matriceale.
2. Se consideră polinomul \(f=X^3+2X^2+mX-3\), unde \(m\) este număr real.
Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)
Pentru \(m=0\), arătați că \(f(1)=0\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(m=0\), \(f=X^3+2X^2-3\), deci
Răspuns: \(f(1)=0\).
Subiectul II.2 b) (5p · divizibilitatea polinoamelor)
Determinați numărul real \(m\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(X+1\).
Vezi rezolvarea
Conform teoremei lui Bézout, \(f\) este divizibil cu \(X+1=X-(-1)\) dacă și numai dacă \(f(-1)=0\):
\(-m-2=0\), de unde \(m=-2\).
Răspuns: \(m=-2\).
Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)
Determinați numărul real \(m\) pentru care \((1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).
Vezi rezolvarea
Polinomul are coeficientul dominant \(1\), deci \(f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\). Înlocuind \(X=1\):
pentru orice număr real \(m\). Din relațiile lui Viète, \(x_1x_2x_3=-\dfrac{-3}{1}=3\).
Egalitatea devine \(m=3\).
Răspuns: \(m=3\).
Vezi și: Polinoame — relațiile lui Viète.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui cât)
Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\), \(x\in(1,+\infty)\).
Vezi rezolvarea
Folosim \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=3x^2\), \(v=x^2+x-2\):
Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · asimptotă orizontală)
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Limita este finită, deci dreapta de ecuație \(y=3\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).
Răspuns: \(y=3\).
Vezi și: Asimptote orizontale, Calculator asimptote.
Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)
Demonstrați că \(f(x)+f\left(x^2\right)\ge\dfrac{17}{3}\), pentru orice \(x\in(1,2]\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in(1,4]\): \(3x\gt0\), \(x-4\le0\) și numitorul este pozitiv, deci \(f'(x)\le0\). Prin urmare \(f\) este descrescătoare pe \((1,4]\).
Dacă \(1\lt x\le2\), atunci \(1\lt x^2\le4\). Cum \(f\) este descrescătoare pe \((1,4]\):
Adunând cele două inegalități:
Răspuns: \(f(x)\ge3\) și \(f\left(x^2\right)\ge\frac83\), deci \(f(x)+f\left(x^2\right)\ge\dfrac{17}{3}\) pe \((1,2]\).
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x(x-1)^2\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_3^7\frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[3,7]\), \((x-1)^2\neq0\) și \(\dfrac{f(x)}{(x-1)^2}=x\). Aplicăm formula Leibniz–Newton:
Răspuns: integrala este egală cu \(20\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală, schimbare de variabilă)
Arătați că \(\displaystyle\int_2^3\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac12\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[2,3]\), \(\dfrac{x}{f(x)}=\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)'}{(x-1)^2}\), care are primitiva \(-\dfrac{1}{x-1}\):
Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac12\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^1\frac{xf\left(e^x\right)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}\).
Vezi rezolvarea
\(f\left(e^x\right)=e^x\left(e^x-1\right)^2\), deci \(\dfrac{xf\left(e^x\right)}{e^x}=x\left(e^x-1\right)^2=x\left(e^{2x}-2e^x\right)+x\).
Observăm că \(e^{2x}-2e^x=\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)'\) și integrăm prin părți primul termen:
Calculăm fiecare termen:
Deci primul termen este \(\frac{e^2}{2}-2e-\frac{e^2}{4}+2e-\frac74=\frac{e^2}{4}-\frac74\). Al doilea: \(\displaystyle\int_0^1 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\frac12\).
Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac{e^2-5}{4}\).
Vezi și: Integrarea prin părți.
Ce s-a cerut la Bac 2023 M2, sesiunea august–septembrie
Subiectul I a cuprins un calcul cu numere complexe, compunerea unei funcții de gradul I cu ea însăși, o ecuație logaritmică, o probabilitate, mijlocul unui segment și înălțimea unui triunghi isoscel (teorema lui Pitagora). Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și un polinom de gradul al treilea (teorema lui Bézout, relațiile lui Viète), iar Subiectul al III-lea derivate, o asimptotă orizontală, o inegalitate demonstrată prin monotonie și integrale definite, inclusiv integrare prin părți.
Subiectul și baremul oficial (Varianta 7, proba din 17 august 2023, a doua sesiune a examenului de bacalaureat) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei.
Întrebări frecvente
Ce variantă s-a dat la Bac 2023 matematică M2 în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2023, la proba E.c) din 17 august, candidații de la științele naturii au primit Varianta 7. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Care a fost cel mai dificil item la Bac 2023 M2 din august? De obicei II.2 c): produsul \((1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\) este chiar \(f(1)=m\), deoarece \(f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\), iar \(x_1x_2x_3=3\) din relațiile lui Viète, deci \(m=3\).
Bac 2023 M2 rezolvat (iunie) · Bac 2024 M2 rezolvat (august) · Bac 2026 M2 rezolvat · Bac 2025 M2 rezolvat · Bac 2024 M2 rezolvat
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.