Subiectul oficial de Bacalaureat 2022 la matematică M_mate-info (M1), sesiunea iunie–iulie (varianta 1), rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Pentru fiecare item găsești enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele necesare.
Proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică (și filiera vocațională, profil militar, mate-info). Toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Desfacem paranteza: \(6\left(\sqrt6-1\right)\)\(=6\sqrt6-6\). Atunci
Răspuns: \(8-6\sqrt6+6\left(\sqrt6-1\right)\)\(=2\)
Formule utile: Radicali
\(f(0)=3\cdot0+m=m\), deci \((f\circ f)(0)\)\(=f\big(f(0)\big)\)\(=f(m)\)\(=3m+m\)\(=4m\).
\(4m=4\), de unde \(m=1\).
Răspuns: \(m=1\)
Formule utile: Funcții — noțiuni introductive (compunere), Funcția de gradul I
Observăm că \(2^{2x}\)\(=\left(2^2\right)^x\)\(=4^x\). Ecuația devine
deci \(x=0\) (funcția exponențială este injectivă).
Răspuns: \(x=0\)
Formule utile: Ecuații exponențiale, Puteri
Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\): \(90\) de cazuri posibile.
Cifra zecilor este nenulă, iar divizorii lui \(6\) care sunt cifre nenule sunt \(1,2,3,6\). Pentru fiecare dintre aceste 4 cifre ale zecilor, cifra unităților poate fi oricare dintre cele 10 cifre, deci sunt \(4\cdot10=40\) de cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\dfrac49\)
Formule utile: Probabilități
Un punct aparține dreptei dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Pentru \(A(a,a)\):
Verificare: \(A(1,1)\) și \(3\cdot1-2=1\) ✓.
Răspuns: \(a=1\)
Formule utile: Geometrie analitică, calculator ecuația dreptei
\(\cos A=0\) și \(A\in(0,\pi)\), deci \(A=\dfrac{\pi}{2}\): triunghiul este dreptunghic în \(A\). Ipotenuza \(BC\) este cea mai lungă latură, deci laturile egale sunt catetele: \(AC=AB=10\).
Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABC}\)\(=50\)
Formule utile: Aria triunghiului, Tabel trigonometric
1. Se consideră matricea \(A(x)\)\(=\begin{pmatrix}1&-x&x^2\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
\(A(1)\)\(=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:
(Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: \(1\cdot1\cdot1=1\).)
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)\(=1\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
Înmulțim linie cu coloană:
De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 3: \(1\cdot y^2+(-x)(-2y)+x^2\cdot1\)\(=x^2+2xy+y^2\)\(=(x+y)^2\).
Răspuns: \(A(x)A(y)=A(x+y)\) pentru orice \(x,y\in\mathbb{R}\).
Formule utile: Matrice și determinanți
Aplicând de mai multe ori relația de la b):
Două matrice \(A(p)\) și \(A(q)\) sunt egale doar dacă \(p=q\) (comparăm elementul \(-p=-q\) de pe linia 1, coloana 2). Deci
Soluțiile sunt \(n=3\) și \(n=-1\); cum \(n\) este număr natural, obținem \(n=3\).
Răspuns: \(n=3\)
Formule utile: Matrice și determinanți, Ecuația de gradul al II-lea
2. Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y\)\(=\dfrac{2x}{y+2}+\dfrac{2y}{x+2}\).
\(e=0\in M\) și, pentru orice \(x\in M\):
Răspuns: \(e=0\) este element neutru.
Formule utile: Legi de compoziție
Pentru \(x\in M\), \(x\ne0\):
Ecuația devine \(\dfrac{x^3+8}{x(x+2)}\)\(=x\)\(\iff x^3+8\)\(=x^3+2x^2\)\(\iff x^2\)\(=4\).
Cum \(x\gt0\), obținem \(x=2\).
Răspuns: \(x=2\)
Formule utile: Legi de compoziție
1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=2+\dfrac{x}{e^x-x}\).
(Funcția este bine definită, deoarece \(e^x\ge x+1\gt x\), deci \(e^x-x\gt0\).) Cu regula câtului:
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{e^x(1-x)}{\left(e^x-x\right)^2}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Cum \(e^x\gt0\) și \(\left(e^x-x\right)^2\)\(\gt0\), semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(1-x\). \(f'(x)=0\iff x=1\).
Răspuns: \(f\) crescătoare pe \((-\infty,1]\) și descrescătoare pe \([1,+\infty)\).
Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme
Calculăm limitele la capete și valoarea maximă:
(La \(-\infty\), \(e^x\to0\), deci \(\frac{x}{e^x-x}\to-1\); la \(+\infty\), \(e^x\) crește mult mai repede decât \(x\), deci fracția tinde la \(0\).)
\(f\) este continuă și strict crescătoare pe \((-\infty,1]\), cu valori în \(\left(1,\,2+\frac{1}{e-1}\right]\); cum \(m\in(1,2]\) aparține acestui interval, ecuația \(f(x)=m\) are exact o soluție în \((-\infty,1]\).
Pe \((1,+\infty)\), \(f\) este strict descrescătoare, cu valori în \(\left(2,\,2+\frac{1}{e-1}\right)\), deci nu ia nicio valoare \(m\le2\). Prin urmare, ecuația are soluție unică.
Răspuns: Pentru orice \(m\in(1,2]\), ecuația \(f(x)=m\) are exact o soluție (situată în \((-\infty,1)\)).
Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, Limite de funcții
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=3-x+\sqrt{x^2+9}\).
\(f(x)-\sqrt{x^2+9}\)\(=3-x\), deci
Răspuns: Integrala este egală cu \(0\).
Formule utile: Integrale definite, calculator integrale
\(f(x)+x-3\)\(=\sqrt{x^2+9}\). Observăm că \(\left(\sqrt{x^2+9}\right)'\)\(=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}\)\(=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\), deci
Răspuns: Integrala este egală cu \(2\).
Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite
\(I_n\)\(=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}}\,dx\). Pentru \(x\in[0,1]\) avem \(3-x\ge2\) și \(\sqrt{x^2+9}\ge0\), deci \(f(x)\ge2\gt0\). Rezultă
Integrând pe \([0,1]\): \(0\)\(\le I_n\)\(\le\dfrac12\displaystyle\int_0^1x^n\,dx\)\(=\dfrac{1}{2(n+1)}\), pentru orice \(n\ge1\).
Cum \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2(n+1)}\)\(=0\), din criteriul cleștelui obținem \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\).
Răspuns: \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)\(=0\)
Formule utile: Integrale definite, Șiruri
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(=2\) |
| I.2 | \(m=1\) |
| I.3 | \(x=0\) |
| I.4 | \(p=\frac49\) |
| I.5 | \(a=1\) |
| I.6 | aria \(=50\) |
| II.1 | a) 1; b) \(A(x+y)\); c) \(n=3\) |
| II.2 | a) 1; b) \(e=0\); c) \(x=2\) |
| III.1 | b) crescătoare pe \((-\infty,1]\), descrescătoare pe \([1,+\infty)\); c) soluție unică |
| III.2 | a) 0; b) 2; c) \(\lim I_n=0\) |
Ce variantă a picat la Bac 2022 la matematică M1? În sesiunea iunie–iulie 2022, la proba E. c) Matematică M_mate-info a fost extrasă varianta 1, publicată împreună cu baremul de evaluare.
Cum arăt că o ecuație f(x)=m are soluție unică? Studiezi monotonia funcției cu derivata, calculezi limitele la capete și valorile în punctele de extrem, apoi verifici pe fiecare interval de monotonie dacă \(m\) se află în imaginea funcției; o funcție continuă și strict monotonă ia fiecare valoare cel mult o dată.
Cum calculez limita unui șir de integrale? De obicei încadrezi integrandul între două funcții simple (de exemplu \(0\)\(\le\frac{x^n}{f(x)}\)\(\le\frac{x^n}{2}\)), integrezi inegalitățile și aplici criteriul cleștelui.
Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele de la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți.
Sesiunea de toamnă 2022: Bac 2022 matematică M1 (mate-info), sesiunea august–septembrie — rezolvat
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.