Simulare Bac 2022 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat

\(z_1+i=1-2i+i=1-i\) și \(z_2-1=2+i-1=1+i\). Cu formula \((a-b)(a+b)\)​\(=a^2-b^2\) și \(i^2=-1\):

\[\left(z_1+i\right)\left(z_2-1\right)=(1-i)(1+i)=1-i^2=1+1=2.\]

Răspuns: \(\left(z_1+i\right)\left(z_2-1\right)\)​\(=2\)

Formule utile: Numere complexe, fișă numere complexe

Coeficientul lui \(x^2\) este \(1\gt0\), deci \(f(x)\gt0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\) dacă și numai dacă \(\Delta\lt0\) (parabola este deasupra axei \(Ox\)).

\[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot m=16-4m\lt0\iff m\gt4.\]

Răspuns: \(m\in(4,+\infty)\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea, fișă ecuația de gradul 2 și inecuații

Condiții de existență: \(x-2\gt0\) și \(x\gt0\), deci \(x\gt2\).

\(2\log_2\sqrt{x-2}\)​\(=\log_2(x-2)\), deci ecuația devine

\[1+\log_2(x-2)=\log_2x\iff\log_2\frac{x}{x-2}=1\iff\frac{x}{x-2}=2.\]

\(x=2x-4\), deci \(x=4\), care convine (\(4\gt2\)). Verificare: \(1+2\log_2\sqrt2\)​\(=1+1\)​\(=2\)​\(=\log_24\) ✓.

Răspuns: \(x=4\)

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

\(A\)​\(=\{10,11,\dots,99\}\) are \(90\) de elemente, deci sunt \(90\) de cazuri posibile.

Un număr \(n\in A\) are ca multipli în \(A\) pe \(n,2n,3n,\dots\) (cât timp nu depășesc \(99\)). Are exact doi multipli în \(A\) dacă \(2n\le99\lt3n\), adică \(33\lt n\le49\). Numerele sunt \(34,35,\dots,49\), deci \(16\) cazuri favorabile.

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{8}{45}\)

Formule utile: Probabilități

Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc. Diagonalele lui \(ABMN\) sunt \(AM\) și \(BN\). Mijlocul lui \(AM\) este

\[P\left(\frac{-2+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=P(0,1).\]

\(P\) este și mijlocul lui \(BN\): \(\dfrac{3+x_N}{2}\)​\(=0\) și \(\dfrac{1+y_N}{2}\)​\(=1\), deci \(x_N=-3\), \(y_N=1\).

Răspuns: \(N(-3,1)\)

Formule utile: Coordonate în plan, mijlocul unui segment, Patrulatere

\(A+B=\pi-C\), deci \(\sin(A+B)\)​\(=\sin(\pi-C)\)​\(=\sin C\), iar relația devine \(\sin C+\cos C=1\).

Ridicăm la pătrat:

\[\sin^2C+2\sin C\cos C+\cos^2C=1\Rightarrow1+\sin2C=1\Rightarrow\sin2C=0.\]

Cum \(C\in(0,\pi)\), avem \(2C\in(0,2\pi)\), deci \(2C=\pi\), adică \(C=\dfrac{\pi}{2}\) (verifică relația: \(1+0=1\)). Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Răspuns: \(C=\dfrac{\pi}{2}\), deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic.

Formule utile: Formule trigonometrice, fișă aplicații ale trigonometriei

\(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&1&-1\\1&3&1\end{pmatrix}\). Prima și a treia linie sunt egale, deci determinantul este \(0\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot1+3\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot3\cdot1-2\cdot3\cdot1.\]

\[\det\big(A(1)\big)=1+6-3-1+3-6=0.\]

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=0\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

\(A(0)\)​\(=\begin{pmatrix}1&3&0\\2&1&-1\\0&3&1\end{pmatrix}\), deci

\[B(a)=A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}.\]

\[B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}.\]

\[B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&a^3\\0&0&0\\a^3&0&0\end{pmatrix}=a^3\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}=a^3B(1).\]

Răspuns: \(B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)\)​\(=a^3B(1)\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Formule utile: Puteri de matrice

Dacă sistemul are o infinitate de soluții, atunci \(\det\big(A(a)\big)\)​\(=0\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(a)\big)=1-3a+6a-a^2+3-6=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2).\]

Deci \(a=1\) sau \(a=2\).

• Pentru \(a=1\), prima ecuație este \(x+3y+z=2\), iar a treia \(x+3y+z=1\) — contradicție, sistemul este incompatibil, deci nu convine.
• Pentru \(a=2\): sistemul \(x+3y+2z=2\), \(2x+y-z=-1\), \(2x+3y+z=1\). Luând \(z=\alpha\), din primele două ecuații obținem \(x=\alpha-1\), \(y=-\alpha+1\); a treia ecuație este verificată: \(2\alpha-2-3\alpha+3+\alpha\)​\(=1\) ✓. Sistemul are o infinitate de soluții \((\alpha-1,\ -\alpha+1,\ \alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Pentru orice soluție:

\[x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=(\alpha-1)(-\alpha+1)+\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=-(\alpha-1)^2\le0.\]

(Ultimii doi termeni se reduc: \(\alpha(1-\alpha)+\alpha(\alpha-1)\)​\(=0\).)

Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții doar pentru \(a=2\), iar atunci \(x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\)​\(=-(\alpha-1)^2\)​\(\le0\).

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

\[(-1)*2=\frac{-1+2}{4\cdot\left|-1\cdot2\right|+1}=\frac{1}{4\cdot2+1}=\frac19.\]

Răspuns: \((-1)*2=\dfrac19\)

Formule utile: Legi de compoziție

Pentru orice număr complex \(z\):

\[z*0=\frac{z+0}{4\cdot|z\cdot0|+1}=\frac{z}{1}=z,\qquad0*z=\frac{0+z}{4\cdot|0\cdot z|+1}=z.\]

Deci \(z*0=0*z=z\) pentru orice \(z\in\mathbb{C}\), adică \(e=0\) este elementul neutru.

Răspuns: \(z*0=0*z=z\), pentru orice \(z\in\mathbb{C}\), deci \(e=0\).

Formule utile: Structuri algebrice, fișă legi de compoziție

Cum \(\left|z\cdot z\right|\)​\(=|z|^2\), avem

\[z*z=\frac{2z}{4|z|^2+1}\Rightarrow|z*z|=\frac{2|z|}{4|z|^2+1}.\]

Pentru \(z\ne0\), egalitatea \(\dfrac{2|z|}{4|z|^2+1}\)​\(=|z|\) devine, după împărțirea la \(|z|\gt0\), \(4|z|^2+1=2\), deci \(|z|=\dfrac12\).

Orice număr complex de modul \(\dfrac12\) verifică egalitatea; de exemplu, numerele distincte și nenule \(\dfrac12\), \(-\dfrac12\) și \(\dfrac{i}{2}\).

Răspuns: De exemplu \(z\in\left\{\dfrac12,-\dfrac12,\dfrac i2\right\}\) (orice \(z\) cu \(|z|=\dfrac12\)).

Formule utile: Numere complexe (modul), Legi de compoziție

Cu regula câtului și \(\left(\sqrt{x^4+16}\right)'\)​\(=\dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\)​\(=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+16}}\):

\[f'(x)=\frac{\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+16}}\cdot x-\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\frac{2x^4-\left(x^4+16\right)}{x^2\sqrt{x^4+16}}.\]

\[f'(x)=\frac{x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}=\frac{\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)}{x^2\sqrt{x^4+16}},\quad x\in(0,+\infty).\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)}{x^2\sqrt{x^4+16}}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Panta asimptotei oblice:

\[m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{16}{x^4}}=1.\]

Ordonata la origine (amplificăm cu conjugata):

\[n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{16}{x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)}=0.\]

Deci dreapta \(y=x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\).

Răspuns: \(y=x\)

Formule utile: Asimptote oblice, calculator asimptote

Calculăm \(f\left(\dfrac4x\right)\), pentru \(x\gt0\):

\[f\left(\frac4x\right)=\frac{\sqrt{\frac{256}{x^4}+16}}{\frac4x}=\frac{x}{4}\cdot\frac{4\sqrt{16+x^4}}{x^2}=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}=f(x).\]

Deci ecuația este \(g(x)=m\), unde \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=2f(x)\).

Din a): \(f'(x)=0\iff x=2\); \(f'(x)\lt0\) pe \((0,2)\) și \(f'(x)\gt0\) pe \((2,+\infty)\). Deci \(g\) este strict descrescătoare pe \((0,2]\) și strict crescătoare pe \([2,+\infty)\), cu minimul

\[g(2)=2\cdot\frac{\sqrt{32}}{2}=4\sqrt2.\]

Limitele: \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\)​\(=+\infty\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\)​\(=+\infty\). Cum \(g\) este continuă, pentru \(m\gt4\sqrt2\) ecuația are câte o soluție pe fiecare interval de monotonie (deci exact două), pentru \(m=4\sqrt2\) are doar soluția \(x=2\), iar pentru \(m\lt4\sqrt2\) nu are soluții.

Răspuns: \(m\in\left(4\sqrt2,+\infty\right)\)

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

\(e^xf(x)=x^2+1\), deci

\[\int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_0^3=\frac{27}{3}+3=12.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(12\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

\(g(x)\)​\(=\dfrac{e^x}{x^2+1}\). Dacă \(G\) este o primitivă a lui \(g\), atunci \(G'(x)=g(x)\), deci \(G''(x)=g'(x)\):

\[G''(x)=\frac{e^x\left(x^2+1\right)-e^x\cdot2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\ge0,\quad x\in\mathbb{R}.\]

Derivata a doua este nenegativă pe \(\mathbb{R}\), deci \(G\) este convexă.

Răspuns: \(G''(x)\)​\(=\dfrac{e^x(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\)​\(\ge0\), deci \(G\) este convexă.

Formule utile: Primitive, fișă convexitate

\(e^xf(x)=x^2+1\), deci integrala este \(\displaystyle\int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\). Scriem \(x^3\)​\(=x\left(x^2+1\right)-x\) și \(x\)​\(=\dfrac12\left(x^2+1\right)'\):

\[\int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=\frac12\int_0^1\left(x^2+1\right)'\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx.\]

\[=\frac12\left(\frac{2\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}{3}-2\sqrt{x^2+1}\right)\Bigg|_0^1=\frac12\left(\frac{4\sqrt2}{3}-2\sqrt2-\frac23+2\right)=\frac{2-\sqrt2}{3}.\]

Din \(\dfrac{2-\sqrt2}{3}\)​\(=\dfrac{a-\sqrt2}{3}\) obținem \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, fișă primitive și integrale