Modelul oficial de subiect pentru Bacalaureat 2027 la matematică M_șt-nat (M2), publicat de Ministerul Educației și Cercetării pe subiecte.edu.ro, rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Găsești enunțul fiecărui item (Subiectul I 1–6, Subiectul II 1–2, Subiectul III 1–2), rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele de care ai nevoie.
Proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii. Modelul arată structura și nivelul subiectului din 2027: toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.
Subiectul și baremul originale (PDF, în arhiva oficială cu modelele la matematică): Bac_2027_E_c_Matematica_modele.zip (fișierele E_c_matematica_M_st-nat_2027_var_model.pdf și …_bar_model.pdf), pe pagina Modele de subiecte 2027 — probe scrise.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Cu \(a_n=a_1+(n-1)r\): \(a_5-a_2=3r\), deci \(3r=30-9=21\) și \(r=7\).
Răspuns: \(a_1=2\)
Formule utile: Progresia aritmetică
\(f(-1)=-1+3=2\) și \(f(a)=a+3\). Ecuația devine
Verificare: \(f(-6)=-3\) și \(2\cdot(-3)=-6\) ✓.
Răspuns: \(a=-6\)
Formule utile: Funcția de gradul I
Condiții de existență: \(x+2\gt0\) și \(x\gt0\), deci \(x\gt0\).
Schimbăm baza: \(\log_4x\)\(=\dfrac{\log_2x}{\log_24}\)\(=\dfrac{\log_2x}{2}\), deci \(4\log_4x\)\(=2\log_2x\)\(=\log_2x^2\). Ecuația devine
Rădăcinile sunt \(x=-1\), care nu convine (\(x\gt0\)), și \(x=2\), care convine.
Verificare: \(\log_24=2\) și \(4\log_42\)\(=4\cdot\frac12\)\(=2\) ✓.
Răspuns: \(S=\{2\}\)
Formule utile: Logaritmi — proprietăți și ecuații, calculator logaritmi
Un număr \(\overline{ab}\) cu cifre din \(A\) este cel puțin \(62\) doar dacă cifra zecilor este \(6\), \(7\) sau \(8\) (cu cifra zecilor \(2\) sau \(4\) numărul ar fi sub \(50\)): 3 moduri.
Numărul este par dacă cifra unităților este \(2\), \(4\), \(6\) sau \(8\): 4 moduri (cifrele se pot repeta). Pentru cifra zecilor \(6\), toate numerele \(62, 64, 66, 68\) sunt \(\ge62\), deci nu pierdem niciun caz.
După regula produsului: \(3\cdot4=12\) numere: \(62,64,66,68,72,74,76,78,82,84,86,88\).
Răspuns: 12 numere
Formule utile: Combinatorică
Panta dreptei \(d\) este \(m_d=1\), iar panta dreptei \(OA\) este \(m_{OA}\)\(=\dfrac{a-0}{5-0}\)\(=\dfrac a5\).
Două drepte (neverticale) sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este \(-1\):
Răspuns: \(a=-5\)
Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei
În triunghiul dreptunghic \(ABC\): \(\operatorname{tg}B\)\(=\dfrac{AC}{AB}\), deci
Atunci \(AM=AC=4\sqrt3\) (\(\approx6{,}93\)\(\lt12\), deci \(M\) este pe latura \(AB\)). Triunghiul \(AMC\) este dreptunghic în \(A\) (\(M\in AB\perp AC\)), deci
Răspuns: \(\mathcal{A}_{AMC}\)\(=24\)
Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric, Aria triunghiului
1. Se consideră matricele \(I_2\)\(=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A\)\(=\begin{pmatrix}4&0\\2&1\end{pmatrix}\) și \(B(x)\)\(=\begin{pmatrix}x&1\\3-2x&4x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
\(B(2)\)\(=\begin{pmatrix}2&1\\-1&9\end{pmatrix}\), deci
Răspuns: \(\det\big(B(2)\big)\)\(=19\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
\(B(x+1)\)\(=\begin{pmatrix}x+1&1\\1-2x&4x+5\end{pmatrix}\), deci \(B(x+1)-B(x)\)\(=\begin{pmatrix}1&0\\-2&4\end{pmatrix}\) (nu depinde de \(x\)).
Răspuns: \(\big(B(x+1)-B(x)\big)A\)\(=4I_2\) pentru orice \(x\) real.
Formule utile: Matrice și determinanți
Trecem termenii cu \(X\) în stânga (înmulțirea se face la stânga în ambii termeni):
Din b) (cu \(x=2\)), \(C\)\(=B(3)-B(2)\)\(=\begin{pmatrix}1&0\\-2&4\end{pmatrix}\) verifică \(C\cdot A=4I_2\), deci \(C\) este inversabilă și \(C^{-1}=\dfrac14A\). Înmulțim la stânga cu \(C^{-1}\):
\(A^2\)\(=\begin{pmatrix}4&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&0\\2&1\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}16&0\\10&1\end{pmatrix}\), deci
Răspuns: \(X\)\(=\begin{pmatrix}8&0\\5&\frac12\end{pmatrix}\)
Formule utile: Matrice inversabilă, calculator matrice inversă
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x*y=(x-7)(y-7)+7\), cu elementul neutru \(e=8\).
Ecuația \(x^2-6x\)\(=0\)\(\iff x(x-6)\)\(=0\) are soluțiile \(x=0\) și \(x=6\).
Răspuns: \(x\in\{0,\,6\}\)
Formule utile: Ecuația de gradul al II-lea
\(\frac{5n}{3}\) este simetricul lui \(n\) dacă \(\frac{5n}{3}*n\)\(=n*\frac{5n}{3}\)\(=e\)\(=8\) (legea este comutativă). Deci
Desfăcând: \(5n^2-56n+144=0\), cu \(\Delta\)\(=3136-2880\)\(=256\), deci \(n\)\(=\dfrac{56\pm16}{10}\), adică \(n=\dfrac{36}{5}\) sau \(n=4\). Cum \(n\) este întreg, \(n=4\).
Verificare: \(\frac{20}{3}*4\)\(=\left(\frac{20}{3}-7\right)(4-7)+7\)\(=\left(-\frac13\right)(-3)+7\)\(=8\) ✓.
Răspuns: \(n=4\)
Formule utile: Legi de compoziție (element simetric), Structuri algebrice
1. Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{3x+2\sqrt x-2}{x}\).
Cu regula câtului și \(\left(2\sqrt x\right)'\)\(=\dfrac{1}{\sqrt x}\):
(Am folosit \(\frac{x}{\sqrt x}\)\(=\sqrt x\).)
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{2-\sqrt x}{x^2}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Domeniul este \((0,+\infty)\), deci căutăm asimptota spre \(+\infty\):
Limita este finită, deci dreapta \(y=3\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\).
Răspuns: \(y=3\)
Formule utile: Asimptote orizontale, calculator asimptote
Din a), \(f'(x)\)\(=0\)\(\iff\sqrt x\)\(=2\)\(\iff x\)\(=4\). Semnul lui \(f'\) este semnul lui \(2-\sqrt x\):
Valori și limite: \(f(4)\)\(=\dfrac{12+4-2}{4}\)\(=\dfrac72\) (maximul funcției); \(\displaystyle\lim_{x\to0,\,x\gt0}f(x)\)\(=-\infty\), deoarece numărătorul tinde la \(-2\), iar numitorul la \(0^+\); \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)\(=3\).
\(f\) este continuă, deci pe \((0,4]\) ia toate valorile din \(\left(-\infty,\frac72\right]\), iar pe \([4,+\infty)\) valorile din \(\left(3,\frac72\right]\), incluse deja. Imaginea este reuniunea lor.
Răspuns: \(\operatorname{Im}f\)\(=\left(-\infty,\dfrac72\right]\)
Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, Limite de funcții
2. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\dfrac{9x^2}{(x+1)^2}\).
\(f(x)(x+1)^2=9x^2\), deci
Răspuns: \(21\)
Formule utile: Integrale definite, Tabel de integrale
\(\dfrac{f(x)}{x^2}\)\(=\dfrac{9}{(x+1)^2}\), iar o primitivă a lui \(\dfrac{1}{(x+1)^2}\) este \(-\dfrac{1}{x+1}\):
Răspuns: \(2\)
Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, calculator integrale
Observăm că integrandul este derivata unui produs: \(\big(x^3f(x)\big)'\)\(=3x^2f(x)+x^3f'(x)\)\(=x^2\big(3f(x)+xf'(x)\big)\). Deci
Condiția devine \(a^3f(a)=a^3\) și, cum \(a\gt0\), \(f(a)=1\):
Verificare: \(f\left(\frac12\right)\)\(=\dfrac{9/4}{9/4}\)\(=1\) ✓.
Răspuns: \(a=\dfrac12\)
Formule utile: Integrale definite, Derivate (derivata produsului)
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(a_1=2\) |
| I.2 | \(a=-6\) |
| I.3 | \(x=2\) |
| I.4 | 12 numere |
| I.5 | \(a=-5\) |
| I.6 | \(AC=4\sqrt3\), aria \(=24\) |
| II.1 | a) 19; b) \(4I_2\); c) \(X\)\(=\begin{pmatrix}8&0\\5&\frac12\end{pmatrix}\) |
| II.2 | a) 27; b) \(x\in\{0,6\}\); c) \(n=4\) |
| III.1 | b) \(y=3\); c) \(\left(-\infty,\frac72\right]\) |
| III.2 | a) 21; b) 2; c) \(a=\frac12\) |
Unde găsesc modelul oficial de subiect la matematică M2 pentru Bac 2027? Pe subiecte.edu.ro, la Bacalaureat 2027 — Modele de subiecte — Probe scrise: arhiva cu modelele la matematică conține subiectul și baremul pentru M_șt-nat, alături de M_mate-info, M_tehnologic și M_pedagogic.
Ce capitole apar în modelul de Bac 2027 M2? Subiectul I: progresii aritmetice, funcția de gradul I, ecuații logaritmice, numărare, drepte perpendiculare și triunghiul dreptunghic. Subiectul II: matrice de ordinul 2 cu o ecuație matriceală și o lege de compoziție. Subiectul III: derivate, asimptote și imaginea unei funcții, apoi integrale definite.
Modelul de subiect este același cu subiectul din iunie 2027? Nu. Modelul arată structura, tipul itemilor și nivelul de dificultate; subiectele din sesiuni sunt variante noi, construite după aceeași programă.
Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele obținute la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți. Media finală o poți estima cu calculatorul de medie la Bacalaureat.
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Model de subiect și barem oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.