Simulare Bac 2021 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat

Într-o progresie geometrică, fiecare termen (începând cu al doilea) este media geometrică a termenilor egal depărtați de el: \(b_4^2\)​\(=b_2\cdot b_6\).

\[4^2=2\cdot b_6\Rightarrow b_6=\frac{16}{2}=8.\]

(Altfel: \(q^2\)​\(=\dfrac{b_4}{b_2}\)​\(=2\), deci \(b_6\)​\(=b_4q^2\)​\(=4\cdot2\)​\(=8\).)

Răspuns: \(b_6=8\)

Formule utile: Progresia geometrică, fișă progresii

Coordonatele vârfului \(V\left(x_V,y_V\right)\):

\[x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1,\qquad y_V=f(1)=1-2+m=m-1.\]

\(V\) se află pe dreapta \(y=3x\) dacă \(y_V=3x_V\), adică \(m-1=3\), deci \(m=4\).

Răspuns: \(m=4\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

\(4^x\)​\(=\left(2^x\right)^2\) și \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), deci ecuația devine

\[2^{2x}-2\cdot2^x-3=0\Rightarrow\left(2^x+1\right)\left(2^x-3\right)=0.\]

Cum \(2^x\gt0\), avem \(2^x+1\gt0\), deci \(2^x=3\), adică \(x=\log_23\).

Răspuns: \(x=\log_23\)

Formule utile: Ecuații exponențiale, fișă ecuații exponențiale

Numerele de trei cifre care au exact două cifre egale sunt de forma \(\overline{aab}\), \(\overline{aba}\) sau \(\overline{baa}\), unde \(a\) și \(b\) sunt cifre distincte (prima cifră nenulă).

• \(\overline{aab}\): \(a\in\{1,\dots,9\}\) — \(9\) moduri, \(b\ne a\) — \(9\) moduri, deci \(81\) de numere;
• \(\overline{aba}\): la fel, \(9\cdot9=81\) de numere;
• \(\overline{baa}\): \(b\in\{1,\dots,9\}\) — \(9\) moduri, \(a\ne b\) (poate fi și \(0\)) — \(9\) moduri, deci \(81\) de numere.

Cele trei cazuri sunt disjuncte, deci numărul cerut este \(81\cdot3=243\).

Răspuns: \(243\) de numere

Formule utile: Combinatorică, fișă combinatorică

Fie \(M\) mijlocul comun al segmentelor \(AB\) și \(A'B'\). Atunci \(\overrightarrow{AM}\)​\(=\overrightarrow{MB}\) și \(\overrightarrow{A'M}\)​\(=\overrightarrow{MB'}\).

Cu regula triunghiului:

\[\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA'}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MA'}\right).\]

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\)​\(=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}\)​\(=\vec0\) și \(\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MA'}\)​\(=\overrightarrow{A'M}+\overrightarrow{MA'}\)​\(=\vec0\).

Răspuns: \(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BA'}\)​\(=\vec0+\vec0\)​\(=\vec0\)

Formule utile: Vectori, fișă vectori în plan

Conform teoremei sinusurilor:

\[\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R.\]

Deci \(BC=2R\sin A\), \(AC=2R\sin B\) și \(AB=2R\sin C\). Adunând:

\[AB+AC+BC=2R\sin C+2R\sin B+2R\sin A=2R(\sin A+\sin B+\sin C).\]

Răspuns: Relația rezultă direct din teorema sinusurilor.

Formule utile: Teorema sinusurilor

\(X(0,1)\)​\(=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(X(0,1)\big)=0\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot2+1\cdot3\cdot0-0\cdot2\cdot2-1\cdot3\cdot0-1\cdot1\cdot1.\]

\[\det\big(X(0,1)\big)=0+2+0-0-0-1=1.\]

Răspuns: \(\det\big(X(0,1)\big)\)​\(=1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Matricea sistemului este \(X(a,b)\). Scădem prima coloană din a doua și din a treia (determinantul nu se schimbă):

\[\det\big(X(a,b)\big)=\begin{vmatrix}a&1&2\\b&1&2\\0&1&1\end{vmatrix}=a(1-2)-b(1-2)+0=b-a.\]

(Am dezvoltat după prima coloană.) Pentru \(a\ne b\), \(\det\big(X(a,b)\big)\)​\(=b-a\)​\(\ne0\), deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

Răspuns: \(\det\big(X(a,b)\big)\)​\(=b-a\)​\(\ne0\) pentru \(a\ne b\), deci soluția este unică.

Formule utile: Sisteme de ecuații, fișă sisteme liniare

Cazul \(a\ne b\). Scăzând prima ecuație din a doua: \((b-a)(x+y+z)=b-a\), deci \(x+y+z=1\). Cu \(y+z=1\) rezultă \(x=0\). Din prima ecuație: \((a+1)y+(a+2)z\)​\(=a\)​\(\iff(a+1)(y+z)+z\)​\(=a\)​\(\iff a+1+z\)​\(=a\), deci \(z=-1\), \(y=2\). Soluția unică este \((0,2,-1)\) și

\[y_0^2-z_0^2-2ax_0=2^2-(-1)^2-2a\cdot0=4-1=3.\]

Cazul \(a=b\). Primele două ecuații coincid. Luând \(x\)​\(=\alpha\in\mathbb{R}\), prima ecuație devine \(a\alpha+(a+1)(y+z)+z\)​\(=a\)​\(\iff a\alpha+a+1+z\)​\(=a\), deci \(z=-1-a\alpha\) și \(y=1-z=2+a\alpha\). Soluțiile sunt \((\alpha,\ 2+a\alpha,\ -1-a\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\), și

\[y_0^2-z_0^2-2ax_0=(2+a\alpha)^2-(1+a\alpha)^2-2a\alpha=4+4a\alpha+a^2\alpha^2-1-2a\alpha-a^2\alpha^2-2a\alpha=3.\]

Răspuns: În ambele cazuri \(y_0^2-z_0^2-2ax_0\)​\(=3\).

Formule utile: Sisteme de ecuații, calculator sisteme de ecuații

\[5*10=(5-1)^{\log_3(10-1)}+1=4^{\log_39}+1=4^2+1=17.\]

Răspuns: \(5*10=17\)

Formule utile: Legi de compoziție, Logaritmi

Căutăm \(e\in M\) cu \(x*e=x\) pentru orice \(x\in M\):

\[(x-1)^{\log_3(e-1)}+1=x\iff(x-1)^{\log_3(e-1)}=x-1,\ \text{pentru orice}\ x\in M,\]

deci \(\log_3(e-1)=1\), adică \(e=4\in M\).

Verificăm și \(e*x=x\): \(4*x\)​\(=3^{\log_3(x-1)}+1\)​\(=(x-1)+1\)​\(=x\), pentru orice \(x\in M\). Deci \(e=4\) este elementul neutru.

Răspuns: \(e=4\)

Formule utile: Structuri algebrice, fișă legi de compoziție

\(x*x\)​\(=(x-1)^{\log_3(x-1)}+1\), deci \((x*x)-1\)​\(=(x-1)^{\log_3(x-1)}\) și

\[x*x*x=(x*x)*x=\left((x-1)^{\log_3(x-1)}\right)^{\log_3(x-1)}+1=(x-1)^{\log_3^2(x-1)}+1.\]

Ecuația devine \((x-1)^{\log_3^2(x-1)}\)​\(=(x-1)^{\log_3(x-1)}\). Cum \(x\in M\), baza \(x-1\gt1\), iar egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților:

\[\log_3^2(x-1)=\log_3(x-1)\Rightarrow\log_3(x-1)=0\ \text{sau}\ \log_3(x-1)=1.\]

Prima variantă dă \(x=2\notin M\); a doua dă \(x-1=3\), adică \(x=4\), care convine.

Răspuns: \(x=4\)

Formule utile: Legi de compoziție, Logaritmi

Cu \(\left(\sqrt u\right)'\)​\(=\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) și \(\left(e^{2x}+x^4+2\right)'\)​\(=2e^{2x}+4x^3\):

\[f'(x)=\frac{2e^{2x}+4x^3}{2\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}=\frac{2\left(e^{2x}+2x^3\right)}{2\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

Panta tangentei în punctul de abscisă \(0\) este

\[f'(0)=\frac{e^0+0}{\sqrt{e^0+0+2}}=\frac{1}{\sqrt3}.\]

Dreapta \(x-\sqrt3y=0\) se scrie \(y\)​\(=\dfrac{1}{\sqrt3}x\), deci are panta \(\dfrac{1}{\sqrt3}\). Pantele sunt egale, iar tangenta trece prin \(\big(0,f(0)\big)\)​\(=\left(0,\sqrt3\right)\), care nu se află pe dreapta dată (dreapta trece prin origine) — deci tangenta, de ecuație \(y\)​\(=\dfrac{x}{\sqrt3}+\sqrt3\), este paralelă cu dreapta \(x-\sqrt3y=0\).

Răspuns: Panta tangentei este \(f'(0)\)​\(=\dfrac{1}{\sqrt3}\), egală cu panta dreptei \(x-\sqrt3y=0\).

Formule utile: Ecuația tangentei, Drepte paralele

Numitorul lui \(f'\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'(x)\) este semnul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=e^{2x}+2x^3\).

\(g'(x)\)​\(=2e^{2x}+6x^2\)​\(\gt0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci \(g\) este strict crescătoare. Cum \(g\) este continuă, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)\)​\(=-\infty\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\)​\(=+\infty\), există un unic număr real \(c\) cu \(g(c)=0\) (de fapt \(c\in(-1,0)\), pentru că \(g(-1)\)​\(=e^{-2}-2\)​\(\lt0\)​\(\lt1\)​\(=g(0)\)).

Atunci \(f'(x)\lt0\) pe \((-\infty,c)\), deci \(f\) este strict descrescătoare pe \((-\infty,c]\), și \(f'(x)\gt0\) pe \((c,+\infty)\), deci \(f\) este strict crescătoare pe \([c,+\infty)\). Prin urmare \(x=c\) este punct de minim și este singurul punct de extrem al lui \(f\).

Răspuns: \(f\) are un unic punct de extrem (un minim în \(x=c\), unde \(e^{2c}+2c^3=0\)).

Formule utile: Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor, fișă monotonie și puncte de extrem

\(2f(x)+\dfrac{1}{x^2+3}\)​\(=\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}+\dfrac{1}{x^2+3}\)​\(=\dfrac{1}{x^2+1}\), deci

\[\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx=\operatorname{arctg}x\,\Bigg|_0^1=\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\frac{\pi}{4}.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(\dfrac{\pi}{4}\).

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

Dacă \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este o primitivă a lui \(f\), atunci \(F'(x)=f(x)\):

\[F'(x)=\frac12\cdot\frac{x^2+3-\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}\gt0,\]

pentru orice număr real \(x\). Deci \(F\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: \(F'(x)\)​\(=\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}\)​\(\gt0\), deci \(F\) este strict crescătoare.

Formule utile: Primitive, fișă primitive și integrale

Cum \(F'=f\), integrandul este \(F^2(x)F'(x)\)​\(=\left(\dfrac{F^3(x)}{3}\right)'\), deci

\[\int_a^bf(x)F^2(x)\,dx=\int_a^bF^2(x)F'(x)\,dx=\frac13F^3(x)\,\Bigg|_a^b=\frac13\left(F^3(b)-F^3(a)\right).\]

Din b), \(F\) este strict crescătoare, deci \(a\)​\(\lt b\)​\(\Rightarrow F(a)\)​\(\lt F(b)\), iar funcția \(t\mapsto t^3\) este strict crescătoare, deci \(F^3(a)\lt F^3(b)\). Prin urmare integrala este strict pozitivă.

Răspuns: \(\displaystyle\int_a^bf(x)F^2(x)\,dx\)​\(=\frac13\left(F^3(b)-F^3(a)\right)\)​\(\gt0\)

Formule utile: Integrale definite, fișă integrala definită