Bacalaureat 2022 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Calculăm paranteza, apoi înmulțirea și scăderea:

$$5-3\cdot (1+\frac{1}{3})=5-3\cdot \frac{4}{3}=5-4=1.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$.

Vezi și: Fracții — operații.

$f(a)=a-4$, deci ecuația devine

$$a-4=2\Rightarrow a=6.$$

Verificare: $f(6)=6-4=2$. ✓

Răspuns: $a=6$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Condiția de existență: $4+2x\ge 0$, adică $x\ge -2$.

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi):

$$4+2x=4\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0.$$

Verificare: $\sqrt{4+0}=2$. ✓ Soluția $x=0$ convine.

Răspuns: $x=0$.

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Scumpirea reprezintă $10\mathrm{\%}$ din prețul inițial:

$$\frac{10}{100}\cdot 90=9\text{ lei}.$$

Prețul după scumpire este $90+9=99$ de lei. (Echivalent: $90\cdot 1,1=99$.)

Răspuns: prețul după scumpire este $99$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$$a=\frac{1+5}{2}=3,$$

$$b=\frac{4+0}{2}=2.$$

Răspuns: $a=3$, $b=2$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

În triunghiul dreptunghic în $A$, $BC$ este ipotenuza, iar $AB$ este cateta opusă unghiului $C$:

$$\sin C=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{3}{BC}\Rightarrow BC=6.$$

(Echivalent: cateta opusă unghiului de ${30}^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.)

Răspuns: $BC=6$.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-1\cdot 4=6-4=2.$$

Răspuns: $detA=2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$2B=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ 2& 6\end{array}\right)\Rightarrow A+2B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 6& 9\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 3\end{array}\right)=3C.$$

Răspuns: $A+2B=3C$.

Calculăm produsul (linie cu coloană) și diferența:

$$B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}4-4& -2-6\\ 2+6& -1+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -8\\ 8& 8\end{array}\right),$$

$$A-C=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right).$$

$$B\cdot C+x(A-C)=\left(\begin{array}{cc}0& -8+2x\\ 8+2x& 8\end{array}\right).$$

$$det(B\cdot C+x(A-C))=0\cdot 8-(-8+2x)(8+2x)=(8-2x)(8+2x),$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația $(8-2x)(8+2x)=0$ dă $x=4$ sau $x=-4$.

Răspuns: $x\in \{-4,4\}$.

$$1\ast 1=(1+2\cdot 1)(1+2\cdot 1)+2=3\cdot 3+2=11.$$

Răspuns: $1\ast 1=11$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\ast 0=(x+0)(0+2x)+2=2x^2+2,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $2x^2+2=4$, adică $x^2-1=0$, deci $x=-1$ sau $x=1$.

Răspuns: $x\in \{-1,1\}$.

Înlocuim $y=\frac{1}{x}$ și desfacem parantezele:

$$x\ast \frac{1}{x}=(x+\frac{2}{x})(\frac{1}{x}+2x)+2=1+2x^2+\frac{2}{x^2}+4+2=2(x^2+\frac{1}{x^2})+7.$$

Pentru $x\ne 0$, $x^2>0$ și $\frac{1}{x^2}>0$, deci $2(x^2+\frac{1}{x^2})>0$. Prin urmare

$$x\ast \frac{1}{x}=2(x^2+\frac{1}{x^2})+7>7,$$

pentru orice număr real nenul $x$.

Răspuns: $x\ast \frac{1}{x}=2(x^2+\frac{1}{x^2})+7>7$.

$$f^{\prime }(x)=2\cdot 5x^4+5\cdot 4x^3-10\cdot 3x^2=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3),$$

pentru $x\in \mathbb{R}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=10x^2(x^2+2x-3)$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$f(0)=1$ și, din a), $f^{\prime }(0)=0$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=0$ este

$$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\Rightarrow y-1=0\Rightarrow y=1.$$

Răspuns: tangenta are ecuația $y=1$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Observăm că $2x^5+5x^4-10x^3+3=f(x)+2$, deci trebuie arătat că $f(x)\ge -2$ pe $[-3,+\mathrm{\infty })$.

$f^{\prime }(x)=10x^2(x+3)(x-1)$, deci $f^{\prime }(x)=0\iff x=-3$ sau $x=0$ sau $x=1$. Pe $[-3,+\mathrm{\infty })$, $10x^2\ge 0$ și $x+3\ge 0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este dat de $x-1$:

• $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru $x\in [-3,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-3,1]$;

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru $x\in [1,+\mathrm{\infty })$, deci $f$ este crescătoare pe $[1,+\mathrm{\infty })$.

Prin urmare $x=1$ este punct de minim pe $[-3,+\mathrm{\infty })$ și $f(x)\ge f(1)$, unde

$$f(1)=2+5-10+1=-2.$$

Obținem $2x^5+5x^4-10x^3+1\ge -2$, adică $2x^5+5x^4-10x^3+3\ge 0$, pentru orice $x\in [-3,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f(x)\ge f(1)=-2$ pe $[-3,+\mathrm{\infty })$, deci inegalitatea este adevărată.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

Pentru $x\in [0,2]$, $f(x)-\frac{2}{x+1}=6x$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^{2}6xdx={6\cdot \frac{x^2}{2}|}_0^2={3x^2|}_0^2=12-0=12.$$

Răspuns: integrala este egală cu $12$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Pentru $x\in [0,1]$, $f(x)-6x=\frac{2}{x+1}$:

$${\int }_0^1\frac{2}{x+1}dx={2\ln (x+1)|}_0^1=2\ln 2-2\ln 1=2\ln 2.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2\ln 2$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Pentru $x\in [1,e]$, integrandul este $6x{\ln }^{2}x$. Scriem $6x={\left(3x^2\right)}^{\prime }$ și integrăm prin părți (${({\ln }^{2}x)}^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$):

$${\int }_1^{e}6x{\ln }^{2}xdx={3x^2{\ln }^{2}x|}_1^e-{\int }_1^{e}3x^2\cdot \frac{2\ln x}{x}dx=3e^2-{\int }_1^{e}6x\ln xdx.$$

Integrăm din nou prin părți, cu $6x={\left(3x^2\right)}^{\prime }$:

$${\int }_1^{e}6x\ln xdx={3x^2\ln x|}_1^e-{\int }_1^{e}3xdx=3e^2-{\frac{3x^2}{2}|}_1^e=3e^2-\frac{3e^2-3}{2}.$$

$${\int }_1^{e}6x{\ln }^{2}xdx=3e^2-3e^2+\frac{3e^2-3}{2}=\frac{3(e^2-1)}{2}.$$

Din ${\displaystyle \frac{3(e^2-1)}{2}}={\displaystyle \frac{a(e^2-1)}{2}}$ obținem $a=3$.

Răspuns: $a=3$.

Vezi și: Integrarea prin părți.