Distanța punct–dreaptă, aria cu determinant, coliniaritate

Q: Care este formula distanței de la un punct la o dreaptă?

Pentru M(x_0, y_0) și d: ax + by + c = 0 , d(M, d) = |ax_0 + by_0 + c|√(a² + b²) . Dreapta trebuie scrisă mai întâi în forma generală.

Q: Cum calculez aria unui triunghi cu determinant?

Scrii coordonatele vârfurilor pe linii, cu 1 în ultima coloană, calculezi determinantul Δ și iei A = (1)/(2)|Δ| .

Formule

Distanța de la punctul $M (x_{0}, y_{0})$ la dreapta $d : a x + b y + c = 0$ este $d (M, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . Aria triunghiului cu vârfurile $A, B, C$ date prin coordonate este $A = \frac{1}{2} | Δ |$ , unde $Δ$ este determinantul coordonatelor, iar punctele $A, B, C$ sunt coliniare exact când $Δ = 0$ .

Formula distanței de la un punct la o dreaptă

d (M, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Distanța este lungimea perpendicularei duse din $M$ pe dreaptă. Pași: aduci dreapta la forma generală $a x + b y + c = 0$ (dacă e dată ca $y = m x + n$ , o scrii $m x - y + n = 0$ ), înlocuiești coordonatele punctului la numărător, pui modulul, apoi împarți la $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Dacă rezultatul este $0$ , punctul se află pe dreaptă.

Cazuri particulare utile:

distanța de la $M (x_{0}, y_{0})$ la axa $O x$ este $| y_{0} |$ , iar la axa $O y$ este $| x_{0} |$ ;
distanța la dreapta verticală $x = k$ este $| x_{0} - k |$ , la dreapta orizontală $y = k$ este $| y_{0} - k |$ ;
distanța de la origine la $a x + b y + c = 0$ este $\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Distanța dintre două drepte paralele

Dacă dreptele sunt scrise cu aceiași coeficienți $a, b$ : $d_{1} : a x + b y + c_{1} = 0$ , $d_{2} : a x + b y + c_{2} = 0$ , atunci

d (d_{1}, d_{2}) = \frac{| c_{1} - c_{2} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Dacă coeficienții diferă (de exemplu $3 x + 4 y - 2 = 0$ și $6 x + 8 y + 11 = 0$ ), împarți întâi una dintre ecuații ca să ajungă la aceiași $a, b$ . Alternativ, iei un punct oarecare de pe o dreaptă și calculezi distanța lui la cealaltă. Condițiile de paralelism sunt pe pagina drepte paralele și perpendiculare.

Aria triunghiului cu determinant

Pentru $A (x_{A}, y_{A})$ , $B (x_{B}, y_{B})$ , $C (x_{C}, y_{C})$ :

A_{A B C} = \frac{1}{2} | Δ |, Δ = | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} |

Modulul este obligatoriu: semnul lui $Δ$ depinde doar de ordinea în care sunt luate vârfurile. Dezvoltat, determinantul este

Δ = x_{A} (y_{B} - y_{C}) + x_{B} (y_{C} - y_{A}) + x_{C} (y_{A} - y_{B})

Pentru calculul determinanților de ordinul 3 (regula lui Sarrus sau a triunghiului) vezi determinanți.

Coliniaritatea a trei puncte

Punctele $A, B, C$ sunt coliniare dacă și numai dacă „triunghiul” lor are aria zero:

A, B, C coliniare ⟺ | \begin{matrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{matrix} | = 0

Echivalent, dacă dreptele nu sunt verticale: $m_{A B} = m_{A C}$ , adică $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}}$ . Alte metode (vectori coliniari, $C \in A B$ ) găsești la coordonate, distanța dintre două puncte, mijlocul.

Aria cu baza și înălțimea în coordonate

Formula clasică $A = \frac{b \cdot h}{2}$ se aplică direct în reper: baza este lungimea unei laturi, iar înălțimea este distanța de la vârful opus la dreapta suport a laturii:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot d (A, B C), B C = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}}

Invers, din arie afli lungimea unei înălțimi: $h_{A} = \frac{2 A}{B C}$ . Ecuația dreptei $B C$ se scrie cu formula prin două puncte (ecuația dreptei).

Alte formule pentru aria triunghiului

$A = \frac{A B \cdot A C \cdot \sin A}{2} =$ $\frac{A B \cdot B C \cdot \sin B}{2} = \frac{C A \cdot C B \cdot \sin C}{2}$ ;
formula lui Heron: $A = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , unde $p = \frac{a + b + c}{2}$ este semiperimetrul, iar $a, b, c$ laturile;
triunghi echilateral de latură $l$ : $A = \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ , înălțimea $h = \frac{l \sqrt{3}}{2}$ ;
triunghi dreptunghic: $A = \frac{c_{1} \cdot c_{2}}{2}$ , înălțimea din unghiul drept $h = \frac{c_{1} \cdot c_{2}}{i p}$ .

Toate variantele, cu exemple, sunt pe pagina aria triunghiului.

Greșeli frecvente

Dreapta nu este adusă la forma generală: din $y = 2 x + 3$ se scrie $2 x - y + 3 = 0$ , nu se înlocuiește direct în „ $y - 2 x - 3$ ” cu semne amestecate.
Lipsa modulului: distanța și aria sunt pozitive; $Δ$ poate fi negativ, $\frac{1}{2} | Δ |$ nu.
Uitarea factorului $\frac{1}{2}$ : $| Δ |$ este aria paralelogramului construit pe $\vec{A B}$ și $\vec{A C}$ , nu a triunghiului.
Distanța dintre paralele cu coeficienți diferiți: $\frac{| c_{1} - c_{2} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ este valabilă doar după ce $a$ și $b$ coincid în ambele ecuații.

Întrebări frecvente

Care este formula distanței de la un punct la o dreaptă? Pentru $M (x_{0}, y_{0})$ și $d : a x + b y + c = 0$ , $d (M, d) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . Dreapta trebuie scrisă mai întâi în forma generală.

Cum calculez aria unui triunghi cu determinant? Scrii coordonatele vârfurilor pe linii, cu $1$ în ultima coloană, calculezi determinantul $Δ$ și iei $A = \frac{1}{2} | Δ |$ .

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare? Calculezi același determinant: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $Δ = 0$ . Echivalent, pantele $A B$ și $A C$ sunt egale.

Calculează rapid: calculator determinant pentru $Δ$ și calculator ecuația dreptei pentru dreapta suport a unei laturi.

Vezi și: distanța dintre două drepte paralele — formula, demonstrația din distanța punct–dreaptă, 7 exemple rezolvate și exerciții.

Verifică-te: 3 întrebări

Distanța de la punctul $M (x_{0}, y_{0})$ la dreapta $a x + b y + c = 0$ este:

$\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
$\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{a^{2} + b^{2}}$
$\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{| a | + | b |}$

Distanța de la $M (1, 2)$ la dreapta $3 x + 4 y - 1 = 0$ este:

$10$
$\frac{10}{7}$
$2$

Aria triunghiului cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (0, 3)$ , $C (4, 0)$ este:

$- 6$
$6$
$12$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — distanța de la un punct la o dreaptă

Calculați distanța de la $A (2, - 1)$ la dreapta $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ .

Rezolvare: $d (A, d) = \frac{| 3 \cdot 2 - 4 \cdot (- 1) + 5 |}{\sqrt{9 + 16}} =$ $\frac{| 6 + 4 + 5 |}{5} = \frac{15}{5} = 3$ .

Exemplul 2 — distanța dintre două drepte paralele

Calculați distanța dintre $d_{1} : 3 x + 4 y - 2 = 0$ și $d_{2} : 6 x + 8 y + 11 = 0$ .

Rezolvare: $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \neq \frac{- 2}{11}$ , deci dreptele sunt paralele. Împărțim $d_{2}$ la 2: $3 x + 4 y + \frac{11}{2} = 0$ . Atunci $d = \frac{| - 2 - \frac{11}{2} |}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15 / 2}{5} = \frac{3}{2}$ .

Exemplul 3 — aria triunghiului cu determinant (Bac M2)

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ , $C (2, 6)$ .

Rezolvare:

Δ = | \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 6 & 1 \end{matrix} | = 1 (3 - 6) - 2 (4 - 2) + 1 (24 - 6) = - 3 - 4 + 18 = 11

Deci $A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 11 = \frac{11}{2}$ .

Exemplul 4 — aria cu baza și înălțimea (verificare)

Pentru același triunghi, calculați lungimea înălțimii din $A$ și regăsiți aria.

Rezolvare: Dreapta $B C$ : $m = \frac{6 - 3}{2 - 4} = - \frac{3}{2}$ , $y - 3 = - \frac{3}{2} (x - 4) \Rightarrow 3 x + 2 y - 18 = 0$ . Atunci $h_{A} = d (A, B C) = \frac{| 3 + 4 - 18 |}{\sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{13}}$ , iar $B C = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ . Aria: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{11}{\sqrt{13}} = \frac{11}{2}$ , ca mai sus.

Exemplul 5 — coliniaritate cu parametru

Determinați $m$ pentru care punctele $A (1, 1)$ , $B (3, 5)$ , $C (m, 9)$ sunt coliniare.

Rezolvare: $Δ =$ $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ m & 9 & 1 \end{matrix} | =$ $(5 - 9) - (3 - m) + (27 - 5 m) = 20 - 4 m$ . Din $Δ = 0$ : $m = 5$ . Verificare: $m_{A B} = 2$ , $m_{A C} = \frac{8}{4} = 2$ .

Exemplul 6 — parametru din distanță

Determinați $c$ astfel încât distanța de la origine la dreapta $3 x + 4 y + c = 0$ să fie 2.

Rezolvare: $\frac{| c |}{\sqrt{9 + 16}} = 2 \Rightarrow | c | = 10 \Rightarrow c \in {- 10, 10}$ . Există două drepte, simetrice față de origine.

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați distanța de la $M (1, - 2)$ la dreapta $5 x + 12 y + 6 = 0$ .
Calculați distanța de la origine la dreapta $x + y - 4 = 0$ .
Calculați distanța dintre dreptele paralele $2 x - y + 3 = 0$ și $2 x - y - 7 = 0$ .
Calculați aria triunghiului $A B C$ , cu $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (1, 3)$ .
Calculați aria triunghiului $A B C$ , cu $A (- 1, 2)$ , $B (3, - 1)$ , $C (2, 4)$ .
Determinați $a$ pentru care punctele $A (2, 3)$ , $B (4, 7)$ , $C (a, 11)$ sunt coliniare.
Fie $A (1, 1)$ , $B (5, 4)$ , $C (1, 4)$ . Calculați distanța de la $C$ la dreapta $A B$ și aria triunghiului $A B C$ .
Determinați $c$ astfel încât distanța de la $A (1, 1)$ la dreapta $4 x - 3 y + c = 0$ să fie 3.

Răspunsuri

$\frac{| 5 - 24 + 6 |}{13} = 1$
$\frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$
$\frac{| 3 + 7 |}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$
$Δ = 12$ , aria $6$
$Δ = 17$ , aria $\frac{17}{2}$
$a = 6$
$A B : 3 x - 4 y + 1 = 0$ ; $d (C, A B) = \frac{12}{5}$ ; $A B = 5$ ; aria $6$
$| 1 + c | = 15 \Rightarrow c \in {- 16, 14}$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Distanța de la un punct la o dreaptă, aria triunghiului cu determinant, coliniaritate — formule, exemple rezolvate