Subiectul I.1 (5p · calcul cu numere zecimale)
Arătați că \((4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=3\).
Vezi rezolvarea
Calculăm întâi paranteza, apoi împărțirea, apoi adunarea:
Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este \(3\).
Bacalaureat 2026 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate
Subiectele oficiale de la Bacalaureat 2026, proba E.c) Matematică M_șt-nat (M2, filiera teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii), sesiunea iunie–iulie, Varianta 3, rezolvate complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.
Proba a durat 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică M1/M2.
Răspunsuri pe scurt
| Item | Răspuns |
|---|---|
| I.1 | \((4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=3\) (adevărat) |
| I.2 | \(a=-3\) |
| I.3 | \(x\in\{1,\,2\}\) |
| I.4 | \(p=\frac{1}{18}\) |
| I.5 | \(AD=AC=5\) |
| I.6 | \(AC=4\) |
| II.1 | a) \(\det A(1)=2\); b) \(x=4\); c) \(X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}\) |
| II.2 | a) \(f(1)=3\); b) \(a=2\); c) \(a=-3\) |
| III.1 | b) limita este \(2\); c) \(a\in\left\{-\frac32,\,1\right\}\) |
| III.2 | a) \(36\); b) \(1\); c) aria \(=\ln 2\) |
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)
Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-21\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(-3a,\,a)\) aparține graficului funcției \(f\).
Vezi rezolvarea
Un punct \(A(x_0,y_0)\) aparține graficului lui \(f\) dacă și numai dacă \(f(x_0)=y_0\). Deci \(f(-3a)=a\):
Verificare: pentru \(a=-3\) punctul este \(A(9,-3)\), iar \(f(9)=18-21=-3\). ✓
Răspuns: \(a=-3\).
Vezi și: Funcția de gradul I.
Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_7\left(1+2x-x^2\right)=\log_7(3-x)\).
Vezi rezolvarea
Condiții de existență: \(1+2x-x^2>0\) și \(3-x>0\).
Funcția logaritmică este injectivă, deci argumentele sunt egale:
de unde \(x=1\) sau \(x=2\).
Verificare: pentru \(x=1\): \(1+2-1=2>0\) și \(3-1=2>0\); pentru \(x=2\): \(1+4-4=1>0\) și \(3-2=1>0\). Ambele valori convin.
Răspuns: \(S=\{1,\,2\}\).
Vezi și: Logaritmi — proprietăți și ecuații, Ecuația de gradul al II-lea.
Subiectul I.4 (5p · probabilitate)
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de \(11\).
Vezi rezolvarea
Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\), adică \(99-10+1=90\) numere.
Cazuri favorabile: multiplii de \(11\) de două cifre sunt \(11, 22, 33, \dots, 99\); dintre ei sunt impari \(11, 33, 55, 77, 99\), adică \(5\) numere.
Răspuns: \(p=\dfrac{1}{18}\).
Vezi și: Probabilități.
Subiectul I.5 (5p · geometrie analitică)
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\), \(B(2,0)\) și \(C(4,2)\). Arătați că triunghiul \(ADC\) este isoscel, unde punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\).
Vezi rezolvarea
Mijlocul segmentului \(BC\): \(x_D=\frac{2+4}{2}=3\), \(y_D=\frac{0+2}{2}=1\), deci \(D(3,1)\).
Cum \(AD=AC\), triunghiul \(ADC\) este isoscel (cu baza \(DC\)).
Răspuns: \(AD=AC=5\), deci triunghiul \(ADC\) este isoscel.
Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.
Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)
Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(\operatorname{tg}B=\frac13\) și aria egală cu \(24\). Arătați că \(AC=4\).
Vezi rezolvarea
În triunghiul dreptunghic în \(A\), \(\operatorname{tg}B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac13\), deci \(AB=3AC\).
Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:
Răspuns: \(AC=4\) (și \(AB=12\)).
Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real.
Subiectul II.1 a) (5p · determinant)
Arătați că \(\det\big(A(1)\big)=2\).
Vezi rezolvarea
Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)=2\).
Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.
Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)
Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot\big(6I_2-A(2)-A(-2)\big)=xI_2\).
Vezi rezolvarea
Din \(4I_2=xI_2\) obținem \(x=4\).
Răspuns: \(x=4\).
Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)
Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2\).
Vezi rezolvarea
Cum \(\det\big(A(1)\big)=2\neq0\), matricea \(A(1)\) este inversabilă. Înmulțim egalitatea la stânga și la dreapta cu \(\big(A(1)\big)^{-1}\):
Pentru \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) cu \(\det M\neq0\), \(M^{-1}=\dfrac{1}{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\), deci
Verificare: \(A(1)\cdot X=\begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix}\), iar \(\begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix}\cdot A(1)=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4I_2\). ✓
Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}\).
Vezi și: Matrice inversabilă.
2. Se consideră polinomul \(f=X^3-aX+2+a\), unde \(a\) este număr real.
Subiectul II.2 a) (5p · valoarea unui polinom)
Arătați că \(f(1)=3\), pentru orice număr real \(a\).
Vezi rezolvarea
pentru orice număr real \(a\) (termenii \(-a\) și \(+a\) se reduc).
Răspuns: \(f(1)=3\) pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).
Subiectul II.2 b) (5p · divizibilitate, teorema lui Bézout)
Determinați numărul real \(a\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(g=X+2\).
Vezi rezolvarea
Conform teoremei lui Bézout, \(f\) este divizibil cu \(X+2\) dacă și numai dacă \(f(-2)=0\).
\(3a-6=0\Rightarrow a=2\).
Răspuns: \(a=2\).
Vezi și: Polinoame — Bézout, relațiile lui Viète.
Subiectul II.2 c) (5p · relațiile lui Viète)
Determinați numărul real \(a\) pentru care \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).
Vezi rezolvarea
Relațiile lui Viète pentru \(f=X^3+0\cdot X^2-aX+(2+a)\):
Fiecare rădăcină verifică \(f(x_i)=0\), adică \(x_i^3=a\,x_i-2-a\), pentru \(i=1,2,3\). Adunând cele trei egalități:
Condiția din enunț devine \(-3a-6=-a\), adică \(-2a=6\), deci \(a=-3\).
Răspuns: \(a=-3\).
Vezi și: Polinoame și relațiile lui Viète.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\left(2x^2-3x\right)\).
Subiectul III.1 a) (5p · derivata unui produs)
Arătați că \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\).
Vezi rezolvarea
Folosim \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), cu \(u=e^x\), \(v=2x^2-3x\):
Cum
obținem \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\).
Răspuns: \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\).
Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.
Subiectul III.1 b) (5p · limită, cazul 0/0)
Arătați că \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2\).
Vezi rezolvarea
Cum \(f(0)=0\), limita este de tipul \(\frac00\). Aplicăm regula lui l'Hôpital:
deoarece \(f'(0)=e^0\cdot3\cdot(-1)=-3\).
Altă metodă: pentru \(x\neq0\), \(\dfrac{f(x)}{x}=e^x(2x-3)\to-3\); împărțind numărătorul și numitorul la \(x\), limita este \(\dfrac{-3-1}{-3+1}=2\).
Răspuns: limita este \(2\).
Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.
Subiectul III.1 c) (5p · tangenta la grafic)
Determinați numerele reale \(a\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=a\), situat pe graficul funcției \(f\), are panta egală cu \(0\).
Vezi rezolvarea
Panta tangentei în punctul de abscisă \(a\) este \(f'(a)\). Condiția este \(f'(a)=0\):
Cum \(e^a>0\), obținem \(2a+3=0\) sau \(a-1=0\), adică \(a=-\frac32\) sau \(a=1\).
Răspuns: \(a\in\left\{-\dfrac32,\,1\right\}\).
Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.
2. Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\left(2x^2+4x\right)\sqrt{x+1}\).
Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)
Arătați că \(\displaystyle\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[0,3]\), \(\dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}=2x^2+4x\). Atunci
Răspuns: integrala este egală cu \(36\).
Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.
Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu radical)
Arătați că \(\displaystyle\int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1\).
Vezi rezolvarea
Pentru \(x\in[3,8]\), \(f(x)=2\left(x^2+2x\right)\sqrt{x+1}\) și \(x^2+2x\neq0\), deci
O primitivă este \(\sqrt{x+1}\), deci
Răspuns: integrala este egală cu \(1\).
Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.
Subiectul III.2 c) (5p · aria unei suprafețe plane)
Se consideră funcția \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}\). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=4\).
Vezi rezolvarea
Simplificăm, pentru \(x\in(0,+\infty)\):
Descompunem în fracții simple: \(\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+2}\). Pe \([1,4]\) avem \(g(x)>0\), deci
Răspuns: aria este \(\ln 2\).
Ce s-a cerut la Bac 2026 M2
Varianta a acoperit, ca de obicei, materia de M_șt-nat: la Subiectul I calcul numeric, funcția de gradul I, ecuații logaritmice, probabilități, geometrie analitică și trigonometrie în triunghiul dreptunghic; la Subiectul al II-lea matrice și determinanți și polinoame; la Subiectul al III-lea derivate, limite și integrale definite, inclusiv calculul unei arii.
Subiectul și baremul oficial (arhiva ZIP a sesiunii iunie–iulie 2026) se găsesc pe subiecte2026.edu.ro.
Întrebări frecvente
Ce variantă s-a dat la Bac 2026 la matematică M_șt-nat? În sesiunea iunie–iulie 2026 s-a extras Varianta 3. Toți cei 18 itemi (6 la Subiectul I, câte 6 la Subiectele al II-lea și al III-lea) sunt rezolvați mai sus.
Cât durează proba de matematică M2 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare subiect valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
Ce formule trebuie să știu pentru Bac M2? Progresii, logaritmi, probabilități, geometrie analitică, trigonometrie, matrice și determinanți, legi de compoziție și polinoame, derivate și integrale. Le găsești pe scurt în pagina Formule Bac matematică.
Bac 2025 M2 rezolvat → · Bac 2024 M2 rezolvat →
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.