Simulare Bac 2025 M3 tehnologic

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2025 M3?

De obicei III.2 c): după împărțirea la e^x rămâne ∈t_0^1(2x+2)e^-xdx, care se calculează prin părți, cu atenție la semnul primitivei -e^-x.

Subiectul oficial de la simularea Bacalaureatului 2025, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), dată marți, 25 martie 2025, elevilor de clasa a XII-a, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Simularea națională a examenului de Bacalaureat este organizată de Ministerul Educației în fiecare primăvară, cu un subiect unic pentru fiecare profil și cu aceeași structură ca la examen: filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale), 3 ore de lucru, trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Nota de la simulare nu contează la media de Bacalaureat. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat, iar formulele de care ai nevoie în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$a_{3} = 17$
I.2	$a = 4$
I.3	$x = 1$
I.4	$200$ de lei
I.5	$A B = A M = 5$
I.6	$\sin C = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
II.1	a) $2$ ; b) $x = 6$ ; c) $X = (\begin{matrix} 9 & - 9 \\ - 3 & 3 \end{matrix})$
II.2	a) $2$ ; b) $x \in {0, 3}$ ; c) $x = \frac{5}{2}$
III.1	b) $\frac{4}{3}$ ; c) $f (x) \geq f (\frac{1}{2})$
III.2	a) $e + 1$ ; b) $\ln 2$ ; c) $a = - 6$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Determinați termenul

a_{3}

al progresiei aritmetice

{(a_{n})}_{n \geq 1}

, în care

a_{1} = 3

și

a_{2} = 10

Vezi rezolvarea

Rația progresiei aritmetice este diferența dintre doi termeni consecutivi:

$r = a_{2} - a_{1} = 10 - 3 = 7,$

$a_{3} = a_{2} + r = 10 + 7 = 17.$

Răspuns: $a_{3} = 17$ .

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcțiile

f : R \to R

f (x) = 3 x - 4

și

g : R \to R

g (x) = x + 2

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) = a + g (2)

Vezi rezolvarea

$g (2) = 4,$

$f (a) = 3 a - 4.$

Egalitatea devine $3 a - 4 = a + 4$ , adică $2 a = 8$ , deci $a = 4$ .

Răspuns: $a = 4$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_{3} (10 x - 1) = 2

Vezi rezolvarea

Condiția de existență: $10 x - 1 > 0$ , adică $x > \frac{1}{10}$ .

Din definiția logaritmului:

$10 x - 1 = 3^{2} = 9 \Rightarrow 10 x = 10 \Rightarrow x = 1,$

care verifică condiția $x > \frac{1}{10}$ .

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul I.4 (5p · procente)

După o ieftinire cu

45 %

, un produs costă

110

lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul inițial. După ieftinirea cu $45 %$ produsul costă $x - \frac{45}{100} x = \frac{55}{100} x$ :

$\frac{55}{100} x = 110 \Rightarrow x = \frac{110 \cdot 100}{55} = 200.$

Răspuns: prețul inițial era $200$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment, distanță)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (0, 4)

B (0, - 1)

C (8, 3)

. Arătați că

A B = A M

, unde punctul

M

este mijlocul segmentului

B C

Vezi rezolvarea

$A$ și $B$ au aceeași abscisă, deci $A B = 4 - (- 1) = 5$ .

Mijlocul segmentului $B C$ : $M (\frac{0 + 8}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = M (4, 1)$ .

$A M = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (1 - 4)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Răspuns: $A B = A M = 5$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

A B = 6

și

A C = 8

. Arătați că

\sin C = \frac{3}{5}

Vezi rezolvarea

Cu teorema lui Pitagora calculăm ipotenuza:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10.$

$A B$ este cateta opusă unghiului $C$ :

$\sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} .$

Răspuns: $\sin C = \frac{3}{5}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (a) = (\begin{matrix} a & 3 a \\ a & 2 a + 3 \end{matrix})$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (2)) = 2

Vezi rezolvarea

$A (2) = (\begin{matrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{matrix}),$

$det (A (2)) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 6 = 14 - 12 = 2.$

Răspuns: $det (A (2)) = 2$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Determinați numărul real

x

pentru care

A (1) \cdot A (1) + 2 I_{2} = x A (1)

Vezi rezolvarea

$A (1) = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}),$

$A (1) \cdot A (1) = (\begin{matrix} 1 + 3 & 3 + 15 \\ 1 + 5 & 3 + 25 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 18 \\ 6 & 28 \end{matrix}) .$

$A (1) \cdot A (1) + 2 I_{2} = (\begin{matrix} 6 & 18 \\ 6 & 30 \end{matrix}) = 6 (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}) = 6 A (1) .$

Egalitatea devine $6 A (1) = x A (1)$ ; comparând elementele de pe prima linie și prima coloană ( $6 = x \cdot 1$ ), obținem $x = 6$ .

Răspuns: $x = 6$ .

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

A (2) \cdot X \cdot A (2) = A (0)

Vezi rezolvarea

Cum $det (A (2)) = 2 \neq 0$ , matricea $A (2)$ este inversabilă. Înmulțim egalitatea la stânga și la dreapta cu $(A (2))^{- 1}$ :

$X = (A (2))^{- 1} \cdot A (0) \cdot (A (2))^{- 1},$

$A (0) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) .$

$(A (2))^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 7 & - 6 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{7}{2} & - 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .$

$(A (2))^{- 1} \cdot A (0) = (\begin{matrix} 0 & - 9 \\ 0 & 3 \end{matrix}),$

$X = (\begin{matrix} 0 & - 9 \\ 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{7}{2} & - 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 & - 9 \\ - 3 & 3 \end{matrix}) .$

Răspuns: $X = (\begin{matrix} 9 & - 9 \\ - 3 & 3 \end{matrix})$ .

Vezi și: Matrice inversabilă.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = x y - 2 x - 2 y + 6$ .

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Arătați că

0 * 2 = 2

Vezi rezolvarea

$0 * 2 = 0 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 + 6 = 0 - 0 - 4 + 6 = 2.$

Răspuns: $0 * 2 = 2$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

x * (2 x) = 6

Vezi rezolvarea

$x * (2 x) = 2 x^{2} - 2 x - 4 x + 6 = 2 x^{2} - 6 x + 6,$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine $2 x^{2} - 6 x + 6 = 6$ , adică $2 x (x - 3) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 3$ .

Răspuns: $x \in {0, 3}$ .

Subiectul II.2 c) (5p · element simetric)

Știind că

e = 3

este elementul neutru al legii de compoziție „

*

”, determinați numărul real

x

al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „

*

” este

4

Vezi rezolvarea

Simetricul lui $x$ este $4$ dacă $x * 4 = 4 * x = e = 3$ . Legea este comutativă, deci ajunge

$x * 4 = 4 x - 2 x - 8 + 6 = 2 x - 2 = 3 \Rightarrow 2 x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} .$

Răspuns: $x = \frac{5}{2}$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 2 - \ln x$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivată)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{x}

x \in (0, + \infty)

Vezi rezolvarea

Derivăm termen cu termen ( $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ):

$f^{'} (x) = 4 x - \frac{1}{x} = \frac{4 x^{2} - 1}{x} = \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{x},$

pentru $x \in (0, + \infty)$ .

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{x}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · limită de funcție)

Arătați că

lim_{x \to 1} \frac{f (x) + \ln x}{3 x - 3} = \frac{4}{3}

Vezi rezolvarea

$f (x) + \ln x = 2 x^{2} - 2 = 2 (x - 1) (x + 1)$ . Simplificăm cu $x - 1 \neq 0$ :

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{3 (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 1)}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3} .$

Răspuns: limita este egală cu $\frac{4}{3}$ .

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Arătați că

\frac{4 x^{2} - 1}{2} \geq \ln (2 x)

, pentru orice

x \in (0, + \infty)

Vezi rezolvarea

Pe $(0, + \infty)$ , $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ , iar semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $2 x - 1$ :

• pentru $x \in (0, \frac{1}{2}]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare;

• pentru $x \in [\frac{1}{2}, + \infty)$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare.

Deci $x = \frac{1}{2}$ este punct de minim și $f (x) \geq f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 - \ln \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2}$ , pentru orice $x > 0$ :

$2 x^{2} - 2 - \ln x \geq - \frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} - \frac{1}{2} \geq \ln x - \ln \frac{1}{2} = \ln (2 x) .$

Cum $2 x^{2} - \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} - 1}{2}$ , inegalitatea este demonstrată.

Răspuns: $f (x) \geq f (\frac{1}{2})$ pe $(0, + \infty)$ , echivalent cu $\frac{4 x^{2} - 1}{2} \geq \ln (2 x)$ .

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme.

2. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} + 2 x + 2$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{0}^{1} (f (x) - 2 x) d x = e + 1

Vezi rezolvarea

$f (x) - 2 x = e^{x} + 2$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{0}^{1} (e^{x} + 2) d x = {(e^{x} + 2 x) |}_{0}^{1} = (e + 2) - 1 = e + 1.$

Răspuns: integrala este egală cu $e + 1$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Arătați că

\int_{0}^{3} \frac{1}{f (x) - e^{x}} d x = \ln 2

Vezi rezolvarea

$f (x) - e^{x} = 2 x + 2 = 2 (x + 1)$ , deci

$\int_{0}^{3} \frac{1}{2 (x + 1)} d x = {\frac{1}{2} \ln (x + 1) |}_{0}^{3} = \frac{\ln 4}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \frac{2 \ln 2}{2} = \ln 2.$

Răspuns: integrala este egală cu $\ln 2$ .

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Determinați numărul real

a

pentru care

\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{e^{x}} d x = 5 + \frac{a}{e}

Vezi rezolvarea

$\frac{f (x)}{e^{x}} = 1 + (2 x + 2) e^{- x}$ , iar $e^{- x} = {(- e^{- x})}^{'}$ . Integrăm prin părți al doilea termen:

$\int_{0}^{1} (2 x + 2) {(- e^{- x})}^{'} d x = {- (2 x + 2) e^{- x} |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 (- e^{- x}) d x = {- (2 x + 4) e^{- x} |}_{0}^{1} .$

$\int_{0}^{1} \frac{f (x)}{e^{x}} d x = 1 + (- \frac{6}{e} + 4) = 5 - \frac{6}{e} .$

Egalitatea devine $5 + \frac{a}{e} = 5 - \frac{6}{e}$ , deci $a = - 6$ .

Răspuns: $a = - 6$ .

Vezi și: Integrarea prin părți.

Ce s-a cerut la simularea Bac 2025 M3

Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, funcții de gradul I, o ecuație cu logaritmi, o problemă cu procente, mijlocul unui segment și triunghiul dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți (cu o ecuație matriceală rezolvată cu inversa) și o lege de compoziție cu element simetric, iar Subiectul al III-lea derivate, o limită, o inegalitate cu logaritm demonstrată prin monotonie și integrale definite, inclusiv integrarea prin părți.

Subiectul și baremul oficial ale simulării (proba din 25 martie 2025) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2025 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2025 este un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat; rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca la examen. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2025 M3? De obicei III.2 c): după împărțirea la $e^{x}$ rămâne $\int_{0}^{1} (2 x + 2) e^{- x} d x$ , care se calculează prin părți, cu atenție la semnul primitivei $- e^{- x}$ .

Bac 2025 M3 tehnologic rezolvat (sesiunea iunie–iulie) · Simulare Bac 2026 M3 tehnologic rezolvat · Simulare Bac 2024 M3 tehnologic rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2025 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · procente)

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment, distanță)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.2 c) (5p · element simetric)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivată)

Subiectul III.1 b) (5p · limită de funcție)

Subiectul III.1 c) (5p · monotonie și inegalitate)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Subiectul III.2 c) (5p · integrare prin părți)

Ce s-a cerut la simularea Bac 2025 M3

Întrebări frecvente

Formule conexe