Simulare Bac 2022 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Rația progresiei este diferența a doi termeni consecutivi, iar $a_3=a_1+2r$:

$$r=a_4-a_3=9-6=3,$$

$$a_1=a_3-2r=6-2\cdot 3=0.$$

Răspuns: $a_1=0$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

$$f(a)=g(a)\iff a^2+2a-3=a-3\iff a^2+a=0\iff a(a+1)=0.$$

Obținem $a=-1$ sau $a=0$.

Răspuns: $a=-1$ sau $a=0$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Condiția de existență: $x+3>0$, adică $x>-3$. Din definiția logaritmului:

$${\log }_3(x+3)=2\iff x+3=3^2=9\iff x=6,$$

care convine ($6>-3$).

Răspuns: $x=6$.

Vezi și: Logaritmi.

Notăm cu $x$ prețul înainte de scumpire. Creșterea reprezintă $30\mathrm{\%}$ din $x$:

$$\frac{30}{100}\cdot x=60\Rightarrow x=200\text{ de lei}.$$

După scumpire, prețul produsului este $200+60=260$ de lei.

Răspuns: prețul după scumpire este $260$ de lei.

Vezi și: Procente.

Mijlocul segmentului $AB$ este $M(\frac{-4+2}{2},\frac{1+3}{2})$, adică $M(-1,2)$.

Punctul $M$ aparține dreptei $d$, deci coordonatele lui verifică ecuația dreptei:

$$2=2\cdot (-1)+a\Rightarrow a=4.$$

Răspuns: $a=4$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Ecuația dreptei.

Triunghiul este isoscel, deci $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }B={45}^{\circ }$ și $\mathrm{\angle }A={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$: triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $BC=12$.

$$AB=BC\cdot \cos {45}^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}=AC.$$

$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2}=\frac{72}{2}=36.$$

Răspuns: aria triunghiului $ABC$ este $36$.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului.

$$A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right),$$

$$det(A(0))=0\cdot 1-0\cdot 1=0.$$

Răspuns: $det(A(0))=0$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$2A(4)+A(-2)=2\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 3& 15\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 3& 15\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 5\end{array}\right)=3A(2).$$

Egalitatea devine $3A(2)=aA(2)$; comparând, de exemplu, elementele de pe linia a doua și coloana întâi ($3=a$), obținem $a=3$.

Răspuns: $a=3$.

$$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right),$$

$$det(A(1))=3-1=2\ne 0,$$

deci $A(1)$ este inversabilă și

$$(A(1){)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$

Înmulțind la dreapta cu $(A(1){)}^{-1}$ egalitatea $X\cdot A(1)=A(m)$, obținem $X=A(m)\cdot (A(1){)}^{-1}$:

$$X=\left(\begin{array}{cc}m& m\\ 1& 2m+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 1-m& m\end{array}\right).$$

Cum $m$ este număr întreg, toate elementele lui $X$ ($m$, $0$, $1-m$, $m$) sunt numere întregi.

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 1-m& m\end{array}\right)$, cu toate elementele numere întregi.

Vezi și: Matrice inversabilă.

$$2\ast 1=(2+1)(2-1)(1-1)+1=3\cdot 1\cdot 0+1=1.$$

Răspuns: $2\ast 1=1$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice numere reale $x$ și $y$, folosind comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale:

$$x\ast y=(x+y)(x-1)(y-1)+1=(y+x)(y-1)(x-1)+1=y\ast x,$$

deci legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

Răspuns: $x\ast y=y\ast x$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

$$n\ast (1-n)=(n+1-n)(n-1)(1-n-1)+1=1\cdot (n-1)\cdot (-n)+1=-n^2+n+1,$$

pentru orice număr natural $n$. Inecuația devine

$$-n^2+n+1\ge n^2\iff 2n^2-n-1\le 0\iff (2n+1)(n-1)\le 0,$$

adică $n\in [-\frac{1}{2},1]$. Cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$ sau $n=1$.

Răspuns: $n\in \{0,1\}$.

Vezi și: Inecuații.

Folosim ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-(x+3)\cdot 2x}{x^4}+\frac{1}{x}=\frac{-x^2-6x}{x^4}+\frac{1}{x}=\frac{-x-6}{x^3}+\frac{x^2}{x^3},$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-x-6}{x^3},$$

pentru $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^3}}$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(1)=\frac{4}{1}+\ln 1=4,$$

$$f^{\prime }(1)=\frac{1-1-6}{1}=-6.$$

Ecuația tangentei: $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-4=-6(x-1)$.

Răspuns: $y=-6x+10$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-x-6}{x^3}=\frac{(x-3)(x+2)}{x^3}$, deci pe $(0,+\mathrm{\infty })$ avem $f^{\prime }(x)=0\iff x=3$, iar semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-3$:

• pentru $x\in (0,3]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,3]$;

• pentru $x\in [3,+\mathrm{\infty })$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[3,+\mathrm{\infty })$.

Prin urmare $f(x)\ge f(3)=\frac{6}{9}+\ln 3=\frac{2}{3}+\ln 3$, pentru orice $x\in (0,+\mathrm{\infty })$:

$$\frac{x+3}{x^2}+\ln x\ge \frac{2}{3}+\ln 3\iff \ln x-\ln 3\ge \frac{2}{3}-\frac{x+3}{x^2}.$$

Cum $\ln x-\ln 3=\ln \frac{x}{3}$ și $\frac{x+3}{x^2}=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}$, obținem $\ln \frac{x}{3}\ge \frac{2}{3}-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Răspuns: $f(x)\ge f(3)=\frac{2}{3}+\ln 3$ pe $(0,+\mathrm{\infty })$, echivalent cu inegalitatea cerută.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme, Logaritmi.

$f(x)-\frac{e^x}{2}=x+1$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_0^2(x+1)dx={(\frac{x^2}{2}+x)|}_0^2=\frac{2^2}{2}+2=4.$$

Răspuns: integrala este egală cu $4$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

$2x(f(x)-1)=2x(x+\frac{e^x}{2})=2x^2+x{e}^x$. O primitivă a lui $x{e}^x$ (prin părți) este $(x-1)e^x$, deci

$${\int }_0^1(2x^2+x{e}^x)dx={\frac{2x^3}{3}|}_0^1+{(x-1)e^x|}_0^1=\frac{2}{3}+(0-(-1)).$$

$$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.$$

Răspuns: integrala este egală cu ${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

Observăm că $f^{\prime }(x)=1+\frac{e^x}{2}=f(x)-x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Atunci

$${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)\cdot f(x)dx={\frac{f^2(x)}{2}|}_{-1}^0=\frac{f^2(0)-f^2(-1)}{2}.$$

Cu $f(0)=\frac{3}{2}$ și $f(-1)=-1+\frac{1}{2e}+1=\frac{1}{2e}$:

$$\frac{1}{2}(\frac{9}{4}-\frac{1}{4e^2})=\frac{9e^2-1}{8e^2}=\frac{(3e+1)(3e-1)}{8e^2}.$$

Comparând cu $\frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$ obținem $3e+a=3e-1$, deci $a=-1$.

Răspuns: $a=-1$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.