Bacalaureat 2024 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate, sesiunea august–septembrie

Desfacem paranteza și folosim \(i^2=-1\):

\[ 2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2=2-3\cdot(-1)=2+3=5. \]

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este \(5\).

Vezi și: Numere complexe.

\(f(2)=6\cdot2+m=12+m\), deci

\[ 12+m=15 \;\Rightarrow\; m=3. \]

Verificare: pentru \(m=3\), \(f(2)=12+3=15\). ✓

Răspuns: \(m=3\).

Vezi și: Funcția de gradul I.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții: \(7^x\cdot7^2=7^{x+2}\). Ecuația devine

\[ 7^{2x+1}=7^{x+2}. \]

Funcția exponențială este injectivă, deci \(2x+1=x+2\), adică \(x=1\).

Răspuns: \(x=1\).

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri — reguli de calcul.

Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\), adică \(90\) de numere.

Cazuri favorabile: numerele cu cifra zecilor \(1\) sunt \(10, 11, \dots, 19\) (\(10\) numere); numerele cu cifra unităților \(1\) și cifra zecilor diferită de \(1\) sunt \(21, 31, \dots, 91\) (\(8\) numere). În total \(10+8=18\) numere.

\[ p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{18}{90}=\frac15. \]

Răspuns: \(p=\dfrac15\).

Vezi și: Probabilități.

Fie \(M\) mijlocul segmentului \(OB\), cu \(O(0,0)\): \(x_M=\frac{0+4}{2}=2\), \(y_M=\frac{0+2}{2}=1\), deci \(M(2,1)\).

\[ AM=\sqrt{(2-2)^2+(1-5)^2}=\sqrt{0+16}=4. \]

Răspuns: distanța este \(AM=4\).

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Triunghiul este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza, iar \(AB\) este cateta opusă unghiului \(C\):

\[ \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{5\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}. \]

Răspuns: \(\sin C=\dfrac{\sqrt5}{5}\).

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Raționalizarea numitorului.

\[ \det A=\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-(-1)\cdot1=0+1=1. \]

Răspuns: \(\det A=1\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

\[ B(4)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}, \]

\[ B(4)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}16-1&4+0\\-4+0&-1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&4\\-4&-1\end{pmatrix}. \]

\[ B(4)\cdot B(4)+I_2=\begin{pmatrix}16&4\\-4&0\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}=4B(4). \]

Egalitatea devine \(4B(4)=aB(4)\). Cum \(B(4)\) nu este matricea nulă (de exemplu, elementul de pe poziția \((1,1)\) este \(4\)), comparând elementele obținem \(4a=16\), adică \(a=4\).

Răspuns: \(a=4\).

Calculăm cele două produse (linie cu coloană):

\[ A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2x-(3-x)&2(x-3)-(x-4)\\x&x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3&x-2\\x&x-3\end{pmatrix}, \]

\[ B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2x+x-3&-x\\2(3-x)+x-4&-(3-x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3&-x\\2-x&x-3\end{pmatrix}, \]

pentru orice număr real \(x\). Două matrice sunt egale dacă au elementele corespunzătoare egale; elementele de pe diagonala principală coincid deja, deci rămâne

\[ x-2=-x \;\text{ și }\; x=2-x \;\Rightarrow\; 2x=2 \;\Rightarrow\; x=1. \]

Răspuns: \(x=1\).

Vezi și: Fișă: ecuații matriceale.

\[ 0*3=(0+3)(4-0-3)=3\cdot1=3. \]

Răspuns: \(0*3=3\).

Vezi și: Legi de compoziție.

\[ x*1=(x+1)(4-x-1)=(x+1)(3-x), \]

pentru orice număr real \(x\). Ecuația devine \((x+1)(3-x)=0\): un produs este zero dacă unul dintre factori este zero, deci \(x+1=0\) sau \(3-x=0\).

Răspuns: \(x\in\{-1,\,3\}\).

Suma celor doi termeni este \((n+5)+(n-5)=2n\), deci

\[ N=(n+5)*(n-5)=2n(4-2n)=4n(2-n), \]

pentru orice număr natural \(n\). \(N\) este întreg; el este natural dacă și numai dacă \(N\ge0\), adică \(n(2-n)\ge0\). Cum \(n\ge0\), trebuie ca \(2-n\ge0\) (pentru \(n=0\) avem oricum \(N=0\)), deci \(n\le2\).

Verificare: \(n=0\Rightarrow N=0\); \(n=1\Rightarrow N=4\); \(n=2\Rightarrow N=0\) — toate naturale. Pentru \(n\ge3\), \(N=4n(2-n)\lt0\).

Răspuns: \(n\in\{0,\,1,\,2\}\).

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Folosim \(\left(x^2\right)'=2x\) și \(\big(\ln(x+1)\big)'=\frac{1}{x+1}\):

\[ f'(x)=2x-1-\frac{2}{x+1}=\frac{(2x-1)(x+1)-2}{x+1}=\frac{2x^2+2x-x-1-2}{x+1}=\frac{2x^2+x-3}{x+1}, \]

pentru \(x\in(-1,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}\).

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

\[ f(0)=0-0-2\ln1=0, \]

\[ f'(0)=\frac{0+0-3}{0+1}=-3. \]

Ecuația tangentei în punctul de abscisă \(x_0=0\) este \(y-f(0)=f'(0)(x-0)\), adică

\[ y-0=-3(x-0) \;\Rightarrow\; y=-3x. \]

Răspuns: \(y=-3x\).

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Descompunem numărătorul derivatei: \(2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)\), deci

\[ f'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)}{x+1}. \]

Pe \((-1,+\infty)\) avem \(x+1\gt0\) și \(2x+3\gt0\), deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x-1\); \(f'(x)=0\Rightarrow x=1\):

• pentru \(x\in(-1,1]\), \(f'(x)\le0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((-1,1]\);

• pentru \(x\in[1,+\infty)\), \(f'(x)\ge0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1,+\infty)\).

Prin urmare \(x=1\) este punct de minim global: \(f(x)\ge f(1)\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), unde \(f(1)=1-1-2\ln2=-2\ln2\). Atunci

\[ x^2-x-2\ln(x+1)\ge-2\ln2 \;\Leftrightarrow\; x^2-x\ge2\ln(x+1)-2\ln2=2\ln\frac{x+1}{2}, \]

pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

Răspuns: \(f(x)\ge f(1)=-2\ln2\), deci \(x^2-x\ge2\ln\dfrac{x+1}{2}\) pe \((-1,+\infty)\).

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, extreme, Logaritmi — proprietăți.

Pentru orice \(x\), \(f(x)-3x=x^2+1\). Aplicăm formula Leibniz–Newton:

\[ \int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|_0^3=\frac{27}{3}+3-0=9+3=12. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(12\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

\(f(x)-x^2=3x+1\), iar \((3x+1)'=3\). Scriem integrandul sub forma \(\frac13\cdot\frac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}\), care are primitiva \(-\frac{1}{3(3x+1)}\):

\[ \int_0^1\frac{dx}{(3x+1)^2}=\frac13\int_0^1\frac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}\,dx=\left.-\frac{1}{3(3x+1)}\right|_0^1=-\frac{1}{12}+\frac13=\frac{-1+4}{12}=\frac14. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(\dfrac14\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Schimbarea de variabilă.

\(f(x)-x^2-1=3x\), deci \(g(x)=\dfrac{3x}{e^x}=3xe^{-x}\), \(x\in\mathbb{R}\). Pe \([0,1]\), \(g(x)\ge0\), deci

\[ \mathcal{A}=\int_0^1\left|g(x)\right|dx=\int_0^1 3xe^{-x}\,dx. \]

Integrăm prin părți, cu \(u=3x\) și \(v'=e^{-x}\), adică \(v=-e^{-x}\):

\[ \int_0^1 3xe^{-x}\,dx=\left.-3xe^{-x}\right|_0^1+\int_0^1 3e^{-x}\,dx=-\frac3e+\left.\left(-3e^{-x}\right)\right|_0^1=-\frac3e-\frac3e+3. \]

Echivalent, o primitivă este \(-3e^{-x}(x+1)\), iar \(\left.-3e^{-x}(x+1)\right|_0^1=-\frac6e+3\). Deci

\[ \mathcal{A}=3-\frac6e=3\left(1-\frac2e\right). \]

Răspuns: aria este \(3\left(1-\dfrac2e\right)\).

Vezi și: Aplicații ale integralei definite — aria, Integrarea prin părți.