Bacalaureat 2021 matematică M2 (științele naturii) — subiecte rezolvate

Rația progresiei geometrice este \(q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac62=3\).

\[ b_3=b_1\cdot q^2=2\cdot3^2=18. \]

Verificare: \(b_3=b_2\cdot q=6\cdot3=18\). ✓

Răspuns: \(b_3=18\).

Vezi și: Progresia geometrică.

Calculăm întâi \(g(7)=7-7=0\). Apoi

\[ (f\circ g)(7)=f\big(g(7)\big)=f(0)=0+7=7. \]

Observație: \((f\circ g)(x)=(x-7)+7=x\) pentru orice \(x\), deci rezultatul este chiar \(7\).

Răspuns: \((f\circ g)(7)=7\).

Vezi și: Funcții — noțiuni introductive.

Condiții: \(2x-1\ge0\) (radicalul să existe) și \(x-2\ge0\) (un radical de ordin par este nenegativ), deci \(x\ge2\).

Ridicăm la pătrat:

\[ 2x-1=(x-2)^2 \iff 2x-1=x^2-4x+4 \iff x^2-6x+5=0, \]

cu soluțiile \(x=1\) și \(x=5\).

Verificare: \(x=1\) nu convine (\(1\lt2\); de altfel \(\sqrt1=1\ne-1\)); \(x=5\) convine: \(\sqrt9=3=5-2\). ✓

Răspuns: \(x=5\).

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Cazuri posibile: numerele naturale de o cifră sunt \(0,1,2,\dots,9\), adică \(10\) numere.

Cazuri favorabile: pentru \(n\in\{0,1,2,3,4\}\) unul dintre factori este \(0\), deci produsul este \(0\) și inegalitatea nu este verificată. Pentru \(n\in\{5,6,7,8,9\}\) toți factorii sunt pozitivi, deci produsul este pozitiv. Sunt \(5\) cazuri favorabile.

\[ p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{10}=\frac12. \]

Răspuns: \(p=\dfrac12\).

Vezi și: Probabilități.

Mijlocul segmentului \(AC\) este

\[ M\left(\frac{1+3}{2},\,\frac{1+5}{2}\right)=M(2,3). \]

Calculăm pantele dreptelor \(BM\) și \(BD\):

\[ m_{BM}=\frac{3-0}{2-(-1)}=\frac33=1, \]

\[ m_{BD}=\frac{6-0}{5-(-1)}=\frac66=1. \]

Dreptele \(BM\) și \(BD\) au aceeași pantă și punctul comun \(B\), deci coincid: punctele \(B\), \(D\) și \(M\) sunt coliniare.

Răspuns: \(m_{BM}=m_{BD}=1\), deci \(B\), \(D\) și mijlocul lui \(AC\) sunt coliniare.

Vezi și: Coordonate, mijlocul unui segment, Panta unei drepte.

Dezvoltăm pătratul și folosim \(\sin^2x+\cos^2x=1\) și \(2\sin x\cos x=\sin2x\):

\[ \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=2 \iff 1-\sin2x=2 \iff \sin2x=-1. \]

Cum \(x\in(0,\pi)\), avem \(2x\in(0,2\pi)\), iar pe acest interval \(\sin2x=-1\) doar pentru \(2x=\dfrac{3\pi}{2}\). Deci \(x=\dfrac{3\pi}{4}\).

Verificare: \(\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\), deci \((\sin x-\cos x)^2=\left(\sqrt2\right)^2=2\). ✓

Răspuns: \(x=\dfrac{3\pi}{4}\).

Vezi și: Formule trigonometrice, Tabel trigonometric.

Pentru \(a=0\), \(2^0=1\):

\[ A(0)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}, \]

\[ \det\big(A(0)\big)=\begin{vmatrix}2&1\\-1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot(-1)=0+1=1. \]

Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)=1\).

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

\[ A(1)=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}, \]

\[ A(2)=\begin{pmatrix}5&4\\-4&-3\end{pmatrix}. \]

\[ A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}15-8&12-6\\-10+4&-8+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&6\\-6&-5\end{pmatrix}. \]

\[ A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}3+5-7&2+4-6\\-2-4+6&-1-3+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2. \]

Răspuns: \(A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=I_2\).

Calculăm produsul (folosim \(2^m\cdot2^n=2^{m+n}\)):

\[ A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1+2^m+2^n&2^m+2^n\\-2^m-2^n&1-2^m-2^n\end{pmatrix}, \]

\[ A(m+n)=\begin{pmatrix}1+2^{m+n}&2^{m+n}\\-2^{m+n}&1-2^{m+n}\end{pmatrix}. \]

De exemplu, elementul din stânga sus este

\[ (1+2^m)(1+2^n)-2^m\cdot2^n=1+2^m+2^n. \]

Egalând elementele corespunzătoare:

\[ A(m)\cdot A(n)=A(m+n) \iff 2^{m+n}=2^m+2^n \iff 2^m2^n-2^m-2^n+1=1 \iff \left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1. \]

Cum \(m\) și \(n\) sunt numere naturale, \(2^m-1\) și \(2^n-1\) sunt numere naturale al căror produs este \(1\), deci \(2^m-1=2^n-1=1\), adică \(2^m=2^n=2\) și \(m=n=1\).

Răspuns: \(m=n=1\).

\[ (-1)*(-1)=(-1)^2+(-1)^2+(-1)+(-1)=1+1-1-1=0. \]

Răspuns: \((-1)*(-1)=0\).

Vezi și: Legi de compoziție.

Adunăm și scădem \(\frac14+\frac14=\frac12\), apoi formăm pătrate perfecte:

\[ x*y=x^2+x+\frac14+y^2+y+\frac14-\frac12=\left(x^2+2x\cdot\frac12+\left(\frac12\right)^2\right)+\left(y^2+2y\cdot\frac12+\left(\frac12\right)^2\right)-\frac12, \]

adică

\[ x*y=\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2-\frac12, \]

pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Răspuns: identitatea este demonstrată.

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea (forma canonică).

Folosim punctul b) cu \(x\) și \(y\) înlocuiți cu \(x^2\):

\[ x^2*x^2\le4 \iff 2\left(x^2+\frac12\right)^2-\frac12\le4 \iff \left(x^2+\frac12\right)^2\le\frac94. \]

Cum \(x^2+\frac12\gt0\), obținem \(x^2+\frac12\le\frac32\), adică \(x^2\le1\), deci \(x\in[-1,1]\).

Altă metodă: \(x^2*x^2=2x^4+2x^2\), deci

\[ 2x^4+2x^2\le4\iff x^4+x^2-2\le0\iff\left(x^2+2\right)\left(x^2-1\right)\le0\iff x^2\le1. \]

Răspuns: \(x\in[-1,1]\).

Vezi și: Inecuații.

Cu \(\big(\ln(x+2)\big)'=\dfrac{1}{x+2}\):

\[ f'(x)=2x+4-\frac12\cdot\frac{1}{x+2}=2(x+2)-\frac{1}{2(x+2)}=\frac{4(x+2)^2-1}{2(x+2)}. \]

Numărătorul este o diferență de pătrate:

\[ f'(x)=\frac{\big(2(x+2)-1\big)\big(2(x+2)+1\big)}{2(x+2)}=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)},\quad x\in(-2,+\infty). \]

Răspuns: formula derivatei este demonstrată.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Avem \(x^2+4x-f(x)=\dfrac12\ln(x+2)\), deci

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x-f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{2x}. \]

Este o nedeterminare \(\frac{\infty}{\infty}\); aplicăm regula lui l'Hospital:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x+2}}{2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2(x+2)}=0. \]

Răspuns: limita este \(0\).

Vezi și: Limite de funcții, Calculator limite.

Monotonia lui \(f\): pe \((-2,+\infty)\) avem \(2x+5\gt0\) și \(x+2\gt0\), deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(2x+3\):

• \(f'(x)\le0\) pentru \(x\in\left(-2,-\frac32\right]\), deci \(f\) este descrescătoare pe \(\left(-2,-\frac32\right]\);
• \(f'(x)\ge0\) pentru \(x\in\left[-\frac32,+\infty\right)\), deci \(f\) este crescătoare pe \(\left[-\frac32,+\infty\right)\).

Așadar \(x=-\frac32\) este punct de minim global, cu

\[ f\left(-\frac32\right)=\frac94-6-\frac12\ln\frac12=-\frac{15}{4}+\frac12\ln2. \]

Pentru orice \(x\in(-2,+\infty)\), \(f(x)\ge f\left(-\frac32\right)\), adică

\[ x^2+4x-\frac12\ln(x+2)\ge-\frac{15}{4}+\frac12\ln2 \iff x^2+4x+\frac{15}{4}\ge\frac12\ln2+\frac12\ln(x+2)=\frac12\ln(2x+4). \]

Răspuns: inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\gt-2\) (egalitate doar pentru \(x=-\frac32\)).

Vezi și: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme, Logaritmi.

\(\left(x^2+1\right)f(x)=x^2+1+2=x^2+3\), deci

\[ \int_0^3\left(x^2+3\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+3x\right)\right|_0^3=\frac{27}{3}+9=18. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(18\).

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

\(xf(x)=x+\dfrac{2x}{x^2+1}\), iar \(\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{\left(x^2+1\right)'}{x^2+1}\) are primitiva \(\ln\left(x^2+1\right)\):

\[ \int_1^3\left(x+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3+\left.\ln\left(x^2+1\right)\right|_1^3=\frac{9-1}{2}+\ln10-\ln2=4+\ln5. \]

Răspuns: integrala este egală cu \(4+\ln5\).

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.

\(F\) este o primitivă a funcției continue \(f\), deci, conform formulei Leibniz–Newton, pentru orice număr real \(x\):

\[ F(x+1)-F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]

Pentru orice \(t\) real, \(\dfrac{2}{t^2+1}\gt0\), deci \(f(t)=1+\dfrac{2}{t^2+1}\gt1\). Integrând pe \([x,x+1]\):

\[ \int_x^{x+1}f(t)\,dt\ge\int_x^{x+1}1\,dt=x+1-x=1. \]

Prin urmare \(F(x+1)-F(x)\ge1\), adică \(F(x+1)\ge F(x)+1\), pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: inegalitatea este demonstrată (de fapt are loc chiar cu inegalitate strictă).

Vezi și: Primitive, Proprietățile integralei definite.