Subiectul oficial de Bacalaureat 2023 la matematică M_mate-info (M1), sesiunea iunie–iulie (varianta 1), rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Pentru fiecare item găsești enunțul, rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele necesare.
Proba E. c), filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică (și filiera vocațională, profil militar, mate-info). Toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.
Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt
Calculăm întâi \(z-2i=3+i-2i=3-i\). Atunci
Am folosit \((a+b)(a-b)\)\(=a^2-b^2\) și \(i^2=-1\).
Răspuns: \(z(z-2i)=10\), ceea ce trebuia demonstrat.
Formule utile: Numere complexe
Înlocuim \(x\) cu \(2x\): \(f(2x)\)\(=5\cdot2x+1\)\(=10x+1\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
Răspuns: \(f(2x)-2f(x)=-1\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
Formule utile: Funcția de gradul I
Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm la puterea a treia (operație care păstrează echivalența):
Verificare: \(\sqrt[3]{1-2+2}\)\(=\sqrt[3]{1}\)\(=1\) ✓.
Răspuns: \(x=1\)
Formule utile: Radicali
Numerele naturale de două cifre sunt \(10,11,\dots,99\), adică \(90\) de numere, deci sunt \(90\) de cazuri posibile.
\(n+5\) este multiplu de \(10\) exact când \(n\) se termină în cifra \(5\): \(n\in\{15,25,35,45,55,65,75,85,95\}\), deci \(9\) cazuri favorabile.
Răspuns: \(p=\dfrac{1}{10}\)
Formule utile: Probabilități
Panta dreptei \(AB\):
Drepte paralele au pante egale, deci \(m_d=4\). Dreapta \(d\) trece prin \(O(0,0)\): \(y-0=4(x-0)\), adică \(y=4x\).
Răspuns: \(d:\ y=4x\)
Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele și perpendiculare, calculator ecuația dreptei
Fie \(AD\) înălțimea din \(A\). Într-un triunghi dreptunghic isoscel, înălțimea din vârful unghiului drept este și mediană, iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: \(AD=\dfrac{BC}{2}\).
Altfel: \(AB=AC\) și \(\dfrac{AB^2}{2}=4\), deci \(AB=2\sqrt2\) și, cu teorema lui Pitagora, \(BC=AB\sqrt2=4\).
Răspuns: \(BC=4\)
Formule utile: Aria triunghiului, Triunghiul dreptunghic
1. Se consideră matricea \(A(a)\)\(=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&a\\a&a+1&-2\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}2x+y+2z=2\\x-y+az=4\\ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real.
\(A(0)\)\(=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&-1&0\\0&1&-2\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:
Răspuns: \(\det\big(A(0)\big)\)\(=8\)
Formule utile: Determinanți, calculator determinant
Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus:
O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. \(-a^2+2a+8\)\(=0\)\(\iff a^2-2a-8\)\(=0\)\(\iff(a-4)(a+2)\)\(=0\), deci \(a=-2\) sau \(a=4\).
Răspuns: \(A(a)\) este inversabilă pentru \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}\).
Formule utile: Matrice inversabilă, Determinanți
Pentru \(a=-2\) sistemul devine
Determinantul sistemului este \(\det\big(A(-2)\big)\)\(=0\), deci sistemul nu are soluție unică. A treia ecuație este prima înmulțită cu \(-1\), așa că rămân primele două. Adunându-le: \(3x=6\), deci \(x=2\). Din prima ecuație: \(y=2-4-2z=-2-2z\).
Notând \(z=\alpha\), soluțiile sunt \((x_0,y_0,z_0)\)\(=(2,\,-2-2\alpha,\,\alpha)\), cu \(\alpha\in\mathbb{R}\). Atunci
Răspuns: \(x_0z_0+y_0=-2\) pentru orice soluție a sistemului.
Formule utile: Sisteme de ecuații
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y\)\(=xy+\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)\).
Cum \(2^1-2=0\), pentru orice număr real \(x\):
Deci \(x\circ1\)\(=1\circ x\)\(=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), adică \(e=1\) este elementul neutru.
Răspuns: \(e=1\) este element neutru.
Formule utile: Legi de compoziție
Desfacem parantezele, folosind \(2^x\cdot2^{-x}=1\):
Grupăm termenii ca să apară un pătrat perfect:
Cum \(x^2\ge0\) și \(\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2\)\(\ge0\), rezultă \(x\circ(-x)\le1\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\) (cu egalitate pentru \(x=0\)).
Răspuns: \(x\circ(-x)\le1\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
Formule utile: Legi de compoziție, Puteri
1. Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}\).
Pentru \(x\gt1\) avem \(\ln\dfrac{x+3}{x-1}\)\(=\ln(x+3)-\ln(x-1)\), deci
Aducem la același numitor:
Răspuns: \(f'(x)\)\(=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}\)
Formule utile: Derivate, calculator derivate
Asimptota oblică are forma \(y=mx+n\), cu \(m\)\(=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) și \(n\)\(=\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)\). Cum \(\dfrac{x+3}{x-1}\to1\), avem \(\ln\dfrac{x+3}{x-1}\to0\):
Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) este dreapta \(y=x\).
Formule utile: Asimptote oblice, calculator asimptote
Din a): \(f'(x)\)\(=\dfrac{(x-3)(x+5)}{(x-1)(x+3)}\). Pentru \(x\gt1\), factorii \(x+5\), \(x-1\), \(x+3\) sunt pozitivi, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x-3\):
Așadar \(x=3\) este punct de minim global: \(f(x)\)\(\ge f(3)\)\(=3+3\ln\dfrac{6}{2}\)\(=3+3\ln3\), pentru orice \(x\gt1\). Adică
Răspuns: Inegalitatea rezultă din \(f(x)\)\(\ge f(3)\)\(=3+3\ln3\).
Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme, Logaritmi
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)\)\(=\left(x^2+2x\right)e^{-x}\).
Cum \(e^{-x}\cdot e^x=1\), avem \(f(x)e^x=x^2+2x\). Atunci
Răspuns: \(\displaystyle\int_0^3f(x)e^x\,dx\)\(=18\)
Formule utile: Integrale definite, calculator integrale
\(f(x)=x(x+2)e^{-x}\), deci \(\dfrac{f(x)}{x+2}\)\(=xe^{-x}\). Integrăm prin părți, cu \(e^{-x}\)\(=\left(-e^{-x}\right)'\):
Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x+2}\,dx\)\(=\frac{e-2}{e}\)
Formule utile: Primitive (integrare prin părți), Integrale definite
Funcția \(F(x)\)\(=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt\) este derivabilă (fiindcă \(f\) este continuă), cu \(F'(x)=f(x)\) și \(F(0)=0\). Limita este de tipul \(\frac00\), deci aplicăm regula lui l'Hôpital:
Răspuns: Limita este egală cu \(1\).
Formule utile: Limite de funcții, Integrale definite, calculator limite
| Item | Rezultat |
|---|---|
| I.1 | \(=10\) |
| I.2 | \(=-1\) |
| I.3 | \(x=1\) |
| I.4 | \(p=\frac{1}{10}\) |
| I.5 | \(y=4x\) |
| I.6 | \(BC=4\) |
| II.1 | a) 8; b) \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}\); c) \(=-2\) |
| II.2 | a) 18; b) \(e=1\); c) \(\le1\) |
| III.1 | b) \(y=x\); c) din \(f(x)\ge f(3)\) |
| III.2 | a) 18; b) \(\frac{e-2}{e}\); c) 1 |
Ce variantă a picat la Bac 2023 la matematică M1? În sesiunea iunie–iulie 2023, la proba E. c) Matematică M_mate-info a fost extrasă varianta 1, publicată împreună cu baremul de evaluare.
Cum determin asimptota oblică spre plus infinit? Calculezi \(m\)\(=\lim\frac{f(x)}{x}\) și \(n\)\(=\lim\big(f(x)-mx\big)\); dacă ambele limite sunt finite și \(m\ne0\), asimptota oblică este dreapta \(y=mx+n\).
Cum demonstrez o inegalitate cu ajutorul derivatei? Construiești (sau folosești) o funcție, îi studiezi monotonia cu derivata, găsești punctul de minim și scrii că \(f(x)\)\(\ge f(x_{\min})\); apoi transformi echivalent această inegalitate în cea cerută.
Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele de la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.
Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de derivate, calculatorul de integrale sau calculatorul de determinanți.
Sesiunea de toamnă 2023: Bac 2023 matematică M1 (mate-info), sesiunea august–septembrie — rezolvat
← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2)
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.