Bac 2023 M3 tehnologic august

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2023 M3 din august?

De obicei III.2 c): după ce se observă că g(x)=5x²+3, volumul se calculează cu formula V=π∈t_1² g²(x) dx, dezvoltând pătratul binomului.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2023, proba E.c) Matematică M_tehnologic (M3), din a doua sesiune (de toamnă), august–septembrie 2023 — proba scrisă din 17 august 2023, Varianta 7 — rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba a fost susținută de candidații din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului și tehnic, toate calificările profesionale) care s-au înscris la sesiunea de toamnă. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică. Subiectul din prima sesiune este rezolvat la Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$1, 5 + 1, 5 = 3$ (adevărat)
I.2	$5 - 4 = 1$ (adevărat)
I.3	$x = 3$
I.4	$p = \frac{3}{5}$
I.5	$A C = B C = \sqrt{10}$
I.6	$A B = 20$
II.1	a) $2$ ; b) adevărat; c) $x = 0$ sau $x = 3$
II.2	a) $1$ ; b) $x = 1$ ; c) $- (x + 1)^{2} + 2 \leq 2$
III.1	b) $y = 1$ ; c) $m = 2$ , $n = - 1$
III.2	a) $15$ ; b) $\frac{1}{3} \ln 2$ ; c) $V = 234 π = 2 π f (3)$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Arătați că

1, 5 + 3 \cdot (1 - 0, 5) = 3

Vezi rezolvarea

Efectuăm întâi paranteza, apoi înmulțirea și adunarea:

$1, 5 + 3 \cdot (1 - 0, 5) = 1, 5 + 3 \cdot 0, 5 = 1, 5 + 1, 5 = 3.$

Răspuns: $1, 5 + 3 \cdot (1 - 0, 5) = 3$ .

Vezi și: Fracții.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 5 - x

. Arătați că

f (0) - f (1) = 1

Vezi rezolvarea

$f (0) = 5 - 0 = 5,$

$f (1) = 5 - 1 = 4.$

$f (0) - f (1) = 5 - 4 = 1.$

Răspuns: $f (0) - f (1) = 1$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{3 x - 8} = 1

Vezi rezolvarea

Ridicăm la pătrat ambii membri (membrul drept este pozitiv):

$3 x - 8 = 1 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3.$

Verificare: $\sqrt{3 \cdot 3 - 8} = \sqrt{1} = 1$ , deci $x = 3$ convine.

Răspuns: $x = 3$ .

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

n

din mulțimea

A = {1, 3, 5, 7, 9}

, acesta să verifice inegalitatea

2 n \geq 9

Vezi rezolvarea

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $5$ elemente, deci sunt $5$ cazuri posibile.

Cazuri favorabile: $2 n \geq 9 \Leftrightarrow n \geq 4, 5$ , deci $n \in {5, 7, 9}$ : $3$ cazuri favorabile.

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{3}{5} .$

Răspuns: $p = \frac{3}{5}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (1, 0)

B (1, 2)

și

C (4, 1)

. Arătați că triunghiul

A B C

este isoscel.

Vezi rezolvarea

Calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte:

$A C = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10},$

$B C = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} .$

Cum $A C = B C$ , triunghiul $A B C$ este isoscel (cu baza $A B$ ).

Răspuns: $A C = B C = \sqrt{10}$ , deci triunghiul $A B C$ este isoscel.

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · aria triunghiului dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

dreptunghic în

A

, cu aria egală cu

50

și

A C = 5

. Arătați că lungimea laturii

A B

este egală cu

20

Vezi rezolvarea

Într-un triunghi dreptunghic, aria este semiprodusul catetelor:

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} \Rightarrow 50 = \frac{A B \cdot 5}{2} .$

$A B = \frac{2 \cdot 50}{5} = 20.$

Răspuns: $A B = 20$ .

Vezi și: Aria triunghiului.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A (x) = (\begin{matrix} x & 1 \\ - x & 2 - x \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Arătați că

det (A (1)) = 2

Vezi rezolvarea

$A (1) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}),$

$det (A (1)) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) = 1 + 1 = 2.$

Răspuns: $det (A (1)) = 2$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Arătați că

3 A (2) + A (6) = 4 A (3)

Vezi rezolvarea

$A (2) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 2 & 0 \end{matrix}),$

$A (6) = (\begin{matrix} 6 & 1 \\ - 6 & - 4 \end{matrix}),$

$A (3) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 3 & - 1 \end{matrix}) .$

$3 A (2) + A (6) = (\begin{matrix} 6 & 3 \\ - 6 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 & 1 \\ - 6 & - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 & 4 \\ - 12 & - 4 \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 12 & 4 \\ - 12 & - 4 \end{matrix}) = 4 (\begin{matrix} 3 & 1 \\ - 3 & - 1 \end{matrix}) = 4 A (3) .$

Răspuns: $3 A (2) + A (6) = 4 A (3)$ .

Vezi și: Matrice și determinanți.

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Determinați numerele reale

x

pentru care

A (x) \cdot A (x) = 2 A (x)

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul:

$A (x) \cdot A (x) = (\begin{matrix} x & 1 \\ - x & 2 - x \end{matrix}) (\begin{matrix} x & 1 \\ - x & 2 - x \end{matrix}) = (\begin{matrix} x^{2} - x & 2 \\ - 2 x & x^{2} - 5 x + 4 \end{matrix}) .$

(De exemplu, elementul din dreapta jos este $- x \cdot 1 + (2 - x)^{2} = x^{2} - 5 x + 4$ .) Pe de altă parte:

$2 A (x) = (\begin{matrix} 2 x & 2 \\ - 2 x & 4 - 2 x \end{matrix}) .$

Egalând elementele de pe prima poziție:

$x^{2} - x = 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 3) = 0,$

iar $x^{2} - 5 x + 4 = 4 - 2 x$ duce la aceeași ecuație $x^{2} - 3 x = 0$ .

Răspuns: $x = 0$ sau $x = 3$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y + 2 x - y - 1$ .

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Arătați că

1 * 1 = 1

Vezi rezolvarea

$1 * 1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 - 1 = 1 + 2 - 1 - 1 = 1.$

Răspuns: $1 * 1 = 1$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real

x

pentru care

x * 2 = x

Vezi rezolvarea

$x * 2 = 2 x + 2 x - 2 - 1 = 4 x - 3, pentru orice număr real x .$

$4 x - 3 = x \Rightarrow 3 x = 3 \Rightarrow x = 1.$

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 c) (5p · inegalitate)

Arătați că

(1 - x) * x \leq 2

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

Înlocuim în lege $1 - x$ în locul primului argument și $x$ în locul celui de-al doilea:

$(1 - x) * x = (1 - x) x + 2 (1 - x) - x - 1 = x - x^{2} + 2 - 2 x - x - 1 = - x^{2} - 2 x + 1.$

Formăm un pătrat perfect:

$- x^{2} - 2 x + 1 = - (x^{2} + 2 x + 1) + 2 = - (x + 1)^{2} + 2 \leq 2,$

deoarece $(x + 1)^{2} \geq 0$ pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $(1 - x) * x = - (x + 1)^{2} + 2 \leq 2$ , pentru orice $x \in R$ .

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{2}{e^{x}} - 1$ .

Subiectul III.1 a) (5p · derivată)

Arătați că

f^{'} (x) = \frac{2 (e^{x} - 1)}{e^{x}}

x \in R

Vezi rezolvarea

Scriem $\frac{2}{e^{x}} = 2 e^{- x}$ , cu ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$ :

$f^{'} (x) = 2 - 2 e^{- x} = 2 - \frac{2}{e^{x}} = \frac{2 e^{x} - 2}{e^{x}} = \frac{2 (e^{x} - 1)}{e^{x}}, x \in R .$

Răspuns: $f^{'} (x) = \frac{2 (e^{x} - 1)}{e^{x}}$ .

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

f

în punctul de abscisă

x = 0

, situat pe graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

$f (0) = 0 + \frac{2}{1} - 1 = 1,$

$f^{'} (0) = \frac{2 (1 - 1)}{1} = 0.$

Ecuația tangentei este $y - f (0) = f^{'} (0) (x - 0)$ , adică $y - 1 = 0$ .

Răspuns: $y = 1$ .

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Subiectul III.1 c) (5p · asimptotă oblică)

Determinați numerele reale

m

și

n

, știind că dreapta

d

de ecuație

y = m x + n

este asimptota oblică spre

+ \infty

la graficul funcției

f

Vezi rezolvarea

Panta asimptotei oblice:

$m = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} (2 + \frac{2}{x e^{x}} - \frac{1}{x}) = 2.$

Ordonata la origine:

$n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - 2 x) = lim_{x \to + \infty} (\frac{2}{e^{x}} - 1) = 0 - 1 = - 1.$

Răspuns: $m = 2$ , $n = - 1$ (asimptota $y = 2 x - 1$ ).

Vezi și: Asimptote, Calculator asimptote.

2. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} + 3 x$ .

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Arătați că

\int_{1}^{2} (f (x) - 3 x) d x = 15

Vezi rezolvarea

$f (x) - 3 x = 4 x^{3}$ . Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$\int_{1}^{2} 4 x^{3} d x = {x^{4} |}_{1}^{2} = 16 - 1 = 15.$

Răspuns: integrala este egală cu $15$ .

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Arătați că

\int_{2}^{5} \frac{1}{f (x) - 4 x^{3} + 3} d x = \frac{1}{3} \ln 2

Vezi rezolvarea

Numitorul se simplifică: $f (x) - 4 x^{3} + 3 = 3 x + 3 = 3 (x + 1)$ . Atunci:

$\int_{2}^{5} \frac{d x}{3 (x + 1)} = \frac{1}{3} {\ln (x + 1) |}_{2}^{5} = \frac{1}{3} (\ln 6 - \ln 3) = \frac{1}{3} \ln 2.$

Răspuns: integrala este egală cu $\frac{1}{3} \ln 2$ .

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite, Logaritmi.

Subiectul III.2 c) (5p · volumul unui corp de rotație)

Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei

O x

a graficului funcției

g : [1, 2] \to R

g (x) = \frac{x^{3} + f (x)}{x}

este egal cu

2 π f (3)

Vezi rezolvarea

Simplificăm, pentru $x \in [1, 2]$ :

$g (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{3} + 3 x}{x} = \frac{5 x^{3} + 3 x}{x} = 5 x^{2} + 3.$

Atunci $g^{2} (x) = 25 x^{4} + 30 x^{2} + 9$ și:

$V = π \int_{1}^{2} (25 x^{4} + 30 x^{2} + 9) d x = π {(5 x^{5} + 10 x^{3} + 9 x) |}_{1}^{2} .$

$V = π [(160 + 80 + 18) - (5 + 10 + 9)] = π (258 - 24) = 234 π .$

Pe de altă parte, $f (3) = 4 \cdot 27 + 3 \cdot 3 = 117$ , deci $2 π f (3) = 234 π = V$ .

Răspuns: $V = 234 π = 2 π f (3)$ .

Vezi și: Aplicații ale integralei definite — arii și volume.

Ce s-a cerut la Bac 2023 M3, sesiunea de toamnă

Subiectul I a cuprins un calcul cu numere zecimale, funcția de gradul I, o ecuație cu radicali, o probabilitate, distanța dintre două puncte și aria unui triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea a avut matrice și determinanți și o lege de compoziție, iar Subiectul al III-lea derivata unei funcții cu exponențială, tangenta, asimptota oblică și integrale definite, inclusiv volumul unui corp de rotație.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 7, proba din 17 august 2023) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei, în arhiva sesiunii august–septembrie 2023 de pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2023 matematică M3 în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2023, la proba E.c) din 17 august, candidații din filiera tehnologică au primit Varianta 7. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M3 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2023 M3 din august? De obicei III.2 c): după ce se observă că $g (x) = 5 x^{2} + 3$ , volumul se calculează cu formula $V = π \int_{1}^{2} g^{2} (x) d x$ , dezvoltând pătratul binomului.

Același an, prima sesiune: Bac 2023 M3 tehnologic rezolvat (iunie–iulie)

Bac 2026 M3 tehnologic august · Bac 2025 M3 tehnologic august · Bac 2024 M3 tehnologic august · Bac 2022 M3 tehnologic august · Bac 2021 M3 tehnologic august · Bac 2020 M3 tehnologic august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2023 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

Subiectul I.6 (5p · aria triunghiului dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 a) (5p · determinant)

Subiectul II.1 b) (5p · operații cu matrice)

Subiectul II.1 c) (5p · ecuație matriceală)

Subiectul II.2 a) (5p · lege de compoziție)

Subiectul II.2 b) (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.2 c) (5p · inegalitate)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 a) (5p · derivată)

Subiectul III.1 b) (5p · ecuația tangentei)

Subiectul III.1 c) (5p · asimptotă oblică)

Subiectul III.2 a) (5p · integrală definită)

Subiectul III.2 b) (5p · integrală cu logaritm)

Subiectul III.2 c) (5p · volumul unui corp de rotație)

Ce s-a cerut la Bac 2023 M3, sesiunea de toamnă

Întrebări frecvente

Formule conexe