Formule Bac matematică M1 și M2 — lista completă pe capitole

Aceasta este lista formulelor de care ai nevoie la proba de matematică a Bacalaureatului (proba E.c), grupate pe capitole. M1 înseamnă programa M_mate-info (specializarea matematică-informatică, inclusiv profilul militar), iar M2 programa M_șt-nat (specializarea științe ale naturii). Pentru filiera tehnologică (M_tehnologic) și profilul pedagogic (M_pedagogic) există programe separate, mai restrânse. Programele de examen în vigoare cuprind materia claselor a IX-a – a XII-a. M1 și M2 au în mare aceleași capitole; M1 adaugă șirurile, teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange și câteva noțiuni de teoria grupurilor. Fiecare capitol de mai jos are formulele esențiale și un link spre pagina cu explicații și exemple.

Ce formule îți trebuie pe profil

Pe scurt: la M2 lipsesc capitolele marcate cu „—”, iar problemele sunt de obicei mai directe. Formulele de bază sunt aceleași la ambele programe.

1. Numere reale, radicali, puteri, logaritmi

• Formule de calcul prescurtat: \( (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 \), \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \), \( a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) \).
• Puteri: \( a^m\cdot a^n=a^{m+n} \), \( (a^m)^n=a^{mn} \), \( a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \), \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \) (pentru \( a>0 \)).
• Radicali: \( \sqrt{a^2}=|a| \), \( \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b \) (pentru \( a,b\ge 0 \)), raționalizare: \( \dfrac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b} \).
• Definiția logaritmului: \( \log_a b=x \iff a^x=b \), cu \( a>0,\ a\ne 1,\ b>0 \).
• \( \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \), \( \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \), \( \log_a x^n=n\log_a x \).
• Schimbarea bazei: \( \log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} \); \( a^{\log_a b}=b \).
• Partea întreagă: \( [x]\le x<[x]+1 \), \( \{x\}=x-[x]\in[0,1) \).

→ detalii: formule de calcul prescurtat, puteri, radicali, logaritmi.

2. Progresii aritmetice și geometrice

• Progresie aritmetică: \( a_n=a_1+(n-1)r \), \( S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2} \).
• Trei termeni consecutivi: \( a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \).
• Progresie geometrică: \( b_n=b_1\cdot q^{\,n-1} \), \( S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1} \) pentru \( q\ne 1 \).
• Trei termeni consecutivi (pozitivi): \( b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1} \).
• Suma primelor \( n \) numere naturale nenule: \( 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \).

→ detalii: progresia aritmetică, progresia geometrică.

3. Funcția de gradul I și de gradul al II-lea

• \( f(x)=ax+b \): crescătoare pentru \( a>0 \), descrescătoare pentru \( a<0 \); zeroul este \( x=-\dfrac{b}{a} \).
• \( f(x)=ax^2+bx+c \), \( a\ne 0 \): \( \Delta=b^2-4ac \), \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} \).
• Vârful parabolei: \( V\left(-\dfrac{b}{2a},\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right) \); axa de simetrie \( x=-\dfrac{b}{2a} \).
• Pentru \( a>0 \) minimul este \( -\dfrac{\Delta}{4a} \); pentru \( a<0 \) maximul este \( -\dfrac{\Delta}{4a} \).
• Relațiile lui Viète: \( S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \), \( P=x_1x_2=\dfrac{c}{a} \); ecuația cu rădăcinile date: \( x^2-Sx+P=0 \).
• \( x_1^2+x_2^2=S^2-2P \).
• Intersecția graficului cu \( Ox \): \( \Delta>0 \) două puncte, \( \Delta=0 \) graficul este tangent la \( Ox \), \( \Delta<0 \) niciun punct.

→ detalii: funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, ecuația de gradul al II-lea.

4. Ecuații exponențiale, logaritmice și iraționale

• \( a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x) \), pentru \( a>0,\ a\ne 1 \).
• \( a^{f(x)}=b \), \( b>0 \) \( \Rightarrow f(x)=\log_a b \).
• Substituția \( t=a^x>0 \) transformă ecuații ca \( 4^x-3\cdot 2^x+2=0 \) în ecuații de gradul al II-lea.
• \( \log_a f(x)=\log_a g(x) \iff f(x)=g(x) \), cu condițiile de existență \( f(x)>0,\ g(x)>0 \).
• \( \log_a f(x)=b \iff f(x)=a^b \).
• Ecuație irațională: \( \sqrt{f(x)}=g(x) \iff f(x)=g^2(x) \) și \( g(x)\ge 0 \); la final verifici soluțiile.
• \( \sqrt[3]{f(x)}=g(x) \iff f(x)=g^3(x) \) (fără condiții).

→ detalii: ecuații exponențiale, funcția exponențială, logaritmi.

5. Combinatorică și binomul lui Newton

• Permutări: \( P_n=n! \), cu \( 0!=1 \).
• Aranjamente: \( A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} \).
• Combinări: \( C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \); \( C_n^k=C_n^{n-k} \); \( C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1} \).
• Numărul submulțimilor unei mulțimi cu \( n \) elemente: \( 2^n=C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n \).
• Binomul lui Newton: \( (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,a^{n-k}b^k \).
• Termenul general: \( T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}b^k \).

→ detalii: combinatorică, binomul lui Newton.

6. Matematici financiare și probabilități

• \( p\% \) din \( x \) este \( \dfrac{p}{100}\cdot x \).
• Scumpire cu \( p\% \): \( x\left(1+\dfrac{p}{100}\right) \); ieftinire cu \( p\% \): \( x\left(1-\dfrac{p}{100}\right) \).
• TVA: preț final \( = \) preț fără TVA \( \cdot\left(1+\dfrac{\text{cota}}{100}\right) \).
• Probabilitatea unui eveniment: \( P(A)=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} \), \( 0\le P(A)\le 1 \).
• Evenimentul contrar: \( P(\bar A)=1-P(A) \).

→ detalii: procente, matematici financiare, probabilități.

7. Numere complexe

• \( z=a+bi \), \( i^2=-1 \); \( \operatorname{Re} z=a \), \( \operatorname{Im} z=b \).
• Conjugatul: \( \bar z=a-bi \); \( z\cdot\bar z=a^2+b^2 \).
• Modulul: \( |z|=\sqrt{a^2+b^2} \); \( |z_1z_2|=|z_1|\,|z_2| \).
• Puterile lui \( i \): \( i^{4k}=1,\ i^{4k+1}=i,\ i^{4k+2}=-1,\ i^{4k+3}=-i \).
• Împărțirea: \( \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\cdot\bar z_2}{|z_2|^2} \).
• Ecuația de gradul al II-lea cu \( \Delta<0 \): \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \).

→ detalii: numere complexe.

8. Vectori

• \( \vec v=x\vec i+y\vec j \), \( |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2} \).
• \( \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec i+(y_B-y_A)\vec j \).
• Regula triunghiului: \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \).
• Coliniaritate: \( \vec u=a\vec i+b\vec j \) și \( \vec v=c\vec i+d\vec j \) sunt coliniari \( \iff \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d} \) (sau \( ad-bc=0 \)).
• Produsul scalar: \( \vec u\cdot\vec v=ac+bd=|\vec u|\,|\vec v|\cos\varphi \); perpendiculari \( \iff ac+bd=0 \).
• Mijlocul segmentului \( [BC] \): \( \overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2} \); centrul de greutate: \( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0 \).

→ detalii: coordonatele vectorilor.

9. Geometrie analitică

• Distanța: \( AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \).
• Mijlocul segmentului: \( M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \); centrul de greutate: \( G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) \).
• Panta: \( m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \); dreapta \( y=mx+n \) are panta \( m \).
• Ecuația dreptei printr-un punct, de pantă dată: \( y-y_0=m(x-x_0) \).
• Ecuația dreptei prin două puncte: \( \dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}=\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A} \).
• Drepte paralele: \( m_1=m_2 \); drepte perpendiculare: \( m_1\cdot m_2=-1 \).
• Distanța de la punct la dreapta \( ax+by+c=0 \): \( d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \).
• Aria triunghiului: \( \mathcal A=\dfrac{1}{2}|\Delta| \), unde \( \Delta=\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix} \); punctele sunt coliniare \( \iff \Delta=0 \).

→ detalii: ecuația dreptei, panta unei drepte, drepte paralele și perpendiculare, distanțe și arii.

10. Trigonometrie

• \( \sin^2x+\cos^2x=1 \); \( \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \).
• Reducerea la primul cadran: \( \sin(\pi-x)=\sin x \), \( \cos(\pi-x)=-\cos x \), \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x \).
• \( \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b \), \( \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b \).
• \( \sin 2x=2\sin x\cos x \), \( \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 \).
• Teorema sinusurilor: \( \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R \).
• Teorema cosinusului: \( a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \).
• Aria triunghiului: \( \mathcal A=\dfrac{ab\sin C}{2} \); formula lui Heron: \( \mathcal A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), cu \( p=\dfrac{a+b+c}{2} \).

→ detalii: tabel trigonometric, formule trigonometrice, teorema sinusurilor, teorema cosinusului, aria triunghiului.

11. Matrice, determinanți, sisteme liniare

• Produsul: \( (AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj} \); în general \( AB\ne BA \).
• \( \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc \); determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus sau a triunghiului.
• \( \det(AB)=\det A\cdot\det B \), \( \det(kA)=k^n\det A \) pentru \( A\in\mathcal M_n(\mathbb R) \).
• \( A \) inversabilă \( \iff \det A\ne 0 \); \( A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^* \). Pentru ordinul 2: \( A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \).
• Pentru \( A\in\mathcal M_2(\mathbb R) \): \( A^2-(\operatorname{tr}A)\,A+(\det A)\,I_2=O_2 \).
• Regula lui Cramer (sistem compatibil determinat, \( \Delta\ne 0 \)): \( x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta},\ y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta},\ z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta} \).
• Sistem omogen: are soluții nenule \( \iff \Delta=0 \).

→ detalii: determinanți, matrice inversabilă, sisteme de ecuații.

12. Legi de compoziție și grupuri

• Asociativitate: \( (x*y)*z=x*(y*z) \); comutativitate: \( x*y=y*x \).
• Element neutru \( e \): \( x*e=e*x=x \) pentru orice \( x \).
• Element simetric \( x' \): \( x*x'=x'*x=e \).
• Lege de forma \( x*y=xy+ax+ay+b \): se scrie \( x*y=(x+a)(y+a)-a \) dacă \( b=a^2-a \); atunci \( e=1-a \).
• Grup: lege asociativă, cu element neutru, în care orice element are simetric; grup abelian dacă legea este și comutativă.
• Morfism de grupuri: \( f(x*y)=f(x)\circ f(y) \); izomorfism = morfism bijectiv.
• În \( \mathbb Z_n \): \( \hat a \) este inversabil la înmulțire \( \iff (a,n)=1 \).

→ detalii: legi de compoziție, structuri algebrice.

13. Polinoame

• Teorema împărțirii cu rest: \( f=g\cdot q+r \), cu \( \operatorname{grad} r<\operatorname{grad} g \).
• Teorema restului: restul împărțirii lui \( f \) la \( X-a \) este \( f(a) \).
• Teorema lui Bézout: \( X-a \mid f \iff f(a)=0 \).
• Schema lui Horner pentru împărțirea la \( X-a \).
• Viète, gradul 3 (\( aX^3+bX^2+cX+d \)): \( x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} \), \( x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a} \), \( x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} \).
• \( x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \).
• Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina \( a+bi \), atunci are și rădăcina \( a-bi \).

→ detalii: polinoame.

14. Limite remarcabile și asimptote

• \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x}{x}=1 \).
• \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a \).
• \( \lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e \), \( \lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac1x}=e \).
• Asimptotă orizontală spre \( +\infty \): \( y=\ell \), dacă \( \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\ell\in\mathbb R \).
• Asimptotă verticală: \( x=a \), dacă cel puțin o limită laterală în \( a \) este \( \pm\infty \).
• Asimptotă oblică spre \( +\infty \): \( y=mx+n \), cu \( m=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\ne 0 \), \( n=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-mx\big) \).
• Regulile lui l'Hospital pentru cazurile \( \frac00 \) și \( \frac{\infty}{\infty} \).

→ detalii: limite de funcții și limite remarcabile, asimptote.

15. Derivate, tangenta, monotonie, convexitate

• Tabel: \( (x^n)'=nx^{n-1} \), \( (\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x} \), \( (e^x)'=e^x \), \( (a^x)'=a^x\ln a \), \( (\ln x)'=\dfrac1x \).
• \( (\sin x)'=\cos x \), \( (\cos x)'=-\sin x \), \( (\operatorname{tg}x)'=\dfrac{1}{\cos^2x} \), \( (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{1+x^2} \).
• Reguli: \( (f\cdot g)'=f'g+fg' \), \( \left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} \), \( \big(f(u)\big)'=f'(u)\cdot u' \).
• Ecuația tangentei în punctul de abscisă \( x_0 \): \( y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \).
• Monotonie: \( f'\ge 0 \) pe interval \( \Rightarrow f \) crescătoare; \( f'\le 0 \Rightarrow f \) descrescătoare.
• Punct de extrem: \( f'(x_0)=0 \) și \( f' \) schimbă semnul în \( x_0 \).
• Convexitate: \( f''\ge 0 \Rightarrow f \) convexă; \( f''\le 0 \Rightarrow f \) concavă; punct de inflexiune unde \( f'' \) schimbă semnul.
• Doar M1: teorema lui Lagrange, \( f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \), cu \( c\in(a,b) \).

→ detalii: tabel de derivate, ecuația tangentei, aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor.

16. Primitive, integrale, arie, volum

• \( \displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \) (\( n\ne -1 \)), \( \displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C \).
• \( \displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C \), \( \displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \).
• \( \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C \), \( \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C \), \( \displaystyle\int\frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa+C \).
• Formula Leibniz–Newton: \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) \).
• Integrarea prin părți: \( \displaystyle\int_a^b f\,g'\,dx=f\,g\Big|_a^b-\int_a^b f'\,g\,dx \).
• Aria suprafeței dintre grafic, \( Ox \) și dreptele \( x=a \), \( x=b \): \( \mathcal A=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx \).
• Volumul corpului de rotație: \( V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx \).

→ detalii: primitive, tabel de integrale nedefinite, integrale definite, aplicații ale integralei definite.

Sfaturi pentru examen

• Structura lucrării: trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectul I are șase exerciții scurte (algebră, funcții, ecuații, geometrie, trigonometrie, probabilități). Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea au câte două probleme, fiecare cu trei cerințe: de regulă algebra de clasele a XI-a și a XII-a la Subiectul al II-lea și analiza la Subiectul al III-lea.
• Timp: ai la dispoziție 3 ore. Rezolvă întâi Subiectul I, unde punctele vin repede, apoi cerințele a) de la Subiectele II și III, care sunt de obicei calcule directe.
• Învață formulele pe capitole, nu pe de rost în bloc. Pentru fiecare formulă de mai sus rezolvă măcar un exercițiu din variantele oficiale.
• Scrie formula înainte să o aplici. Baremul acordă puncte pe pași, deci formula corectă scrisă explicit poate aduce puncte chiar dacă greșești un calcul.
• Verifică condițiile de existență la logaritmi, radicali și fracții. Sunt cea mai frecventă sursă de puncte pierdute.

Întrebări frecvente

Ce formule trebuie să știu pentru Bac la matematică? Formulele din toate cele 16 capitole de mai sus: algebră de clasele a IX-a și a X-a (puteri, logaritmi, progresii, funcția de gradul al II-lea, combinatorică, numere complexe), geometrie și trigonometrie (vectori, geometrie analitică, teoremele sinusurilor și cosinusului), algebră de clasele a XI-a și a XII-a (matrice, determinanți, legi de compoziție, polinoame) și analiză (limite, derivate, integrale).

Care este diferența dintre M1 și M2? M1 este programa M_mate-info (matematică-informatică), iar M2 este programa M_șt-nat (științe ale naturii). Capitolele sunt în mare aceleași, dar M1 include în plus șirurile și limitele de șiruri, teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange, subgrupurile și ordinul unui element. În plus, problemele de la M1 sunt de regulă mai dificile.

Se dă formular la Bac la matematică? Nu. Subiectele oficiale nu conțin formular, iar candidații pot folosi doar instrumentele de scris și de desen. Toate formulele trebuie știute pe de rost, de aceea merită să le înveți pe capitole, cu exerciții.