Simulare Bac 2021 matematică M3 (tehnologic) — subiect rezolvat

Folosim $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și $i^2=-1$:

$$(1+3i{)}^2-6i=1+6i+9i^2-6i=1+9\cdot (-1)=1-9=-8.$$

Răspuns: $(1+3i{)}^2-6i=-8$.

Vezi și: Numere complexe.

Abscisa punctului de intersecție verifică $f(x)=g(x)$:

$$x+1=3x-7\iff 2x=8\iff x=4,$$

$$y=f(4)=5.$$

Răspuns: punctul de intersecție este $(4,5)$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Radicalul este nenegativ, deci soluțiile trebuie să verifice $2x\ge 0$, adică $x\ge 0$. Ridicăm la pătrat:

$$3-x=4x^2\iff 4x^2+x-3=0\iff (x+1)(4x-3)=0.$$

Obținem $x=-1$, care nu convine ($x<0$), și $x=\frac{3}{4}$, care convine: $\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=2\cdot \frac{3}{4}$. ✓

Răspuns: $x={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Vezi și: Radicali, Ecuația de gradul al II-lea.

Mulțimea $A$ are $5$ elemente. Numărul submulțimilor cu $k$ elemente este $C_5^k$:

$$C_5^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=10,$$

$$C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10.$$

Deci cele două numere sunt egale (în general, $C_n^k=C_n^{n-k}$).

Răspuns: ambele numere sunt egale cu $10$.

Vezi și: Combinatorică.

Punctul $C$ se află pe dreapta $AB$ dacă pantele dreptelor $AB$ și $AC$ sunt egale:

$$m_{AB}=\frac{0-2}{-1-1}=1,$$

$$m_{AC}=\frac{a-2}{0-1}=2-a.$$

Din $m_{AB}=m_{AC}$ obținem $2-a=1$, deci $a=1$. (Altfel: dreapta $AB$ are ecuația $y=x+1$, iar pentru $x=0$ obținem $y=1$.)

Răspuns: $a=1$.

Vezi și: Panta unei drepte.

Cum $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, obținem $\cos x+\frac{1}{2}=1$, deci $\cos x=\frac{1}{2}$. Din formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{4}=1\iff {\sin }^{2}x=\frac{3}{4}.$$

Pentru $x\in (0,\frac{\pi }{2})$, $\sin x>0$, deci $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Răspuns: $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Vezi și: Formule trigonometrice, Tabel trigonometric.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right|=2\cdot (-2)-4\cdot (-1)=-4+4=0.$$

Răspuns: $detA=0$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$M(1)=A+B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 1\end{array}\right),$$

$$M(x)=\left(\begin{array}{cc}2-2x& 4-6x\\ -1+x& -2+3x\end{array}\right).$$

Înmulțim linie cu coloană:

$$M(x)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}0& -2(2-2x)+(4-6x)\\ 0& -2(-1+x)+(-2+3x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2x\\ 0& x\end{array}\right),$$

$$\left(\begin{array}{cc}0& -2x\\ 0& x\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 1\end{array}\right)=xM(1),$$

pentru orice număr real $x$.

Răspuns: $M(x)\cdot M(1)=xM(1)$.

Aplicăm de trei ori relația de la b), grupând de la dreapta:

$$M(2)\cdot M(1)=2M(1),$$

$$M(3)\cdot (2M(1))=2\cdot 3M(1),$$

$$M(4)\cdot (2\cdot 3M(1))=2\cdot 3\cdot 4M(1)=24M(1).$$

Cum $M(1)\ne O_2$, din $24M(1)=nM(1)$ obținem $n=24$.

Răspuns: $n=24$.

$$1\ast 2=1+2+1^2\cdot 2^2=1+2+4=7.$$

Răspuns: $1\ast 2=7$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice număr real $x$:

$$x\ast 0=x+0+x^2\cdot 0=x,$$

$$0\ast x=0+x+0\cdot x^2=x,$$

deci $x\ast 0=0\ast x=x$ și $e=0$ este elementul neutru al legii „$\ast$”.

Răspuns: $x\ast 0=0\ast x=x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

$$(-2)\ast x=-2+x+4x^2,$$

deci inecuația devine

$$4x^2+x-2\le 3\iff 4x^2+x-5\le 0\iff (4x+5)(x-1)\le 0.$$

Trinomul are rădăcinile $-\frac{5}{4}$ și $1$, deci $x\in [-\frac{5}{4},1]$. Cum $x$ este număr întreg, obținem $x\in \{-1,0,1\}$.

Răspuns: $x\in \{-1,0,1\}$.

Vezi și: Inecuații.

Derivăm termen cu termen, cu ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ și ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$:

$$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }+{\left(x^4\right)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }+(2{)}^{\prime }=e^x+4x^3-2+0=e^x+4x^3-2,$$

pentru $x\in \mathbb{R}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=e^x+4x^3-2$.

Vezi și: Tabel derivate și reguli de derivare, Calculator derivate.

$$f(0)=1+0-0+2=3,$$

$$f^{\prime }(0)=1+0-2=-1.$$

Ecuația tangentei: $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y-3=-x$.

Răspuns: $y=-x+3$.

Vezi și: Ecuația tangentei la grafic.

Derivata a doua:

$$f^{″}(x)={(e^x+4x^3-2)}^{\prime }=e^x+12x^2,$$

pentru $x\in \mathbb{R}$. Cum $e^x>0$ și $12x^2\ge 0$, avem $f^{″}(x)>0$ (în particular $f^{″}(x)\ge 0$) pentru orice număr real $x$, deci funcția $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

Răspuns: $f^{″}(x)=e^x+12x^2\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este convexă.

Vezi și: Aplicații ale derivatelor — monotonie, convexitate.

$f(x)+\frac{1}{x}=x$. Aplicăm formula Leibniz–Newton:

$${\int }_1^{3}xdx={\frac{x^2}{2}|}_1^3=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4.$$

Răspuns: integrala este egală cu $4$.

Vezi și: Integrala definită — Leibniz–Newton, Calculator integrale.

Integrandul este $x\ln x={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\ln x$. Integrăm prin părți:

$${\int }_1^{2}x\ln xdx={\frac{x^2}{2}\ln x|}_1^2-{\int }_1^2\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=2\ln 2-{\frac{x^2}{4}|}_1^2.$$

$$2\ln 2-(1-\frac{1}{4})=2\ln 2-\frac{3}{4}.$$

Răspuns: integrala este egală cu $2\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Vezi și: Integrarea prin părți.

$x^{n+1}{f}^n(x)=x\cdot x^n{(x-\frac{1}{x})}^n=x{(x^2-1)}^n$, iar ${(x^2-1)}^{\prime }=2x$. Deci

$${\int }_1^{\sqrt{2}}x{(x^2-1)}^{n}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{2}}{(x^2-1)}^{\prime }{(x^2-1)}^{n}dx={\frac{{(x^2-1)}^{n+1}}{2(n+1)}|}_1^{\sqrt{2}}.$$

Pentru $x=\sqrt{2}$, $x^2-1=1$, iar pentru $x=1$, $x^2-1=0$, deci integrala este egală cu $\frac{1}{2(n+1)}$.

$$\frac{1}{2(n+1)}\ge \frac{1}{2021}\iff 2(n+1)\le 2021\iff n\le \frac{2019}{2}=1009,5.$$

Cel mai mare număr natural nenul cu această proprietate este $n=1009$.

Răspuns: $n=1009$.

Vezi și: Tabel de integrale nedefinite.