Bacalaureat 2020 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Calculăm \(z^2\)​\(=(2+i)^2\)​\(=4+4i+i^2\) și \(4z=8+4i\). Atunci

\[z^2-4z+5=4+4i+i^2-8-4i+5=i^2+1=-1+1=0.\]

Răspuns: \(z^2-4z+5=0\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Numere complexe

Punctul \(M(0,2)\) aparține graficului lui \(f\) dacă și numai dacă \(f(0)=2\).

\[f(0)=0^2+0+a=a=2.\]

Răspuns: \(a=2\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm la puterea a treia (operație care păstrează echivalența):

\[x^3=x^3+2x\iff2x=0\iff x=0.\]

Verificare: \(\sqrt[3]{0+0}=0\) ✓.

Răspuns: \(x=0\)

Formule utile: Radicali

Numerele de cinci cifre distincte formate cu cifrele \(1,2,3,4,5\) sunt permutările acestor cifre: \(5!=120\) de cazuri posibile.

Dacă cifra zecilor este \(2\) și cifra unităților este \(3\), primele trei cifre sunt o permutare a cifrelor \(1,4,5\): \(3!=6\) cazuri favorabile.

\[p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}.\]

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{20}\)

Formule utile: Probabilități, Combinatorică (permutări)

Un punct se află pe mediatoarea segmentului \(AB\) dacă și numai dacă este egal depărtat de \(A\) și de \(B\): \(CA=CB\).

\[\sqrt{(4-0)^2+(a-1)^2}=\sqrt{(4-2)^2+(a-3)^2}\iff16+a^2-2a+1=4+a^2-6a+9.\]

Reducem \(a^2\): \(17-2a\)​\(=13-6a\)​\(\iff4a\)​\(=-4\)​\(\iff a\)​\(=-1\).

Verificare: \(C(4,-1)\), \(CA^2=16+4=20\), \(CB^2=4+16=20\) ✓.

Răspuns: \(a=-1\)

Formule utile: Distanța dintre două puncte, Geometrie analitică

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi: \(2B=A+C\).

Suma unghiurilor unui triunghi este \(A+B+C=\pi\). Înlocuind \(A+C=2B\):

\[2B+B=\pi\iff3B=\pi\iff B=\frac{\pi}{3}.\]

Răspuns: \(B=\dfrac{\pi}{3}\)

Formule utile: Progresii aritmetice

Cum \(\ln1=0\), \(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=1+0+0-0-0-0=1.\]

(Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.)

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=1\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Înmulțim linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 3 este \(1\cdot(1+\ln y)+0+(1+\ln x)\cdot1\)​\(=2+\ln x+\ln y\)​\(=2+\ln(xy)\):

\[A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(xy)\\0&xy&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\]

Schimbând rolurile lui \(x\) și \(y\), obținem \(A(y)A(x)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(yx)\\0&yx&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), care este aceeași matrice, deoarece \(xy=yx\).

Răspuns: \(A(x)A(y)=A(y)A(x)\) pentru orice \(x,y\gt0\).

Formule utile: Matrice și determinanți, Logaritmi

Din b), \(A(x)A(y)\)​\(=\begin{pmatrix}1&0&2+\ln(xy)\\0&xy&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și factorii comută, deci îi putem regrupa. Cum \(\ln1=0\):

\[A\left(\frac13\right)A(3)=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=A\left(\frac12\right)A(2),\qquad A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\]

Produsul a două matrice de forma \(\begin{pmatrix}1&0&p\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(\begin{pmatrix}1&0&q\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) este \(\begin{pmatrix}1&0&p+q\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), deci

\[A\left(\frac13\right)A(3)\cdot A\left(\frac12\right)A(2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1&0&2+2+1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\]

Răspuns: \(n=5\)

Formule utile: Matrice și determinanți

Pentru \(a=10\):

\[1*2=1\cdot2-4(1+2)+10=2-12+10=0.\]

Răspuns: \(1*2=0\)

Formule utile: Legi de compoziție

Pentru \(a=20\) și orice număr real \(x\):

\[x*5=5x-4(x+5)+20=5x-4x-20+20=x,\qquad5*x=5x-4(5+x)+20=x.\]

Deci \(x*5=5*x=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(e=5\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Formule utile: Legi de compoziție

Scriem legea în formă „factorizată”: \(xy-4x-4y+16\)​\(=(x-4)(y-4)\), deci

\[x*y=(x-4)(y-4)+a-16,\quad\text{pentru orice }x,y\in\mathbb{R}.\]

Fie \(x,y\in H\), adică \(x-4\ge0\) și \(y-4\ge0\); atunci \((x-4)(y-4)\ge0\). Cum \(a\ge20\), avem \(a-16\ge4\). Rezultă

\[x*y\ge0+4=4,\]

adică \(x*y\in H\). Deci \(H\) este parte stabilă în raport cu legea „\(*\)”.

Răspuns: Pentru \(a\ge20\) și \(x,y\ge4\): \(x*y\)​\(=(x-4)(y-4)+a-16\)​\(\ge4\), deci \(H\) este parte stabilă.

Formule utile: Legi de compoziție

Cu \(\left(a^x\right)'\)​\(=a^x\ln a\):

\[f'(x)=6^x\ln6-3^x\ln3+2^x\ln2,\quad x\in\mathbb{R}.\]

\[f'(0)=\ln6-\ln3+\ln2=\ln\frac{6\cdot2}{3}=\ln4.\]

Răspuns: \(f'(0)=\ln4\)

Formule utile: Derivate, Logaritmi, calculator derivate

Ecuația tangentei în punctul de abscisă \(0\) este \(y-f(0)=f'(0)(x-0)\). Cum \(f(0)=1-1+1=1\) și \(f'(0)=\ln4\):

\[y=x\ln4+1.\]

Punctul \(A\) este pe tangentă dacă \(\ln(16e)=a\ln4+1\). Dar \(\ln(16e)\)​\(=\ln16+\ln e\)​\(=\ln16+1\), deci

\[\ln16=a\ln4\iff\ln\left(4^2\right)=\ln\left(4^a\right)\iff a=2.\]

Răspuns: \(a=2\)

Formule utile: Derivate (ecuația tangentei), Logaritmi

Cum \(f(0)=1\), avem \(\ln\big(f(0)\big)\)​\(=0\), deci limita este de tipul \(\frac00\). Aplicăm regula lui l'Hôpital, cu \(\big(\ln f(x)\big)'\)​\(=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\):

\[\lim_{x\to0}\frac{\ln\big(f(x)\big)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(0)}{f(0)}=\frac{\ln4}{1}=\ln4.\]

Răspuns: Limita este egală cu \(\ln4\).

Formule utile: Limite de funcții, calculator limite

\(\left(x^2+3\right)f(x)\)​\(=x^2+3-2x-2\)​\(=x^2-2x+1\)​\(=(x-1)^2\), deci

\[\int_1^2(x-1)^2\,dx=\frac{(x-1)^3}{3}\Bigg|_1^2=\frac13-0=\frac13.\]

Răspuns: Integrala este egală cu \(\dfrac13\).

Formule utile: Integrale definite, calculator integrale

Folosim primitivele \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+3}\,dx\)​\(=\ln\left(x^2+3\right)\) (de forma \(\frac{u'}{u}\)) și \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}\)​\(=\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa\), cu \(a=\sqrt3\):

\[\int_0^1f(x)\,dx=\left(x-\ln\left(x^2+3\right)-\frac{2}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt3}\right)\Bigg|_0^1.\]

Cum \(\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt3}\)​\(=\frac{\pi}{6}\) și \(\operatorname{arctg}0\)​\(=0\):

\[=1-\ln4-\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{\pi}{6}+\ln3=1-\ln\frac43-\frac{\pi}{3\sqrt3}=1-\ln\frac43-\frac{\pi\sqrt3}{9}.\]

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\)​\(=1-\ln\frac43-\frac{\pi\sqrt3}{9}\)

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite, Integrale definite

Aducând la același numitor, \(f(x)\)​\(=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+3}\)​\(=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+3}\). Derivata este

\[f'(x)=\frac{2(x-1)\left(x^2+3\right)-2x(x-1)^2}{\left(x^2+3\right)^2}=\frac{2(x-1)(x+3)}{\left(x^2+3\right)^2}.\]

Pentru \(x\in[0,1]\), \(x-1\le0\) și \(x+3\gt0\), deci \(f'(x)\le0\): \(f\) este descrescătoare pe \([0,1]\). Atunci \(f(1)\)​\(\le f(x)\)​\(\le f(0)\), adică

\[0\le f(x)\le\frac13,\quad x\in[0,1]\Rightarrow0\le f^n(x)\le\left(\frac13\right)^n.\]

Integrând pe \([0,1]\): \(0\)​\(\le I_n\)​\(\le\displaystyle\int_0^1\left(\frac13\right)^ndx\)​\(=\left(\frac13\right)^n\). Cum \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac13\right)^n\)​\(=0\), din criteriul cleștelui obținem \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\).

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\)​\(=0\)

Formule utile: Integrale definite, Monotonie cu derivata