Bacalaureat 2023 matematică M1 (mate-info) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Termenul general este \(a_n=a_1+(n-1)r\), unde \(r\) este rația. Din \(a_5=a_1+4r\):

\[4r=a_5-a_1=23-3=20\Rightarrow r=5.\]

\[a_6=a_5+r=23+5=28.\]

Răspuns: \(a_6=28\)

Formule utile: Progresia aritmetică

\(A(m,-1)\) aparține graficului dacă și numai dacă \(f(m)=-1\):

\[m^2-6m+8=-1\iff m^2-6m+9=0\]

\[(m-3)^2=0\iff m=3.\]

Verificare: \(f(3)=9-18+8=-1\) ✓.

Răspuns: \(m=3\)

Formule utile: Funcția de gradul al II-lea

Scriem \(9=3^2\), deci \(9\cdot3^{x+1}\)​\(=3^{x+3}\). Ecuația devine \(3^{2x-1}=3^{x+3}\) și, cum funcția exponențială este injectivă,

\[2x-1=x+3\iff x=4.\]

Verificare: \(3^7=9\cdot3^5\) ✓.

Răspuns: \(x=4\)

Formule utile: Ecuații exponențiale, Puteri

Submulțimile nevide cu cel mult două elemente au fie un element, fie două elemente. Numărul submulțimilor cu \(k\) elemente ale unei mulțimi cu \(5\) elemente este \(C_5^k\):

\[C_5^1+C_5^2=5+10=15.\]

Răspuns: \(15\) submulțimi

Formule utile: Combinatorică, calculator combinări

Fie \(C(x_C,y_C)\). Avem \(\overrightarrow{OA}\)​\(=3\vec i+\vec j\) și \(\overrightarrow{BC}\)​\(=(x_C-4)\vec i+(y_C-4)\vec j\).

Doi vectori sunt egali dacă au coordonatele egale:

\[x_C-4=3,\quad y_C-4=1\ \Rightarrow\ x_C=7,\quad y_C=5.\]

Răspuns: \(C(7,5)\)

Formule utile: Coordonatele vectorilor

Triunghiul \(ADB\) este dreptunghic în \(D\) (\(AD\perp BC\)), deci cu teorema lui Pitagora:

\[BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3.\]

Cu teorema catetei în triunghiul \(ABC\): \(AB^2=BD\cdot BC\), deci

\[BC=\frac{AB^2}{BD}=\frac{36}{3\sqrt3}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.\]

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametru al cercului circumscris, deci \(R\)​\(=\dfrac{BC}{2}\)​\(=2\sqrt3\).

Răspuns: \(R=2\sqrt3\)

Formule utile: Teorema înălțimii și teorema catetei, Teorema lui Pitagora

\(A(1)\)​\(=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}\). Cu regula lui Sarrus:

\[\det\big(A(1)\big)=-1-1-1+1+1+1=0.\]

(Se vede și direct: primele două linii sunt egale.)

Răspuns: \(\det\big(A(1)\big)\)​\(=0\)

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Înmulțim linie cu coloană:

\[A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}xy&xy&xy\\x+y-1&xy&x+y-1\\-x-y+1&-xy&-x-y+1\end{pmatrix}.\]

Scădem \(A(xy)\)​\(=\begin{pmatrix}xy&xy&xy\\1&xy&1\\-1&-xy&-1\end{pmatrix}\):

\[A(x)A(y)-A(xy)=\begin{pmatrix}0&0&0\\x+y-2&0&x+y-2\\-x-y+2&0&-x-y+2\end{pmatrix}\]

\[=(x+y-2)\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}=(x+y-2)A(0),\]

pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Răspuns: \(A(x)A(y)-A(xy)\)​\(=(x+y-2)A(0)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Formule utile: Matrice și determinanți

Din punctul b) cu \(x=-1\), \(y=3\): \(A(-1)A(3)\)​\(=A(-3)+(-1+3-2)A(0)\)​\(=A(-3)\). Aplicând din nou b):

\[A(-1)A(3)A(x)=A(-3)A(x)\]

\[=A(-3x)+(x-5)A(0),\]

pentru orice număr real \(x\). Explicit, \(A(-3x)+(x-5)A(0)\) este

\[\begin{pmatrix}-3x&-3x&-3x\\x-4&-3x&x-4\\-x+4&3x&-x+4\end{pmatrix}.\]

Egalăm cu \(A(y)\)​\(=\begin{pmatrix}y&y&y\\1&y&1\\-1&-y&-1\end{pmatrix}\): din elementul de pe linia 2, coloana 1, \(x-4=1\), deci \(x=5\); din linia 1, \(y=-3x=-15\). Toate celelalte egalități sunt verificate.

Răspuns: \(x=5\), \(y=-15\)

Formule utile: Matrice și determinanți

Pentru \(m=2\): \(f\)​\(=X^4+2X^3-8X^2+6X+2\), deci

\[f(1)=1^4+2\cdot1^3-8\cdot1^2+6\cdot1+2\]

\[f(1)=1+2-8+6+2=3.\]

Răspuns: \(f(1)=3\)

Formule utile: Polinoame

Pentru \(m=0\): \(f\)​\(=X^4+2X^3-8X^2\)​\(=X^2\left(X^2+2X-8\right)\).

Ecuația \(X^2+2X-8=0\) are \(\Delta=4+32=36\), deci rădăcinile \(\dfrac{-2\pm6}{2}\), adică \(2\) și \(-4\). Așadar \(f=X^2(X-2)(X+4)\).

Răspuns: \(x_1=x_2=0\), \(x_3=-4\), \(x_4=2\)

Formule utile: Polinoame, Ecuația de gradul al II-lea

Pentru \(m\) rațional, polinomul \(f\) are coeficienți raționali, deci odată cu \(x_1=1+\sqrt3\) are și rădăcina conjugată \(x_2=1-\sqrt3\). Avem \(x_1+x_2=2\) și \(x_1x_2=1-3=-2\).

Fie \(x_3\), \(x_4\) celelalte rădăcini. Din relațiile lui Viète:

\[x_1+x_2+x_3+x_4=-2\Rightarrow x_3+x_4=-4,\]

\[x_1x_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3x_4=-8\]

\[-2-8+x_3x_4=-8\Rightarrow x_3x_4=2.\]

Ultima relație a lui Viète dă \(x_1x_2x_3x_4=m\), deci \(m=(-2)\cdot2=-4\).

Verificare (de aceea „convine”): relația pentru sumele de câte trei, \(x_1x_2(x_3+x_4)+x_3x_4(x_1+x_2)\)​\(=(-2)(-4)+2\cdot2\)​\(=12\), trebuie să fie egală cu \(-3m=12\) ✓. Într-adevăr, pentru \(m=-4\): \(f\)​\(=\left(X^2-2X-2\right)\left(X^2+4X+2\right)\).

Răspuns: \(m=-4\)

Formule utile: Polinoame — relațiile lui Viète, Radicali

Cu regula câtului:

\[f'(x)=\frac{3e^x\left(x^2+x+1\right)-3e^x(2x+1)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\]

\[f'(x)=\frac{3e^x\left(x^2+x+1-2x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\]

\[f'(x)=\frac{3e^x\left(x^2-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2},\quad x\in\mathbb{R}.\]

Răspuns: \(f'(x)\)​\(=\dfrac{3e^x\left(x^2-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\)

Formule utile: Derivate, calculator derivate

\(f(2x)\)​\(=\dfrac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\), deci

\[\frac{f(2x)}{f(x)}=\frac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\cdot\frac{x^2+x+1}{3e^x}=e^x\cdot\frac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}.\]

\[\lim_{x\to+\infty}\left(e^x\cdot\frac{1+\frac1x+\frac{1}{x^2}}{4+\frac2x+\frac{1}{x^2}}\right)=+\infty,\]

deoarece \(e^x\to+\infty\), iar fracția tinde la \(\frac14\gt0\).

Răspuns: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(2x)}{f(x)}\)​\(=+\infty\)

Formule utile: Limite de funcții, calculator limite

Din a), semnul lui \(f'\) este semnul lui \(x^2-x=x(x-1)\): \(f'(x)=0\iff x=0\) sau \(x=1\).

• pe \((-\infty,0)\): \(f'(x)\gt0\), \(f\) strict crescătoare;
• pe \((0,1)\): \(f'(x)\lt0\), \(f\) strict descrescătoare;
• pe \((1,+\infty)\): \(f'(x)\gt0\), \(f\) strict crescătoare.

Valori și limite: \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\)​\(=0\), \(f(0)=3\), \(f(1)\)​\(=\dfrac{3e}{3}\)​\(=e\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)​\(=+\infty\).

Fie \(m\in(e,3)\) (intervalul are sens, \(e\approx2{,}718\)​\(\lt3\)). Cum \(f\) este continuă și strict monotonă pe fiecare interval:

• pe \((-\infty,0)\), \(f\) ia o singură dată fiecare valoare din \((0,3)\), deci și pe \(m\): o soluție;
• pe \((0,1)\), \(f\) ia o singură dată fiecare valoare din \((e,3)\): o soluție;
• pe \((1,+\infty)\), \(f\) ia o singură dată fiecare valoare din \((e,+\infty)\): o soluție.

În punctele \(0\) și \(1\) avem \(f(0)=3\ne m\), \(f(1)=e\ne m\). Deci ecuația \(f(x)=m\) are exact trei soluții.

Răspuns: Pentru orice \(m\in(e,3)\), ecuația \(f(x)=m\) are exact trei soluții reale.

Formule utile: Aplicații ale derivatelor: monotonie și extreme

\(f(x)-\ln(x+1)=6x\), deci

\[\int_{1}^{2}6x\,dx=3x^2\Big|_{1}^{2}=12-3=9.\]

Răspuns: \(9\)

Formule utile: Integrala definită — Leibniz–Newton, calculator integrale

\(\dfrac{f(x)-6x}{x+1}\)​\(=\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\)​\(=\ln(x+1)\cdot\big(\ln(x+1)\big)'\), deci integrala este de forma \(\int u\,u'\)​\(=\frac{u^2}{2}\):

\[\int_{0}^{e-1}\ln(x+1)\big(\ln(x+1)\big)'dx=\frac{\ln^2(x+1)}{2}\Big|_{0}^{e-1}\]

\[=\frac{\ln^2e}{2}-\frac{\ln^21}{2}=\frac12.\]

Răspuns: \(\dfrac12\)

Formule utile: Tabel de integrale nedefinite

\(g(x)\)​\(=6x^2+\ln\left(x^2+1\right)\)​\(\ge0\) pe \([0,1]\), deci aria este

\[\mathcal{A}=\int_0^1\left|g(x)\right|dx=\int_0^16x^2\,dx+\int_0^1\ln\left(x^2+1\right)dx\]

\[\mathcal{A}=2x^3\Big|_0^1+\int_0^1x'\ln\left(x^2+1\right)dx.\]

Integrăm prin părți a doua integrală:

\[\int_0^1x'\ln\left(x^2+1\right)dx=x\ln\left(x^2+1\right)\Big|_0^1-\int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx\]

\[=\ln2-\int_0^1\left(2-\frac{2}{x^2+1}\right)dx\]

\[=\ln2-2x\Big|_0^1+2\operatorname{arctg}x\Big|_0^1=\ln2-2+\frac{\pi}{2}.\]

Deci \(\mathcal{A}\)​\(=2+\ln2-2+\dfrac{\pi}{2}\)​\(=\dfrac{\pi}{2}+\ln2\). Din \(\dfrac{\pi}{2}+\ln2\)​\(=a\pi+\ln2\) obținem \(a=\dfrac12\).

Răspuns: \(a=\dfrac12\)

Formule utile: Aplicații ale integralei definite (arii), Primitive (integrare prin părți)