Sinus sau cosinus? Când folosești teorema sinusului și a cosinusului

Cum alegi între teorema sinusului și teorema cosinusului? Ambele leagă laturile și unghiurile unui triunghi oarecare $ABC$, cu $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Teorema sinusului spune că ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$ ($R$ este raza cercului circumscris), iar teorema cosinusului că $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Regula practică: dacă știi o latură și unghiul opus ei, folosești teorema sinusului; dacă știi două laturi și unghiul dintre ele sau toate cele trei laturi, folosești teorema cosinusului. Împreună, cele două teoreme „rezolvă” orice triunghi și sunt obligatorii la Bacalaureat, subiectul I.

Teorema sinusului — pe scurt

În orice triunghi $ABC$: ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris. O folosești când cunoști o latură și unghiul opus ei.

Detalii, demonstrație și exemple: Teorema sinusului

Teorema cosinusului — pe scurt

În orice triunghi $ABC$: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$ Echivalent, pentru unghi: $\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$. Pentru $A={90}^{\circ }$ avem $\cos A=0$ și teorema devine teorema lui Pitagora, $a^2=b^2+c^2$ — de aceea i se mai spune și Pitagora generalizată. Semnul lui $\cos A$ dă natura unghiului: pozitiv — ascuțit, zero — drept, negativ — obtuz.

→ Teorema cosinusului — pagina dedicată: demonstrație cu proiecții și cu vectori, natura triunghiului, diagonalele paralelogramului, 4 exemple rezolvate și 6 exerciții cu răspunsuri.

Când folosesc teorema sinusului și când teorema cosinusului?

Alegerea depinde exclusiv de elementele triunghiului pe care le cunoști:

Într-o problemă tipică de Bac cele două teoreme se combină: cu teorema cosinusului afli latura sau unghiul care lipsește, apoi cu teorema sinusului calculezi raza cercului circumscris sau restul unghiurilor. Pentru valorile lui $\sin$ și $\cos$ vezi formulele trigonometrice, pentru cazul particular al unghiului drept vezi triunghiul dreptunghic, iar pentru formulele de arie pagina arii, înălțime, apotemă.

Greșeli frecvente

• Folosirea teoremei sinusului cu o latură și un unghi care nu sunt opuse — verifică întotdeauna perechea latură–unghi opus.
• Semnul din teorema cosinusului: este $-2bc\cos A$; pentru unghiuri obtuze $\cos A<0$ și termenul devine pozitiv de la sine, nu schimba formula.
• Confuzia $2R$ cu $R$: raportul ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}$ este diametrul, nu raza.
• Uitarea celei de-a doua soluții în cazul LLU: dacă $\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, atunci $B$ poate fi ${60}^{\circ }$ sau ${120}^{\circ }$.

Pagini înrudite

• Teorema sinusului — formulă, demonstrație, cazul ambiguu, exemple.
• Teorema cosinusului — formulă, demonstrație, legătura cu Pitagora, exemple.
• Triunghiul dreptunghic — Pitagora, teorema înălțimii și a catetei.
• Formule trigonometrice — valori uzuale și identități.
• Arii, înălțime, apotemă — toate formulele de arie.
• Geometrie și trigonometrie — toate formulele capitolului.

Exersează: fișă de lucru printabilă — aplicații ale trigonometriei în geometrie, clasa a 9-a, cu 17 exerciții și răspunsuri.