Formule trigonometrice — toate formulele, tabel (PDF)

Q: Care este formula fundamentală a trigonometriei?

Este ² x + ² x = 1 , valabilă pentru orice x ∈ ℝ . Din ea se obțin 1 + tg² x = (1)/(² x) și calculul unei funcții când se cunoaște cealaltă.

Q: Cum se calculează sin 2x și cos 2x?

2x = 2 x x , iar 2x = ² x - ² x , care se mai scrie 2² x - 1 sau 1 - 2² x .

Formule

Formulele trigonometrice esențiale pentru Bacalaureat sunt: formula fundamentală $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , definițiile $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ și $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , formulele pentru $\sin (a \pm b)$ și $\cos (a \pm b)$ , formulele unghiului dublu ( $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ ), transformarea sumei în produs și formulele ecuațiilor trigonometrice fundamentale. Mai jos le găsești grupate în tabele, cu reducerea la primul cadran, funcțiile inverse, exemple rezolvate și greșelile frecvente.

Descarcă formulele trigonometrice în PDF (printabil, A4)

Breviar cu formule trigonometrice pe o pagină A4: formula fundamentală, valori uzuale, reducerea la primul cadran, sume și diferențe, unghiul dublu, transformări sumă–produs, funcții inverse și ecuații trigonometrice — Toate formulele trigonometrice pentru liceu și Bacalaureat, pe o singură pagină A4. Gratuit, fără înregistrare.

Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic

În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ (ipotenuza $B C$ ), pentru unghiul ascuțit $B$ :

Funcția	Definiție	În triunghi
$\sin B$	cateta opusă / ipotenuză	$\frac{A C}{B C}$
$\cos B$	cateta alăturată / ipotenuză	$\frac{A B}{B C}$
$tg B$	cateta opusă / cateta alăturată	$\frac{A C}{A B}$
$ctg B$	cateta alăturată / cateta opusă	$\frac{A B}{A C}$

Pentru triunghiuri oarecare se folosesc teorema sinusului și teorema cosinusului.

Formula fundamentală și relațiile dintre funcții

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

Relație	Condiție
$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$	$\cos x \neq 0$
$ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$	$\sin x \neq 0$
$tg x \cdot ctg x = 1$ , deci $tg x = \frac{1}{ctg x}$	$\sin x \cos x \neq 0$
$1 + {tg}^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$	$\cos x \neq 0$
$1 + {ctg}^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x}$	$\sin x \neq 0$

Din formula fundamentală obții $\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} x}$ ; semnul se alege după cadranul în care se află $x$ .

Semne pe cadrane și reducerea la primul cadran

Cadran	$\sin$	$\cos$	$tg, ctg$
I $(0, \frac{π}{2})$	+	+	+
II $(\frac{π}{2}, π)$	+	−	−
III $(π, \frac{3 π}{2})$	−	−	+
IV $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$	−	+	−

Formulele de reducere aduc orice unghi la un unghi din primul cadran:

Unghi	$\sin$	$\cos$	$tg$
$- x$	$- \sin x$	$\cos x$	$- tg x$
$\frac{π}{2} - x$	$\cos x$	$\sin x$	$ctg x$
$π - x$	$\sin x$	$- \cos x$	$- tg x$
$π + x$	$- \sin x$	$- \cos x$	$tg x$
$2 π - x$	$- \sin x$	$\cos x$	$- tg x$

În grade, de exemplu: $\sin (180^{\circ} - α) = \sin α$ și $\cos (180^{\circ} - α) = - \cos α$ . Funcțiile $\sin$ și $\cos$ au perioada $2 π$ , iar $tg$ și $ctg$ au perioada $π$ .

Valori uzuale

$x$	0°	30°	45°	60°	90°	180°
rad	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$\sin$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0
$\cos$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	−1
$tg$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	—	0
$ctg$	—	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	—

Tabelul extins, cu toate unghiurile între 0° și 360°, este la tabelul trigonometric.

Formule pentru suma și diferența unghiurilor

Expresie	Formulă
$\sin (a + b)$	$\sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin (a - b)$	$\sin a \cos b - \cos a \sin b$
$\cos (a + b)$	$\cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos (a - b)$	$\cos a \cos b + \sin a \sin b$
$tg (a + b)$	$\frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b}$
$tg (a - b)$	$\frac{tg a - tg b}{1 + tg a tg b}$

Regula de memorare: la sinus semnul se păstrează, la cosinus semnul se schimbă.

Formulele unghiului dublu și triplu

Se obțin din formulele de mai sus pentru $b = a$ :

Expresie	Formulă
$\sin 2 a$	$2 \sin a \cos a$
$\cos 2 a$	$\cos^{2} a - \sin^{2} a$ $= 2 \cos^{2} a - 1$ $= 1 - 2 \sin^{2} a$
$tg 2 a$	$\frac{2 tg a}{1 - {tg}^{2} a}$
$\sin 3 a$	$3 \sin a - 4 \sin^{3} a$
$\cos 3 a$	$4 \cos^{3} a - 3 \cos a$
$tg 3 a$	$\frac{3 tg a - {tg}^{3} a}{1 - 3 {tg}^{2} a}$

Unghiul pe jumătate și formulele în funcție de $tg \frac{x}{2}$

Din $\cos x = 1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2} = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ rezultă formulele de coborâre a puterii:

Expresie	Formulă
$\sin^{2} \frac{x}{2}$	$\frac{1 - \cos x}{2}$
$\cos^{2} \frac{x}{2}$	$\frac{1 + \cos x}{2}$
$tg \frac{x}{2}$	$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

Substituția universală. Cu notația $t = tg \frac{x}{2}$ (pentru $x \neq π + 2 k π$ ), toate funcțiile se exprimă rațional în $t$ :

$\sin x$	$\cos x$	$tg x$
$\frac{2 t}{1 + t^{2}}$	$\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$	$\frac{2 t}{1 - t^{2}}$

Transformarea sumei în produs

Expresie	Produs
$\sin a + \sin b$	$2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}$
$\sin a - \sin b$	$2 \sin \frac{a - b}{2} \cos \frac{a + b}{2}$
$\cos a + \cos b$	$2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2}$
$\cos a - \cos b$	$- 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$
$tg a \pm tg b$	$\frac{\sin (a \pm b)}{\cos a \cos b}$

Compact: $\sin a \pm \sin b = 2 \sin \frac{a \pm b}{2} \cos \frac{a \mp b}{2}$ .

Transformarea produsului în sumă

Produs	Sumă
$\sin a \cos b$	$\frac{1}{2} [\sin (a + b)$ $+ \sin (a - b)]$
$\sin a \sin b$	$\frac{1}{2} [\cos (a - b)$ $- \cos (a + b)]$
$\cos a \cos b$	$\frac{1}{2} [\cos (a + b)$ $+ \cos (a - b)]$

Funcțiile trigonometrice inverse

Funcțiile inverse dau unghiul „principal” care are o valoare dată:

Funcție	Domeniu	Valori în
$\arcsin$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$\arccos$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$
$arctg$	$R$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
$arcctg$	$R$	$(0, π)$

$\arcsin (- x) = - \arcsin x$ , $arctg (- x) = - arctg x$
$\arccos (- x) = π - \arccos x$ , $arcctg (- x) = π - arcctg x$
$\arcsin x + \arccos x = \frac{π}{2}$ , $arctg x + arcctg x = \frac{π}{2}$

Exemple de valori: $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , $\arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ , $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 π}{4}$ , $arctg 1 = \frac{π}{4}$ , $arctg \sqrt{3} = \frac{π}{3}$ .

Ecuații trigonometrice fundamentale

Ecuația	Soluții, $k \in Z$
$\sin x = a$ , $\| a \| \leq 1$	$x = (- 1)^{k} \arcsin a + k π$
$\cos x = a$ , $\| a \| \leq 1$	$x = \pm \arccos a + 2 k π$
$tg x = a$ , $a \in R$	$x = arctg a + k π$
$ctg x = a$ , $a \in R$	$x = arcctg a + k π$

Dacă $| a | > 1$ , ecuațiile $\sin x = a$ și $\cos x = a$ nu au soluții. Cazuri utile: $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π$ , $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ , $\sin f (x) = \sin g (x)$ dă $f (x) = (- 1)^{k} g (x) + k π$ .

Greșeli frecvente

Semnul după cadran: din $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ rezultă $\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} x}$ ; dacă $x \in (\frac{π}{2}, π)$ , cosinusul este negativ.
„Liniarizarea” funcțiilor: $\sin (a + b) \neq \sin a + \sin b$ și $\sin 2 x \neq 2 \sin x$ .
Semnul de la cosinus: $\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ , cu minus; la $\cos (a - b)$ apare plus.
Soluții pierdute: $\cos x = a$ are două familii de soluții ( $\pm$ ), iar la $tg$ perioada este $k π$ , nu $2 k π$ .
Grade amestecate cu radiani: în ecuații și la funcțiile inverse răspunsul se dă în radiani.

Întrebări frecvente

Care este formula fundamentală a trigonometriei? Este $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , valabilă pentru orice $x \in R$ . Din ea se obțin $1 + {tg}^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$ și calculul unei funcții când se cunoaște cealaltă.

Cum se calculează sin 2x și cos 2x? $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , iar $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ , care se mai scrie $2 \cos^{2} x - 1$ sau $1 - 2 \sin^{2} x$ .

Ce formule trigonometrice trebuie știute pentru Bac? Formula fundamentală, valorile uzuale, reducerea la primul cadran, $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ , unghiul dublu, teoremele sinusului și cosinusului și, la M1, transformările sumă–produs și ecuațiile trigonometrice. Lista completă pe programă este la formule pentru Bacalaureat.

Calculează rapid: calculator trigonometric — sin, cos, tg, ctg pentru orice unghi, valori exacte și reducerea la primul cadran.

Verifică-te: 3 întrebări

Formula pentru $\sin 2 x$ este:

$\sin^{2} x - \cos^{2} x$
$2 \sin x \cos x$
$2 \sin x$

Dacă $\sin x = \frac{3}{5}$ și $x \in (0, \frac{π}{2})$ , cât este $\cos 2 x$ ?

$\frac{7}{25}$
$\frac{24}{25}$
$- \frac{7}{25}$

Cât este $\sin 75^{\circ}$ ?

$\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (o funcție când se cunoaște alta, Bac M2). Știind că $\sin x = \frac{3}{5}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ , calculați $\cos x$ , $tg x$ și $\sin 2 x$ .

Rezolvare: $\cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ . În cadranul II cosinusul este negativ, deci $\cos x = - \frac{4}{5}$ . Atunci $tg x = \frac{3 / 5}{- 4 / 5} = - \frac{3}{4}$ și $\sin 2 x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5})$ $= - \frac{24}{25}$ .

Exemplul 2 (sinusul sumei). Calculați $\sin 75^{\circ}$ .

Rezolvare: $\sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ} + 30^{\circ})$ $= \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Exemplul 3 (unghi dublu). Calculați $E = \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$ .

Rezolvare: $E = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$ $= \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4}$ .

Exemplul 4 (identitate). Arătați că $\frac{1 - \cos 2 x}{\sin 2 x} = tg x$ , pentru $\sin 2 x \neq 0$ .

Rezolvare: $1 - \cos 2 x = 2 \sin^{2} x$ și $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , deci fracția este $\frac{2 \sin^{2} x}{2 \sin x \cos x}$ $= \frac{\sin x}{\cos x} = tg x$ .

Exemplul 5 (sumă în produs). Calculați $\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}$ .

Rezolvare: $2 \sin \frac{75^{\circ} + 15^{\circ}}{2} \cos \frac{75^{\circ} - 15^{\circ}}{2}$ $= 2 \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}$ $= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Exemplul 6 (ecuație fundamentală, Bac M1). Rezolvați ecuația $2 \sin x = 1$ în $R$ și precizați soluțiile din $[0, 2 π)$ .

Rezolvare: $\sin x = \frac{1}{2}$ , deci $x = (- 1)^{k} \arcsin \frac{1}{2} + k π$ $= (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π$ , $k \in Z$ . Pentru $k = 0$ obținem $\frac{π}{6}$ , iar pentru $k = 1$ , $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . Soluțiile din $[0, 2 π)$ sunt $\frac{π}{6}$ și $\frac{5 π}{6}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați $\sin^{2} 17^{\circ} + \cos^{2} 17^{\circ}$ .
Știind că $\cos x = \frac{12}{13}$ , $x \in (0, \frac{π}{2})$ , calculați $\sin x$ și $tg x$ .
Calculați $\cos 75^{\circ}$ .
Știind că $tg x = 2$ , calculați $tg 2 x$ .
Calculați $\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ}$ .
Calculați $\sin 105^{\circ} - \sin 15^{\circ}$ .
Calculați $\arcsin (- \frac{1}{2}) + arctg 1$ .
Rezolvați ecuația $\cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $x \in [0, 2 π)$ .

Răspunsuri

1 (formula fundamentală)
$\sin x = \frac{5}{13}$ , $tg x = \frac{5}{12}$
$\cos (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
$\frac{2 \cdot 2}{1 - 4} = - \frac{4}{3}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2 \sin 45^{\circ} \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$- \frac{π}{6} + \frac{π}{4} = \frac{π}{12}$
$x \in {\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}}$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Formule trigonometrice — toate formulele, tabel complet (PDF)

Formule

Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Formula fundamentală și relațiile dintre funcții

Semne pe cadrane și reducerea la primul cadran

Valori uzuale

Formule pentru suma și diferența unghiurilor

Formulele unghiului dublu și triplu

Unghiul pe jumătate și formulele în funcție de $tg \frac{x}{2}$

Transformarea sumei în produs

Transformarea produsului în sumă

Funcțiile trigonometrice inverse

Ecuații trigonometrice fundamentale

Greșeli frecvente

Întrebări frecvente

Exemple rezolvate

Exerciții propuse

Formule conexe

Formule trigonometrice — toate formulele, tabel complet (PDF)

Formule

Funcțiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic

Formula fundamentală și relațiile dintre funcții

Semne pe cadrane și reducerea la primul cadran

Valori uzuale

Formule pentru suma și diferența unghiurilor

Formulele unghiului dublu și triplu

Unghiul pe jumătate și formulele în funcție de tgx2

Transformarea sumei în produs

Transformarea produsului în sumă

Funcțiile trigonometrice inverse

Ecuații trigonometrice fundamentale

Greșeli frecvente

Întrebări frecvente

Exemple rezolvate

Exerciții propuse

Formule conexe

Unghiul pe jumătate și formulele în funcție de $tg \frac{x}{2}$