Teorema lui Pitagora și relații metrice la Evaluarea Națională — rezolvate

Triunghiul dreptunghic este „motorul” geometriei de la Evaluarea Națională: teorema lui Pitagora, teorema înălțimii, teorema catetei și funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă) se folosesc în grilele de la Subiectul al II-lea, în problemele 4–5 de la Subiectul al III-lea și chiar la problema 3, pentru distanța dintre două puncte în sistemul de axe. Aici găsești 62 de itemi din 20 de variante, 2021–2026, grupați pe tipuri, cu enunțul exact, figura și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$ ($D\in BC$):

• Teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$. Reciproca: dacă $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, triunghiul este dreptunghic în $A$. Triplete utile: $3,4,5$; $5,12,13$; $6,8,10$; $8,15,17$ — teorema lui Pitagora, calculator Pitagora.
• Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC$; teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC$, $A{C}^2=DC\cdot BC$; înălțimea din unghiul drept $AD={\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{BC}}$ — teorema înălțimii și a catetei.
• Mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză: $AM={\displaystyle \frac{BC}{2}}$; cateta opusă unghiului de ${30}^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.
• Funcții trigonometrice: $\sin B={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$, $\cos B={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$, $\mathrm{tg}B={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ (cateta opusă / cateta alăturată) — triunghiul dreptunghic, tabel trigonometric.
• Rezultate gata făcute: diagonala pătratului $d=\ell \sqrt{2}$, înălțimea triunghiului echilateral $h={\displaystyle \frac{\ell \sqrt{3}}{2}}$, distanța dintre două puncte $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ — coordonate în plan.

Exersează cu fișele teorema lui Pitagora și relații metrice și trigonometrie (clasa a VII-a).

Ce tipuri de cerințe apar

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Sinus, cosinus, tangentă în triunghiul dreptunghic

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât ABCD este pătrat, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul arcului mic AD, iar dreptele AD și BM se intersectează în punctul P. a) Arată că $MO=2\sqrt{2}$ cm. b) Demonstrează că tangenta unghiului BPA este egală cu $1+\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată sunt reprezentate rombul ABCD cu măsura unghiului BAD egală cu 45° și triunghiul dreptunghic isoscel ABE cu AB = BE = 10 cm. Punctele C și E sunt de o parte și de alta a dreptei AB. a) Arată că dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AE. b) Arată că tangenta unghiului CAE este egală cu $\sqrt{2}+1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 5 cm și AC = 12 cm. Punctul D aparține segmentului AC astfel încât DC = 3AD. Perpendiculara din punctul D pe dreapta BC intersectează latura BC în punctul E. a) Arată că sinusul unghiului ACB este egal cu $\frac{5}{13}$. b) Arată că lungimea segmentului DE este mai mică decât 3,5 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Distanța dintre două puncte în xOy (Subiectul III, problema 3)

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=3x-6$. a) Arată că $f(1)+f(3)=0$. b) Graficul funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy în punctele A, respectiv B. Calculează lungimea segmentului OM, știind că M este mijlocul segmentului AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{3}{2}x+3$. a) Arată că $f(-1)+f(1)=6$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Arată că distanța de la punctul C(2, 3) la dreapta AB este egală cu $\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 3

În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(10,4)$. a) Arată că $AB=4\sqrt{5}$. b) Determină coordonatele punctului M, situat pe axa Ox, aflat la distanțe egale față de punctele A și B.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2-x$. a) Arată că $f(1)\cdot f(0)=2$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul C(0, −4) la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 3

În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$. a) Arată că AB = 5. b) Calculează distanța de la punctul $M(5,0)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x-1$. a) Arată că $f(0)+f(1)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul $C(-\frac{1}{2},0)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x+2$. a) Arată că $2\cdot f(1)=f(4)$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Determină distanța de la punctul M(4, 0) la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=-x+5$. a) Arată că $f(4)+f(6)=0$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele A, respectiv B. Calculează distanța de la punctul $P(0,-3)$ la dreapta AB.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{3}-1$. a) Arată că $f(3)+f(9)=2$. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele Ox și Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy în punctele M, respectiv N. Calculează distanța de la punctul O la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 3

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x-2$. a) Arată că $f(3)-f(-3)=6$. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, determină distanța de la punctul $C(-2,0)$ la reprezentarea grafică a funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Pitagora, teorema înălțimii și a catetei (grile)

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 4 cm și măsura unghiului C este egală cu 30°. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Perimetrul triunghiului ABM este egal cu:

1. $\sqrt{3}$ cm
2. 6 cm
3. 8 cm
4. $6\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $C$, cu $AB=12$ cm și măsura unghiului $B$ egală cu 30°. Proiecția punctului $C$ pe dreapta $AB$ este punctul $D$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

1. 3 cm
2. $2\sqrt{3}$ cm
3. $3\sqrt{3}$ cm
4. 6 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu m(∢BAC) = 120°. Punctul E aparține segmentului BC, astfel încât CE = 4 cm, iar dreptele AB și AE sunt perpendiculare. Lungimea segmentului BC este egală cu:

1. 16 cm
2. 12 cm
3. 8 cm
4. 6 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu $AD=BD=4\sqrt{2}$ cm. Măsura unghiului ADB este egală cu 90°. Lungimea segmentului CD este egală cu:

1. 4 cm
2. $4\sqrt{2}$ cm
3. $4\sqrt{3}$ cm
4. 8 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 10 cm. Triunghiul echilateral ABC este înscris în acest cerc. Lungimea laturii triunghiului echilateral ABC este egală cu:

1. $10\sqrt{2}$ cm
2. 15 cm
3. $10\sqrt{3}$ cm
4. 20 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $ACB$ egală cu 60°. Semidreapta $CM$ este bisectoarea unghiului $ACB$ și $CM=8$ cm. Lungimea laturii $AB$ este egală cu:

1. $4\sqrt{3}$ cm
2. 8 cm
3. 12 cm
4. $8\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$. Triunghiurile $ADC$ și $ABC$ sunt dreptunghice isoscele, cu $AD=CD$ și $AC=BC$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu 288 cm². Aria triunghiului $ADC$ este egală cu:

1. 72 cm²
2. 144 cm²
3. 288 cm²
4. 576 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 6 cm. Punctele A, B și C aparțin cercului, AC este diametru și măsura unghiului BAC este egală cu 30°. Lungimea coardei BC este egală cu:

1. 6 cm
2. $6\sqrt{3}$ cm
3. 12 cm
4. $8\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AC = 20 cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Măsura unghiului AOB este egală cu 30°. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:

1. 20 cm²
2. 25 cm²
3. 100 cm²
4. 200 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O. Diametrul DB are lungimea egală cu 50 cm. Coarda AC are lungimea egală cu 30 cm și este perpendiculară pe diametrul BD. Dacă E este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD, atunci lungimea segmentului OE este egală cu:

1. 20 cm
2. 15 cm
3. 12 cm
4. 10 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul II, itemul 10

1. 6√2 cm²
2. 12√2 cm²
3. 18√2 cm²
4. 24√2 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu perimetrul egal cu 40 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:

1. 10 cm
2. $10\sqrt{2}$ cm
3. $10\sqrt{3}$ cm
4. 20 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu lungimea laturii de 12 cm. Punctul M se află în interiorul triunghiului ABC, la distanțe egale de laturile triunghiului. Distanța de la punctul M la dreapta BC este egală cu:

1. $4\sqrt{3}$ cm
2. 6 cm
3. 4 cm
4. $2\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 6 cm și măsura unghiului B egală cu 60°. Lungimea segmentului AB este egală cu:

1. $2\sqrt{3}$ cm
2. 3 cm
3. $3\sqrt{2}$ cm
4. $3\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat triunghiul AMB, cu $AB=8\sqrt{2}$ cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu 8 cm. Măsura unghiului AMB este egală cu:

1. 15°
2. 30°
3. 45°
4. 60°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu AB = BD = 12 cm. Punctul M este mijlocul segmentului CD și dreapta BM intersectează dreapta AC în punctul G. Lungimea segmentului AG este egală cu:

1. $12\sqrt{3}$ cm
2. $10\sqrt{3}$ cm
3. $9\sqrt{3}$ cm
4. $8\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC = 10 cm. Punctul A aparține cercului astfel încât măsura arcului mic AC este de 120°. Lungimea segmentului AB este egală cu:

1. 5 cm
2. $5\sqrt{2}$ cm
3. $5\sqrt{3}$ cm
4. 10 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul II, itemul 9

1. 2 cm
2. 4 cm
3. 8 cm
4. 12 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 cm și AC = 6 cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. Lungimea segmentului BM este egală cu:

1. 3 cm
2. 4 cm
3. 5 cm
4. 6 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 2 cm, unde AB și CD sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul C la dreapta AD este egală cu:

1. 2 cm
2. $2\sqrt{2}$ cm
3. $2\sqrt{3}$ cm
4. 4 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul II, itemul 9

1. 3 cm
2. 6 cm
3. 9 cm
4. 12 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Probleme cu relații metrice din Subiectul III

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

Cercul de centru O are raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3 cm. a) Arată că $AM=3\sqrt{3}$ cm. b) Demonstrează că $A{C}^2+B{D}^2=144$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB = AC. Punctul O este mijlocul laturii BC, iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC, astfel încât m(∢BDC) = 90° și m(∢BCD) = 60°. a) Demonstrează că AO = CD. b) Arată că AB = CE, unde punctul E aparține segmentului BD, astfel încât m(∢BCE) = 15°.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 6 cm și BC = 3 cm. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar dreptele AC și DM se intersectează în punctul P. a) Arată că $CP=2\cdot AP$. b) Determină lungimea segmentului MT, unde punctul T este mijlocul segmentului CP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AC, punctul P este proiecția punctului M pe dreapta BC și punctul Q este proiecția punctului P pe dreapta AB. a) Arată că PC = 2 cm. b) Determină aria triunghiului MPQ.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât AB este diametru. Dreptele CD și AB sunt paralele, semidreapta AC este bisectoarea unghiului BAD și $CD=16$ cm. a) Arată că $AD=16$ cm. b) Calculează aria patrulaterului ABCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE, astfel încât punctele D și E sunt situate de aceeași parte a dreptei AC. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 48 cm. a) Arată că perimetrul triunghiului ACE este egal cu $36\sqrt{2}$ cm. b) Arată că distanța de la punctul D la dreapta AE este egală cu $3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ DC, m(∢DAB) = 90°, AB = 8 cm și AD = DC = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului DC și P este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD. a) Arată că $BC=4\sqrt{2}$ cm. b) Calculează aria patrulaterului MPBC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 6 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și punctul M este simetricul punctului A față de punctul G. a) Arată că măsura unghiului ACM este egală cu 90°. b) Bisectoarea unghiului AMC intersectează dreapta AC în punctul T. Arată că aria patrulaterului ABMT este egală cu $10\sqrt{3}$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 8 cm. Punctul T aparține laturii AD, astfel încât măsura unghiului ABT este egală cu 30°. Perpendiculara din punctul A pe dreapta BT intersectează dreptele BT și DC în punctele M, respectiv S. a) Demonstrează că segmentele AT și DS sunt congruente. b) Arată că $DM>2(4-\sqrt{3})$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD și punctul N este proiecția punctului B pe dreapta CM. a) Arată că aria triunghiului MBC este egală cu 50 cm². b) Arată că perimetrul triunghiului MAN este mai mic decât 22 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm. Punctul M se află pe latura AB, BM = 3 cm. Paralela prin M la dreapta AC intersectează dreapta BC în punctul P, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC și E este punctul de intersecție a dreptelor AG și BC. a) Arată că lungimea segmentului BC este egală cu 15 cm. b) Calculează aria patrulaterului MGEP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu $AB=12$ cm și $BC=6$ cm. Bisectoarea unghiului BCD intersectează latura AB în punctul E și diagonala BD în punctul F. a) Arată că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 36 cm. b) Calculează lungimea segmentului AF.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC cu $AB=6$ cm. Punctele B, C și M sunt coliniare și punctul C este mijlocul segmentului BM. Punctul N este proiecția punctului M pe dreapta AC, iar dreapta BC este mediatoarea segmentului AP. a) Arată că lungimea segmentului NC este egală cu 3 cm. b) Demonstrează că punctele M, N și P sunt coliniare.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care CD este diametru. Punctul B aparține cercului astfel încât dreptele BO și CD sunt perpendiculare. Punctul M aparține arcului mic BC, dreptele DM și BO se intersectează în punctul N, DN = 2 · MN și MN = 4 cm. a) Arată că măsura unghiului CMD este egală cu 90°. b) Calculează aria triunghiului DON.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu AB ∥ CD, $AB=2\cdot AD=4$ cm, măsura unghiului BAD egală cu 90° și măsura unghiului ABC egală cu 30°. În exteriorul trapezului se construiesc pătratele ABEF și BCHG. a) Arată că BC = 4 cm. b) Demonstrează că patrulaterul AEGC este trapez isoscel.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 12 cm și BC = 9 cm. Punctul E aparține segmentului AC, astfel încât AE = 10 cm. Prin E se duc dreptele QN și PM paralele cu dreptele AB, respectiv BC. Punctele M, N, P și Q aparțin segmentelor AB, BC, CD și respectiv AD. a) Arată că AC = 15 cm. b) Arată că aria patrulaterului AMEQ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului CNEP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în B, cu $AB=2\sqrt{2}$ cm, $BC=2\sqrt{6}$ cm și triunghiul dreptunghic isoscel AEB cu AE = EB. Punctele E și C sunt de aceeași parte a dreptei AB. a) Arată că perimetrul triunghiului ABC este egal cu $2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})$ cm. b) Calculează distanța de la punctul E la dreapta AC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD și BC = 10 cm. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC și măsura unghiului ABD este egală cu 15°. a) Determină măsura unghiului BCD. b) Arată că $AB-AD<14$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu $AB=9\sqrt{10}$ cm și AC = 30 cm. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Dreptele BC și AM se intersectează în punctul E, iar dreptele OE și CD se intersectează în punctul P. a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu 270 cm². b) Arată că lungimea segmentului SP este egală cu 10 cm, unde S este punctul de intersecție a dreptelor AM și BD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale ABC și CDE, cu AB = 8 cm, CD = 4 cm, iar punctele B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv DE. a) Arată că $CM=2\cdot CN$. b) Aria triunghiului MCN reprezintă p% din aria triunghiului ACD. Determină valoarea lui p.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu AB = AC = 10 cm și m(∢BAC) = 120°. Punctul M este mijlocul segmentului BC și punctul S este simetricul punctului M față de punctul A. a) Arată că $BC=10\sqrt{3}$ cm. b) Demonstrează că distanța de la punctul M la dreapta SC este mai mică decât 7 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu BC = 10 cm, AC = 20 cm și măsura unghiului ACB este egală cu 30°. Punctul D aparține segmentului AC, astfel încât unghiul DBC este congruent cu unghiul BAC. a) Arată că aria triunghiului ABC este egală cu 50 cm². b) Calculează lungimea segmentului CD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu AB = 4 cm și triunghiul echilateral ABP. a) Arată că măsura unghiului DPB este egală cu 45°. b) Demonstrează că $AM=4(2-\sqrt{3})$ cm, unde $\{M\}=AB\cap PD$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, m(∢ABC) = 45° și AD = CD = 10 cm. Paralela prin D la dreapta BC intersectează dreapta AB în punctul R. Dreptele AD și BC se intersectează în punctul T și O este punctul de intersecție a dreptelor TR și AC. a) Arată că punctul R este mijlocul segmentului AB. b) Calculează lungimea segmentului TO.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral CDE cu EC = 6 cm. Dreptele EC și AB se intersectează în punctul P. a) Arată că $CP=4\sqrt{3}$ cm. b) Arată că distanța de la punctul P la dreapta AE este egală cu $\sqrt{2}(3+2\sqrt{3})$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, AG = 4 cm, BG = 3 cm și dreptele AG și BG sunt perpendiculare. a) Arată că perimetrul triunghiului ABG este egal cu 12 cm. b) Determină lungimea segmentului BC.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în punctul P. a) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm. b) Determină lungimea segmentului PQ.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu $AB\parallel CD$, măsura unghiului ADC este egală cu 120° și AD = DC = 6 cm. Dreapta MP este mediatoarea segmentului BC, unde punctul M aparține dreptei AB și punctul P aparține dreptei BC. a) Arată că AB = 12 cm. b) Demonstrează că dreptele DM și MP sunt perpendiculare.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Aplici teorema lui Pitagora cu ipotenuza pe locul greșit: ipotenuza (latura opusă unghiului drept) este cea mai lungă, deci $c^2=B{C}^2-A{B}^2$, nu suma.
• Uiți să extragi radicalul la final sau nu simplifici: $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
• Inversezi sinusul și cosinusul: sinusul unui unghi ascuțit folosește cateta opusă, cosinusul cateta alăturată.
• Folosești teorema înălțimii cu segmente greșite: $A{D}^2=BD\cdot DC$ folosește proiecțiile catetelor pe ipotenuză, nu catetele.
• Presupui că un triunghi este dreptunghic doar pentru că „arată” așa în figură — unghiul drept trebuie să rezulte din enunț sau din reciproca teoremei lui Pitagora.

Alte capitole de Evaluare Națională: Geometrie în spațiu la EN · Ecuații la EN · Funcții la EN · Geometrie plană la EN · Calcul și procente la EN · Numere reale la EN · Rapoarte și proporții la EN · Sisteme de ecuații la EN · Statistică la EN · Arii și perimetre la EN.

Întrebări frecvente

Cât de des apare teorema lui Pitagora la Evaluarea Națională? În practic fiecare variantă: la grilele de geometrie plană (diagonale, înălțimi, laturi în triunghiul dreptunghic), la problemele 4 și 5 de la Subiectul al III-lea și la geometria în spațiu, unde muchiile, apotemele și diagonalele se calculează tot cu Pitagora, în triunghiuri dreptunghice din plane potrivite.

Când folosesc teorema înălțimii și când teorema catetei? Teorema înălțimii (AD² = BD · DC) o folosești când știi proiecțiile catetelor pe ipotenuză și cauți înălțimea. Teorema catetei (AB² = BD · BC) o folosești când știi ipotenuza și proiecția unei catete și cauți cateta, sau invers.

Cum calculez sinusul unui unghi la EN? Încadrezi unghiul într-un triunghi dreptunghic (de multe ori construind o înălțime), calculezi laturile cu teorema lui Pitagora și faci raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză. Pentru 30°, 45° și 60° folosești direct valorile din tabel: 1/2, √2/2, √3/2.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.