Subiectul de rezervă de la Evaluarea Națională 2023 la matematică (clasa a VIII-a, Varianta 5) este varianta de siguranță pregătită pentru proba din 21 iunie 2023: se folosește doar dacă subiectul extras nu poate fi dat, iar după examen ministerul îl publică oficial, cu barem. Are aceeași structură și dificultate ca subiectul de examen, deci este un test suplimentar excelent — mai jos îl găsești rezolvat complet: 12 itemi grilă și 6 probleme din Subiectul al III-lea, pas cu pas, conform baremului. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Ce este subiectul de rezervă? La fiecare probă a Evaluării Naționale, pe lângă varianta extrasă pentru examen, se stabilește și o variantă de rezervă, care ar înlocui subiectul principal în situații excepționale (de exemplu, dacă acesta ar fi compromis). Ea este elaborată de aceeași comisie, după aceeași programă și același model, iar după probă este publicată alături de subiectul dat la examen.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate de Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație — CNPEE) pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Subiecte și bareme EN 2023 (arhiva EN_VIII_2023_Matematica_rezerva.zip (copie arhivată), cu fișierele ENVIII_Matematica_2023_var_05_LRO.pdf și ENVIII_Matematica_2023_bar_05_LRO.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Subiectul dat efectiv la examen îl găsești rezolvat pe pagina Evaluare Națională 2023 matematică — subiectele rezolvate.
Rezolvare: Înmulțirea se efectuează înaintea adunării: \(3 \cdot 5 = 15\), apoi \(2 + 15 = 17\).
Capcana tipică: Dacă aduni întâi (\(2 + 3 = 5\)) și apoi înmulțești cu 5, obții greșit 25.
Rezolvare: Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \(2a = 1 \cdot 3\), deci \(a = \frac{3}{2}\).
Capcana tipică: \(\frac{2}{3}\) se obține dacă împarți invers (\(a = 2 : 3\)).
Rezolvare: Produsul a două numere de semne contrare este negativ: \((-2) \cdot 7 = -14\).
Capcana tipică: −5 și 5 sunt suma, respectiv diferența numerelor, nu produsul lor.
Rezolvare: Numărul are o singură zecimală, deci numitorul este 10: \(2{,}3 = \frac{23}{10}\).
Capcana tipică: \(\frac{23}{9}\) ar fi transformarea fracției periodice \(2{,}(5)\); \(2{,}3\) nu este periodic.
În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la rezultatele obținute de elevii unei clase la un test de matematică.
| Nota | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Număr de elevi | 2 | 1 | 3 | 8 | 6 | 4 | 1 |
Conform informațiilor din tabel, numărul de elevi care au obținut note mai mari sau egale cu 8, la acest test, este egal cu:
Rezolvare: Notele mai mari sau egale cu 8 sunt 8, 9 și 10: \(6 + 4 + 1 = 11\) elevi.
Capcana tipică: 6 este doar numărul elevilor cu nota 8; „mai mari sau egale” include și notele 9 și 10.
Rezolvare: Introducem factorii sub radical: \(a = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}\) și \(b = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}\). Cum \(12 \lt 18\), avem \(a \lt b\), deci afirmația este adevărată.
Capcana tipică: Nu compara doar factorii din fața radicalilor (2 și 3) sau doar numerele de sub radical (3 și 2) — trebuie comparate numerele întregi \(\sqrt{12}\) și \(\sqrt{18}\).
Rezolvare: Simetricul lui B față de E este punctul X pentru care E este mijlocul segmentului BX. Pe rețea, B se află pe verticala lui E, sub E; X trebuie să fie pe aceeași verticală, deasupra lui E, la aceeași distanță (același număr de pătrățele). Acesta este punctul D.
Capcana tipică: A și C sunt simetrice unul față de celălalt față de E, dar nu sunt pe dreapta BE.
Rezolvare: Unghiurile ABC și BCD sunt interne de aceeași parte a secantei BC (A și D sunt de aceeași parte a lui BC), deci sunt suplementare: m(∢ABC) = 180° − 45° = 135°.
Capcana tipică: 45° ar fi răspunsul pentru unghiuri alterne interne; aici A și D sunt de aceeași parte a secantei, deci unghiurile sunt suplementare, nu congruente.
Rezolvare: Punctul egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris, care în triunghiul echilateral coincide cu centrul de greutate. Înălțimea este \(h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) cm, iar distanța de la M la BC este o treime din înălțime: \(\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) cm.
Capcana tipică: \(4\sqrt{3}\) cm este distanța de la M la vârful A (două treimi din înălțime), nu la latura BC.
Rezolvare: \(AB = 4 \cdot 20 = 80\) cm. Linia mijlocie este semisuma bazelor: \(\frac{80 + 20}{2} = 50\) cm.
Capcana tipică: 80 cm este baza mare AB, iar 100 cm este suma bazelor (uitând împărțirea la 2).
Rezolvare: Unghiul la centru AOB are măsura arcului cuprins: m(∢AOB) = 46°. Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB = raza), deci m(∢BAO) = \(\frac{180° - 46°}{2}\) = 67°.
Capcana tipică: 23° este jumătate din arc — așa s-ar calcula un unghi înscris, dar ∢BAO nu este înscris în cerc (are o latură prin centru, nu două coarde).
Rezolvare: Tetraedrul are 6 muchii, iar la tetraedrul regulat toate sunt egale cu 6 cm: \(6 \cdot 6 = 36\) cm.
Capcana tipică: 18 cm este perimetrul unei singure fețe (3 muchii); 24 cm ar corespunde unui număr greșit de 4 muchii.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Cele 7 triunghiuri au \(7 \cdot 3 = 21\) de laturi, iar cele \(25 - 7 = 18\) patrulatere au \(18 \cdot 4 = 72\) de laturi. În total sunt \(21 + 72 = 93\) de laturi, iar \(93 \ne 90\), deci nu este posibil.
b) Notăm cu \(a\) numărul elevilor care au desenat un triunghi și cu \(b\) numărul celor care au desenat un patrulater:
\[a + b = 25, \quad 3a + 4b = 91.\]Din prima relație \(3a + 3b = 75\); scăzând din a doua obținem \(b = 91 - 75 = 16\). Așadar 16 elevi au desenat un patrulater (și 9 un triunghi: \(27 + 64 = 91\)).
a) \((x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2\), pentru orice număr real \(x\).
b) Aducem paranteza la numitorul comun \(x(x+1)(x+2)\):
\[\frac{(x+1)(x+2) + 2x(x+2) - 3x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}\]\[= \frac{x^2 + 3x + 2 + 2x^2 + 4x - 3x^2 - 3x}{x(x+1)(x+2)}\]\[= \frac{4x + 2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}.\]Folosind punctul a), împărțirea devine înmulțire cu inversa:
\[E(x) = \frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)} \cdot \frac{(x+1)(x+2)}{2x+1} = \frac{2}{x}.\]Atunci \(N = \frac{1}{E(n)} = \frac{n}{2}\). Cum \(n\) este număr natural par, nenul, \(\frac{n}{2}\) este număr natural, deci N este natural.
a) \(f(3) = 1 - 1 = 0\) și \(f(9) = 3 - 1 = 2\), deci \(f(3) + f(9) = 0 + 2 = 2\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 3\), deci \(M(3, 0)\); \(f(0) = -1\), deci \(N(0, -1)\). Triunghiul MON este dreptunghic în O, cu OM = 3 și ON = 1, deci \(MN = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
Distanța de la O la grafic este înălțimea OP din vârful unghiului drept (\(OP \perp MN\), \(P \in MN\)):
\[OP = \frac{OM \cdot ON}{MN} = \frac{3 \cdot 1}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.\]a) CM este mediană, deci și înălțime, în triunghiul echilateral ABC: \(CM = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) cm. Analog, CN este înălțime în triunghiul echilateral CDE: \(CN = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) cm. Deci \(CM = 2 \cdot CN\).
b) CM și CN sunt și bisectoare, deci m(∢BCM) = m(∢DCN) = 30° și m(∢MCN) = 180° − 30° − 30° = 120°. Totodată m(∢ACD) = 180° − 60° = 120°, deci ∢MCN ≡ ∢ACD. În plus
\[\frac{CM}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{CN}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2},\]deci \(\triangle MCN \sim \triangle ACD\) (cazul LUL), cu raportul de asemănare \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare:
\[\frac{\mathcal{A}_{MCN}}{\mathcal{A}_{ACD}} = \frac{3}{4} = \frac{75}{100},\]deci p = 75.
a) Triunghiul ABC este isoscel, iar AM este mediană, deci și înălțime și bisectoare: \(AM \perp BC\) și m(∢CAM) = 60°. În triunghiul AMC, dreptunghic în M:
\[\sin 60° = \frac{CM}{AC} \Rightarrow CM = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm},\]deci \(BC = 2 \cdot CM = 10\sqrt{3}\) cm.
b) \(AM = AC \cdot \cos 60° = 5\) cm, iar S este simetricul lui M față de A, deci \(SM = 2 \cdot AM = 10\) cm. Triunghiul SMC este dreptunghic în M (S, A, M coliniare și \(AM \perp BC\)):
\[SC^2 = SM^2 + MC^2 = 100 + 75 = 175 \Rightarrow SC = 5\sqrt{7} \text{ cm}.\]Fie \(MT \perp SC\), \(T \in SC\). Distanța cerută este înălțimea din unghiul drept:
\[MT = \frac{SM \cdot MC}{SC} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{5\sqrt{7}} = \frac{10\sqrt{21}}{7} \text{ cm}.\]Comparăm cu 7: \(\frac{10\sqrt{21}}{7} \lt 7 \Leftrightarrow 10\sqrt{21} \lt 49 \Leftrightarrow 2100 \lt 2401\), adevărat. Deci \(MT \lt 7\) cm (\(MT \approx 6{,}55\) cm).
a) \(\mathcal{V} = AB \cdot BC \cdot AA' = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot 4 = 16\sqrt{3}\) cm³.
b) Fața ABB′A′ este dreptunghi, deci diagonalele ei se înjumătățesc: fie \(\{O\} = A'B \cap AB'\); O este mijlocul segmentului A′B.
În triunghiul A′BC, O este mijlocul lui A′B și M este mijlocul lui BC, deci OM este linie mijlocie: \(OM \parallel A'C\).
Dar \(O \in AB'\) și \(M\) aparțin planului (MAB′), deci \(OM \subset (MAB')\). Dreapta A′C nu este conținută în plan și este paralelă cu o dreaptă din plan, deci \(A'C \parallel (MAB')\).
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.4, I.6 | Ordinea operațiilor, proporții, numere întregi, fracții zecimale, compararea radicalilor | Radicali · Fracții |
| I.5 | Citirea datelor dintr-un tabel | Media aritmetică |
| III.1 | Probleme rezolvate cu sisteme / ecuații | Procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice, descompuneri | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, distanța de la origine la grafic | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Simetrie, unghiuri cu paralele, triunghiul echilateral, linia mijlocie în trapez, unghiul la centru, asemănare, triunghiul dreptunghic | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · fișă asemănare |
| II.6, III.6 | Tetraedrul regulat, paralelipipedul dreptunghic, dreaptă paralelă cu un plan | Paralelipipedul dreptunghic |
Din același an: subiectul de examen EN 2023 rezolvat și modelul EN 2023 rezolvat. Alte subiecte de rezervă rezolvate: rezerva EN 2024, rezerva EN 2025, rezerva EN 2026. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Ce este subiectul de rezervă la Evaluarea Națională 2023 la matematică? Este varianta oficială de siguranță (Varianta 5), pregătită pentru proba de matematică din 21 iunie 2023 și folosită doar dacă subiectul principal nu poate fi dat. După probă a fost publicată de minister, împreună cu baremul, pe subiecte.edu.ro.
Este subiectul de rezervă mai ușor sau mai greu decât cel de la examen? Are aceeași structură (Subiectul I și Subiectul II cu câte 6 itemi grilă, Subiectul III cu 6 probleme cu punctele a) de 2 puncte și b) de 3 puncte) și același nivel de dificultate, pentru că ar trebui să poată înlocui oricând subiectul principal. De aceea este unul dintre cele mai bune teste de exersare.
Cum se punctează subiectul de rezervă EN 2023? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral. Se adaugă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din subiectul de rezervă EN 2023? Subiectul I: 1c, 2c, 3a, 4b, 5c, 6a. Subiectul II: 1d, 2c, 3d, 4b, 5c, 6d — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE (din 2025 Ministerul Educației și Cercetării / CNCE), preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.