Probleme de geometrie în spațiu la Evaluarea Națională — Subiectul III rezolvat
La Evaluarea Națională de matematică, ultima problemă din Subiectul al III-lea (de obicei problema 6, 5 puncte: a) 2 puncte și b) 3 puncte) este aproape mereu de geometrie în spațiu: cub, paralelipiped, prismă sau piramidă, cu volume, arii, distanțe de la un punct la un plan și unghiuri. Aici sunt toate cele 10 probleme de geometrie în spațiu din subiectele oficiale rezolvate pe site (2023–2027: examen, rezervă și modele), cu enunțul exact, figura și link direct la rezolvarea pas cu pas.
Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi
- Cubul de latură \(\ell\): \(V=\ell^3\), \(A_t=6\ell^2\), diagonala feței \(\ell\sqrt2\), diagonala cubului \(\ell\sqrt3\) — cubul.
- Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile \(a\), \(b\), \(c\): \(V=abc\), \(A_t=2(ab+bc+ac)\), \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) — paralelipipedul dreptunghic.
- Prisma dreaptă: \(A_\ell=P_b\cdot h\), \(V=A_b\cdot h\) — prisma regulată.
- Piramida regulată: \(A_\ell=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}\), \(V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}\), iar apotema piramidei, înălțimea și apotema bazei verifică \(a_p^2=h^2+a_b^2\) — piramida regulată.
- Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan; se arată perpendicularitatea cu teorema celor trei perpendiculare și se calculează lungimea dintr-un triunghi dreptunghic (de exemplu, ca înălțime: produsul catetelor împărțit la ipotenuză) — dreapta perpendiculară pe plan.
- Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan; dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul are \(90^\circ\).
Toate formulele de arii și volume sunt adunate pe pagina arii și volume; poți verifica rezultatele cu calculatorul de arii și volume și exersa pe fișa cu probleme tip EN de geometrie în spațiu.
Ce corpuri și ce cerințe apar
| Corpul / cerința | Nr. | Unde apare |
|---|---|---|
| Cub | 5 | model 2026, 2025 rezervă, model 2025, 2024 rezervă, model 2023 |
| Paralelipiped dreptunghic | 2 | model 2024, 2023 rezervă |
| Prismă | 1 | 2026 examen |
| Piramidă / tetraedru | 1 | 2026 rezervă |
| Alte configurații în spațiu | 1 | model 2027 |
| Volum | 5 | 2026 rezervă, model 2025, 2024 rezervă, 2023 rezervă, model 2023 |
| Arie (laterală, totală, a unei secțiuni) | 3 | 2026 examen, model 2026, model 2024 |
| Distanța de la un punct la un plan | 4 | 2026 examen, model 2026, model 2025, 2024 rezervă |
| Distanța dintre două plane sau drepte | 1 | model 2027 |
| Unghiuri, sinus, cosinus, tangentă | 6 | model 2027, 2026 rezervă, model 2026, 2025 rezervă, model 2024, 2023 rezervă |
| Paralelism și perpendicularitate | 4 | model 2027, model 2024, 2023 rezervă, model 2023 |
Problemele, de la cele mai noi la cele mai vechi
Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale. Rezolvă singur întâi, apoi verifică pe pagina subiectului, unde găsești și restul variantei (grile și celelalte probleme).
Model Evaluare Națională 2027 (oficial) — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD, cu AB = 12 cm și măsura unghiului ADC egală cu 60°. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, iar dreapta VO este perpendiculară pe planul (ABC), VO = 6 cm. Punctele M, N și P sunt situate pe segmentele VA, VD, respectiv VO astfel încât \(\frac{VM}{VA} = \frac{2}{3}\), DN = 4 cm și \(PO = \frac{VP}{2}\). a) Arată că lungimea segmentului OD este egală cu \(6\sqrt{3}\) cm. b) Determină distanța dintre planele (MNP) și (ABC).
Evaluare Națională 2026 — subiectul de examen — Problema 6
Prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ are baza pătratul ABCD, AB = 4 cm și \(AA' = 4\sqrt{2}\) cm. a) Calculează aria laterală a prismei. b) Arată că distanța de la punctul A′ la planul (C′BD) este egală cu \(\frac{8\sqrt{10}}{5}\) cm.
Evaluare Națională 2026 — subiectul de rezervă — Problema 6
În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCD, cu baza ABCD, VA = AB = 12 cm. Punctul M este mijlocul muchiei VA, iar punctul N este proiecția punctului M pe planul (ABC). a) Arată că volumul piramidei VABCD este egal cu \(288\sqrt{2}\) cm³. b) Determină tangenta unghiului dintre dreapta MN și planul (VAD).
Model Evaluare Națională 2026 (oficial) — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 8\) cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AD, DC, respectiv DD′. a) Arată că aria triunghiului MNP este egală cu \(8\sqrt{3}\) cm². b) Arată că distanța de la punctul D′ la planul (MNP) este egală cu \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.
Evaluare Națională 2025 — subiectul de rezervă — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul P este mijlocul segmentului C′C. a) Arată că lungimea segmentului CM este egală cu \(2\sqrt{5}\) cm. b) Arată că măsura unghiului dreptelor BO și MP este egală cu 60°, unde \(A'C' \cap B'D' = \{O\}\).
Model Evaluare Națională 2025 (oficial) — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH cu \(AB = 6\) cm. Punctele M și N sunt mijloacele muchiilor AE și DH. a) Arată că volumul cubului ABCDEFGH este egal cu 216 cm³. b) Calculează distanța de la punctul H la planul (CMN).
Evaluare Națională 2024 — subiectul de rezervă — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Calculează volumul cubului ABCDA′B′C′D′. b) Determină distanța de la punctul O la planul (CMD), unde punctul M este mijlocul segmentului A′B′.
Model Evaluare Națională 2024 (oficial) — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = AA′ = 4 cm și BC = 2 cm. a) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ este egală cu 64 cm². b) Arată că dreapta NP este paralelă cu planul (ACD′), unde punctul N este proiecția punctului C′ pe dreapta B′D′ și punctul P este proiecția punctului C′ pe dreapta CB′.
Evaluare Națională 2023 — subiectul de rezervă — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′, cu \(AB = 2\sqrt{3}\) cm, BC = 2 cm și AA′ = 4 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC. a) Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ este egal cu \(16\sqrt{3}\) cm³. b) Demonstrează că dreapta A′C este paralelă cu planul (MAB′).
Model Evaluare Națională 2023 (oficial) — Problema 6
În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu D′C′ = 6 cm. a) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu 216 cm³. b) Demonstrează că dreapta OO′ este perpendiculară pe planul (A′D′C), unde \(\{O\} = AC \cap BD\) și \(\{O'\} = BC' \cap B'C\).
Alte capitole de examen: Integrale la Bac (III.2) · Derivate la Bac (III.1) · Matrice și determinanți la Bac (II.1).
Întrebări frecvente
Ce problemă de geometrie în spațiu se dă la Evaluarea Națională? De obicei ultima problemă din Subiectul al III-lea: un cub, un paralelipiped dreptunghic, o prismă sau o piramidă regulată. La punctul a) se cere un calcul direct (volum, arie, lungime), iar la b) o demonstrație sau un calcul mai greu: distanța de la un punct la un plan, un unghi sau o relație de paralelism ori perpendicularitate.
Cum calculez distanța de la un punct la un plan la EN? Construiești perpendiculara din punct pe plan și justifici perpendicularitatea (de obicei cu teorema celor trei perpendiculare sau arătând că dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente din plan). Lungimea o afli dintr-un triunghi dreptunghic, cu teorema lui Pitagora sau ca înălțime: produsul catetelor împărțit la ipotenuză.
Câte puncte valorează problema de geometrie în spațiu? Fiecare problemă din Subiectul al III-lea valorează 5 puncte din 90 (2 puncte la a) și 3 puncte la b)), adică o jumătate de punct din nota finală. Se acordă și punctaje parțiale pentru pașii corecți, iar orice rezolvare corectă primește punctajul maxim.
← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a
Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.