Test 6 antrenament EN 2022 matematică

Test 6 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 8 − 6 : 2 este egal cu:

−5
−1
1
5 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se face înaintea scăderii: $6 : 2 = 3$ , apoi $8 - 3 = 5$ .

Capcana tipică: Dacă scazi întâi obții $(8 - 6) : 2 = 1$ , greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul natural care reprezintă 10% din 1000 este egal cu:

1
10
100 ✓ răspuns corect
990

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{10}{100} \cdot 1000 = 100$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Soluția ecuației 4 − x = 6 este:

−10
−2 ✓ răspuns corect
2
24

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $4 - x = 6 \Rightarrow x = 4 - 6 = - 2$ .

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Din setul de numere 3,(21); 32,1; 3,21; 3,2(1) cel mai mic număr este:

3,21 ✓ răspuns corect
3,(21)
3,2(1)
32,1

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $3, (21) = 3,212 1 \dots$ , $3, 2 (1) = 3,211 1 \dots$ , 3,21 și 32,1. Cel mai mic este 3,21.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi Dan, Mihai, Ana și Miruna, calculează media geometrică a numerelor reale a = 6 − 2√5 și b = 6 + 2√5 și au obținut rezultatele: Dan = 4, Mihai = 6, Ana = 12, Miruna = 16. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

Dan ✓ răspuns corect
Mihai
Ana
Miruna

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $m_{g} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{(6 - 2 \sqrt{5}) (6 + 2 \sqrt{5})} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4$ . Corect a calculat Dan.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Răspunsurile primite în urma unui sondaj de opinie privind folosirea unui produs de curățenie în gospodărie sunt înregistrate în diagrama alăturată (Întotdeauna: 150, Deseori: 130, Ocazional: 120, Niciodată: 100 de răspunsuri). Numărul persoanelor care au răspuns la acest chestionar este egal cu:

100
150
400
500 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Se adună numerele de răspunsuri din diagramă: $150 + 130 + 120 + 100 = 500$ de persoane.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat unghiul propriu AOB și punctele M, N, P, Q, R și S. Punctele care se află în interiorul unghiului AOB sunt:

N, S și P
M, R și Q
S, P și Q ✓ răspuns corect
A, N și B

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Un punct este în interiorul unghiului AOB dacă se află între laturile OA și OB. Conform figurii, acestea sunt S, P și Q.

Capcana tipică: Punctele situate pe laturile unghiului sau în exteriorul lui nu sunt în interior.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare AOB și BOC, iar ∠AOB = 2·∠BOC. Semidreapta OD este opusă semidreptei OB. Măsura unghiului COD este egală cu:

180°
120° ✓ răspuns corect
60°
30°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢AOB) + m(∢BOC) = 180° și m(∢AOB) = 2 · m(∢BOC), deci m(∢BOC) = 60°. OD este opusă lui OB, deci m(∢COD) = 180° − 60° = 120°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC care are perimetrul egal cu 48 cm. Punctul M aparține segmentului BC, astfel încât perimetrul triunghiului ABM este egal cu 24 cm și perimetrul triunghiului ACM este egal cu 36 cm. Lungimea segmentului AM este egală cu:

3 cm
6 cm ✓ răspuns corect
12 cm
24 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Adunând perimetrele triunghiurilor ABM și ACM obținem perimetrul lui ABC plus 2 · AM: $24 + 36 = 48 + 2 \cdot A M$ , deci AM = 6 cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD. Dreptele AC și BD se intersectează în punctul O. Măsura unghiului DOC este egală cu:

30°
45°
60°
90° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci m(∢DOC) = 90°.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, pe cercul de centru O, sunt reprezentate punctele A, B și C. Unghiurile AOB, BOC și AOC sunt congruente. Măsura arcului mic AB este egală cu:

60°
90°
120° ✓ răspuns corect
180°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cele trei unghiuri la centru congruente acoperă tot cercul: $360 ° : 3 = 120 °$ . Măsura arcului mic AB este egală cu măsura unghiului la centru AOB, adică 120°.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABC, AB = 2 cm și BB' = 4 cm. Aria laterală a prismei ABCA'B'C' este egală cu:

8 cm²
18 cm²
24 cm² ✓ răspuns corect
32 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A_{ℓ} = P_{A B C} \cdot B B^{'} = 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ cm².

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 6), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Laura cheltuiește o sumă de bani în trei zile. În prima zi cheltuiește

\frac{1}{2}

din sumă, în a doua zi cheltuiește

\frac{1}{3}

din suma rămasă, iar în a treia zi cheltuiește restul de 100 de lei. a) Verifică dacă Laura cheltuiește în prima zi mai mult decât cheltuiește în a doua zi. Justifică răspunsul dat. b) Determină ce sumă a cheltuit Laura în cele trei zile.

Vezi rezolvarea

a) Notăm cu $x$ suma cheltuită în cele trei zile. În prima zi Laura cheltuiește $\frac{1}{2} x$ , iar în a doua zi $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x = \frac{1}{6} x$ . Cum $\frac{1}{2} > \frac{1}{6}$ , da, Laura cheltuiește mai mult în prima zi.

\frac{x}{2} + \frac{x}{6} + 100 = x \Rightarrow 3 x + x + 600 = 6 x \Rightarrow 2 x = 600,

deci $x = 300$ . Laura a cheltuit 300 de lei (150 + 50 + 100).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = 3 (x - 2) (x + 2) - (x - 3)^{2} - 9 (x - 1) + 3,

unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = (x - 3) (2 x + 3)

, pentru orice număr real

x

. b) Determină numărul natural

n

pentru care

E (n)

este număr prim.

Vezi rezolvarea

a) $E (x) = 3 (x^{2} - 4) - (x^{2} - 6 x + 9) - 9 x + 9 + 3 = 2 x^{2} - 3 x - 9$ , iar $(x - 3) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 = 2 x^{2} - 3 x - 9$ , deci $E (x) = (x - 3) (2 x + 3)$ , pentru orice număr real $x$ .

b) $E (n) = (n - 3) (2 n + 3)$ . Pentru $n \leq 3$ , $E (n) \leq 0$ , deci nu este prim; pentru $n > 3$ , ambii factori sunt naturali, iar $2 n + 3 > 1$ . Un număr prim are ca divizori doar pe 1 și pe el însuși, deci trebuie ca $n - 3 = 1$ (varianta $2 n + 3 = 1$ dă $n = - 1$ , care nu este natural). Obținem $n = 4$ , iar $E (4) = 1 \cdot 11 = 11$ , număr prim.

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 3 x - 6

. a) Calculează

f (2) \cdot f (3)

. b) În sistemul de axe ortogonale xOy se consideră punctul M(m, 0) și punctele A și B care sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției

f

cu axele Ox, respectiv Oy. Află valorile numărului

m

pentru care aria triunghiului ABM este egală cu 6.

Vezi rezolvarea

a) $f (2) = 0$ , deci $f (2) \cdot f (3) = 0 \cdot f (3) = 0$ .

b) $A (2, 0)$ și $B (0, - 6)$ . Punctele A și M sunt pe axa Ox, iar înălțimea din B a triunghiului ABM este BO = 6:

A_{A B M} = \frac{A M \cdot B O}{2} = 6 \Rightarrow A M = 2.

$A M = | m - 2 | = 2$ , deci $m = 4$ sau $m = 0$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu m(∢BAC) = 90°, m(∢ABC) = 60° și AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC, iar punctul P este mijlocul segmentului AM. a) Arată că AM = 6 cm. b) Determină distanța de la punctul P la dreapta BC.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu m(∢ACB) = 30°, deci $B C = 2 \cdot A B = 12$ cm. AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei: $A M = \frac{B C}{2} = 6$ cm.

b) AB = BM = AM = 6 cm, deci triunghiul AMB este echilateral și m(∢AMB) = 60°. Ducem $P Q ⊥ B M$ , $Q \in B M$ . În triunghiul PMQ, dreptunghic în Q, m(∢MPQ) = 30° și PM = 3 cm, deci $Q M = \frac{P M}{2} = \frac{3}{2}$ cm și

P Q = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} cm = d (P, B C) .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 8 cm, AD = 6 cm și O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Punctul E este mijlocul segmentului OD, iar punctul F este mijlocul segmentului CO. a) Determină lungimea segmentului EF. b) Determină aria trapezului DEFC.

Vezi rezolvarea

a) EF este linie mijlocie în triunghiul COD, deci $E F = \frac{C D}{2} = \frac{A B}{2} = 4$ cm.

b) $E F ∥ C D$ , deci $△ O E F \sim △ O D C$ , cu raportul $\frac{O E}{O D} = \frac{1}{2}$ : $\frac{A_{O E F}}{A_{O D C}} = \frac{1}{4}$ .

$A_{O D C} = \frac{A_{A D C}}{2} = \frac{A D \cdot D C}{4} = 12$ cm², deci $A_{O E F} = 3$ cm² și

A_{D E F C} = A_{O D C} - A_{O E F} = 12 - 3 = 9 {cm}^{2} .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB = 12 cm. a) Determină măsura unghiului AB′C. b) Determină distanța de la punctul B la planul (AB′C).

Vezi rezolvarea

a) AB′, B′C și AC sunt diagonale ale unor fețe ale cubului: $A B^{'} = B^{'} C = A C = 12 \sqrt{2}$ cm. Triunghiul AB′C este echilateral, deci m(∢AB′C) = 60°.

b) Fie ${O} = A C \cap B D$ . $A C ⊥ B D$ și $A C ⊥ B B^{'}$ , cu $B D \cap B B^{'} = {B}$ , deci $A C ⊥ (B B^{'} O)$ . Ducem $B Q ⊥ B^{'} O$ , $Q \in B^{'} O$ ; cum $B Q \subset (B B^{'} O)$ , $A C ⊥ B Q$ , deci $B Q ⊥ (A B^{'} C)$ și d(B, (AB′C)) = BQ.

În triunghiul BB′O, dreptunghic în B: $B O = 6 \sqrt{2}$ cm, BB′ = 12 cm, $B^{'} O = \sqrt{144 + 72} = 6 \sqrt{6}$ cm, deci

B Q = \frac{B B^{'} \cdot B O}{B^{'} O} = \frac{12 \cdot 6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{6}} = 4 \sqrt{3} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 6 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională