Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională 2025 (clasa a VIII-a, an școlar 2024–2025), publicat de Ministerul Educației în noiembrie 2024, rezolvat complet: cei 12 itemi grilă din Subiectul I și Subiectul II, plus cele 6 probleme din Subiectul III, pas cu pas, conform baremului oficial. Este primul model cu noua structură a probei (grile la Subiectele I și II). Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2025 (arhiva EN_VIII_2025_Matematica_model.zip, cu fișierele ENVIII_Matematica_2025_var_model.pdf și ENVIII_Matematica_2025_bar_model.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore.
Rezolvare: În paranteză, înmulțirea se face înaintea adunării: \(2 \cdot 5 = 10\), apoi \(40 + 10 = 50\). La final: \(50 : 5 = 10\).
Capcana tipică: Dacă ignori paranteza și calculezi \(40 + 2 \cdot 5 : 5 = 40 + 2\), obții greșit 42.
Rezolvare: Din proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \(3x = 9 \cdot 2 = 18\), deci \(x = 6\). Verificare: \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
Capcana tipică: \(\frac{27}{2}\) apare dacă inversezi fracția \(\frac{2}{3}\) și calculezi \(9 \cdot \frac{3}{2}\).
Rezolvare: Reuniunea \(A \cup B\) conține toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi, fiecare scris o singură dată: \(A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}\).
Capcana tipică: \(\{2, 4\}\) este intersecția \(A \cap B\), iar \(\{0, 1, 3, 5\}\) este diferența \(A \setminus B\). Varianta c) omite elementul 0.
Rezolvare: Împărțim: \(5 : 6 = 0{,}8333\ldots\) — după cifra 8, restul 2 se repetă la nesfârșit și dă mereu cifra 3. Deci \(\frac{5}{6} = 0{,}8(3)\), fracție zecimală periodică mixtă.
Capcana tipică: 0,83 este doar o aproximare, iar 0,(83) = 0,8383… este alt număr (perioada este doar cifra 3).
Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor \(a = \sqrt{3^2 + 4^2}\) și \(b = 45\). Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Alina | Bogdan | Corina | Dan |
|---|---|---|---|
| 15 | 25 | 26 | 50 |
Rezultatul corect a fost obținut de către:
Rezolvare: \(a = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). Media aritmetică: \(m_a = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25\). Rezultatul corect l-a obținut Bogdan.
Capcana tipică: Corina a scris greșit \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4 = 7\) (radicalul nu se „împarte” pe sumă), iar Dan a adunat numerele fără să împartă la 2. Vezi media aritmetică.
Rezolvare: Comparăm \(11\) cu \(5\sqrt{5}\) introducând factorii sub radical: \(11 = \sqrt{121}\) și \(5\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{125}\). Cum \(121 \lt 125\), avem \(11 \lt 5\sqrt{5}\), deci \(a \lt 0\). Enunțul este fals.
Capcana tipică: Cu aproximarea grosieră \(\sqrt{5} \approx 2\) obții \(11 - 10 = 1 \gt 0\); de fapt \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\), iar \(5\sqrt{5} \approx 11{,}18\). Vezi radicali.
Rezolvare: M este mijlocul lui AB, deci \(AB = 2 \cdot AM = 4\) cm. Apoi \(AC = 2 \cdot 4 = 8\) cm și \(AD = 2 \cdot 8 = 16\) cm. Cum M se află între A și D: \(MD = AD - AM = 16 - 2 = 14\) cm.
Capcana tipică: 16 cm este lungimea lui AD; segmentul cerut începe din M, nu din A.
Rezolvare: Semidreapta OA se află în interiorul unghiului drept BOC (C și B sunt de o parte și de alta a dreptei AD), deci m(∢AOB) = m(∢BOC) − m(∢AOC) = 90° − 30° = 60°. Unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplementare (A, O, D coliniare): m(∢BOD) = 180° − 60° = 120°.
Capcana tipică: 150° este măsura unghiului COD (suplementul lui AOC), nu a lui BOD.
Rezolvare: CM este bisectoare, deci m(∢ACM) = 30°. În triunghiul ACM, dreptunghic în A, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: \(AM = 8 : 2 = 4\) cm, iar \(AC = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) cm. În triunghiul ABC, m(∢B) = 30°, deci \(BC = 2 \cdot AC = 8\sqrt{3}\) cm și \(AB^2 = BC^2 - AC^2\) \(= 192 - 48 = 144\), deci \(AB = 12\) cm.
Capcana tipică: \(4\sqrt{3}\) cm este lungimea lui AC, iar \(8\sqrt{3}\) cm a lui BC; se cere cealaltă catetă, AB.
Rezolvare: În triunghiul ABC (dreptunghic isoscel, catetele AC = BC): \(\frac{AC^2}{2} = 288\), deci \(AC^2 = 576\), \(AC = 24\) cm. În triunghiul ADC, AC este ipotenuză, iar catetele sunt \(AD = CD = \frac{AC}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}\) cm. Aria: \(\frac{AD^2}{2} = \frac{288}{2} = 144\) cm².
Capcana tipică: AC este catetă în triunghiul ABC, dar ipotenuză în triunghiul ADC — de aceea ariile nu sunt egale (288 cm² este capcana).
Rezolvare: O ∈ AB, deci AB este diametru, iar semicercul ACDB are 180°. Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente: arcul AC = arcul BD = 40°. Rămâne arcul CD = 180° − 40° − 40° = 100°. Unghiul COD este unghi la centru, deci m(∢COD) = 100°.
Capcana tipică: 40° este arcul BD; 80° este suma arcelor AC și BD, nu arcul CD.
Rezolvare: Tetraedrul regulat are 4 fețe triunghiuri echilaterale congruente, cu latura 4 cm. Aria unei fețe: \(\frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm². Aria totală: \(4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\) cm².
Capcana tipică: \(4\sqrt{3}\) cm² este aria unei singure fețe; aria totală le cuprinde pe toate patru.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Notăm cu \(x\) lungimea pistei. În prima zi s-au construit \(\frac{30}{100} \cdot x\). Au rămas \(\frac{70}{100} \cdot x\), iar în a doua zi s-au construit \(\frac{60}{100} \cdot \frac{70}{100} \cdot x = \frac{42}{100} \cdot x\). Cum \(\frac{42x}{100} \gt \frac{30x}{100}\), în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi.
b) În a treia zi echipa a construit \(\frac{42x}{100} - 7\) km. Suma celor trei zile este toată pista:
\[\frac{30x}{100} + \frac{42x}{100} + \frac{42x}{100} - 7 = x.\]Înmulțim cu 100: \(114x - 700 = 100x\), deci \(14x = 700\), de unde \(x = 50\) km. Verificare: 15 km + 21 km + 14 km = 50 km. Vezi și procente.
a) \(x^2 + x - 12 = x^2 - 3x + 4x - 12\) \(= x(x-3) + 4(x-3)\) \(= (x-3)(x+4)\), pentru orice număr real \(x\).
b) Aducem paranteza la numitorul comun \((x-3)(x+4)\):
\[\frac{(x+4)^2 - (x-3)^2 + 49}{(x-3)(x+4)}.\]La numărător: \((x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 6x + 9) + 49\) \(= 14x + 56 = 14(x+4)\). Împărțirea la \(\frac{7}{x-3}\) înseamnă înmulțirea cu \(\frac{x-3}{7}\):
\[E(x) = \frac{14(x+4)}{(x-3)(x+4)} \cdot \frac{x-3}{7}\]\[E(x) = \frac{14x+56}{7(x+4)} = 2,\]pentru orice \(x \ne -4\), \(x \ne 3\). Suma are 8 termeni (\(E(2), E(4), \ldots, E(16)\)), fiecare egal cu 2: \(N = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\), număr natural.
a) \(f(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0\), deci \(f(3) \cdot f(2025) = 0 \cdot f(2025) = 0\) (nu e nevoie să calculăm \(f(2025)\)).
b) Pe Ox: \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 3\), deci \(A(3, 0)\). Pe Oy: \(f(0) = -6\), deci \(B(0, -6)\). Simetricul lui A față de O este \(M(-3, 0)\), deci \(AM = 2 \cdot AO = 6\). Segmentul AM este pe axa Ox, iar distanța de la B la Ox este \(OB = 6\):
\[\mathcal{A}_{\triangle ABM} = \frac{AM \cdot OB}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18.\]Vezi funcția de gradul I.
a) \(P_{ABCD} = 2(AB + BC)\) \(= 2(12 + 6) = 36\) cm.
b) CE este bisectoarea unghiului drept BCD, deci m(∢BCE) = 45°, iar triunghiul BCE este dreptunghic isoscel: \(BE = BC = 6\) cm, deci \(AE = 12 - 6 = 6\) cm = BE. Așadar E este mijlocul lui AB și CE este mediană în triunghiul ABC.
Fie \(AC \cap BD = \{O\}\); O este mijlocul lui AC, deci BO este tot mediană în triunghiul ABC. Cum \(BO \cap CE = \{F\}\), punctul F este centrul de greutate al triunghiului ABC. Dreapta AF intersectează BC în mijlocul său, Q, cu \(BQ = 3\) cm. În triunghiul ABQ, dreptunghic în B:
\[AQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{153},\]deci \(AQ = 3\sqrt{17}\) cm. Centrul de greutate se află la două treimi din mediană, de la vârf:
\[AF = \frac{2}{3} \cdot AQ = 2\sqrt{17} \text{ cm}.\](În baremul oficial mijlocul lui BC este notat M; ultimul rând al baremului scrie din greșeală „AM = \(2\sqrt{17}\) cm” în loc de AF = \(2\sqrt{17}\) cm.)
a) C este mijlocul lui BM, deci \(CM = BC = 6\) cm. Unghiurile ACB și MCN sunt opuse la vârf, deci m(∢MCN) = m(∢ACB) = 60°. În triunghiul MNC, dreptunghic în N, m(∢CMN) = 30°, deci cateta opusă este jumătate din ipotenuză: \(CN = \frac{CM}{2} = 3\) cm.
b) Fie \(AP \cap BC = \{Q\}\). Cum CQ este mediatoarea segmentului AP, obținem \(CP = CA = 6\) cm și m(∢PCQ) = m(∢ACQ) = 60°. Atunci m(∢NCP) = 180° − m(∢PCQ) − m(∢ACQ) = 60° (A, C, N coliniare), deci ∢NCP ≡ ∢NCM. Triunghiurile CPN și CMN au \(CP = CM = 6\) cm, ∢NCP ≡ ∢NCM și latura CN comună, deci sunt congruente (LUL). Rezultă m(∢CNP) = m(∢CNM) = 90°, iar m(∢MNP) = m(∢CNM) + m(∢CNP) = 180°, adică punctele M, N și P sunt coliniare.
a) \(V = AB^3 = 6^3 = 216\) cm³.
b) Fie Q mijlocul segmentului GC. Atunci \(HN = QC = 3\) cm și HN ∥ QC, deci HNCQ este paralelogram și HQ ∥ NC. Cum NC ⊂ (MNC), rezultă HQ ∥ (MNC), deci \(d(H, (MNC)) = d(Q, (MNC))\).
Fie R piciorul perpendicularei din Q pe NC (QR ⊥ NC, R ∈ NC). MN ∥ AD ∥ BC și BC ⊥ (DCG), deci MN ⊥ (DCG); cum QR ⊂ (DCG), avem MN ⊥ QR. Dreapta QR este perpendiculară pe două drepte concurente din plan (MN și CN, cu \(MN \cap CN = \{N\}\)), deci QR ⊥ (MNC) și \(d(Q, (MNC)) = QR\).
Triunghiul NQC este dreptunghic în Q, cu \(NQ = 6\) cm, \(QC = 3\) cm și \(NC = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}\) cm. Înălțimea din unghiul drept:
\[QR = \frac{NQ \cdot QC}{NC} = \frac{6 \cdot 3}{3\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \text{ cm}.\]Deci \(d(H, (CMN)) = \frac{6\sqrt{5}}{5}\) cm. Vezi dreapta perpendiculară pe plan.
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.4 | Ordinea operațiilor, proporții, mulțimi, fracții periodice | Fracții |
| I.5–I.6 | Media aritmetică, compararea radicalilor | Media aritmetică · Radicali |
| III.1 | Procente, ecuații | Procente · calculator procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, arii în reper | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Unghiuri, triunghiul dreptunghic, patrulatere, cerc, centrul de greutate | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · Aria triunghiului |
| II.6, III.6 | Tetraedrul regulat, cubul, distanța de la un punct la un plan | Piramida triunghiulară regulată · Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan |
După model, verifică-te pe subiectele reale din același an: EN 2025 — Simulare rezolvată și EN 2025 — Examen rezolvat. Vezi și modelele oficiale din anii următori: Model EN 2026 rezolvat și Model EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Când a fost publicat modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2025 la matematică? Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) a publicat modelul de subiect și baremul la începutul lunii noiembrie 2024, pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2025.
Cum arată structura subiectului EN 2025 la matematică? Modelul are trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I și Subiectul II conțin câte 6 itemi grilă (încercuiești litera corectă), iar Subiectul III conține 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu punctele a) și b). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.
Cum se punctează grilele din modelul EN 2025? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte — se punctează doar rezultatul, fără punctaje intermediare. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din modelul EN 2025? Subiectul I: 1b, 2b, 3d, 4c, 5b, 6b. Subiectul II: 1c, 2a, 3c, 4b, 5d, 6d — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026) · Calculator medie admitere liceu
Subiect și barem © Ministerul Educației (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație). Sursă: subiecte.edu.ro (Modele de subiecte EN 2025). Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.