Geometrie plană la Evaluarea Națională — triunghi, patrulatere, cerc rezolvate

Geometria plană valorează aproape o treime din nota de la Evaluarea Națională: Subiectul al II-lea are cinci grile de geometrie plană (segmente, unghiuri, triunghi, patrulatere, cerc), iar la Subiectul al III-lea problemele 4 și 5 cer calcule și demonstrații pe triunghiuri, patrulatere sau cerc. Pe site sunt rezolvați 230 de itemi de geometrie plană din variantele oficiale (2021–2027); aici găsești 35 de itemi din 5 variante, 2026–2027, grupați pe tipuri, cu enunțul exact, figura și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Unghiuri: unghiurile adiacente suplementare au suma ${180}^{\circ }$, cele complementare ${90}^{\circ }$, unghiurile opuse la vârf sunt congruente, iar suma unghiurilor în jurul unui punct este ${360}^{\circ }$. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente.
• Triunghiul: suma unghiurilor este ${180}^{\circ }$; aria $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{b\cdot h}{2}}$; în triunghiul dreptunghic $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (teorema lui Pitagora), mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză, iar cateta opusă unghiului de ${30}^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză; centrul de greutate se află pe fiecare mediană la $\frac{2}{3}$ de vârf — aria triunghiului, teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și a catetei, teorema lui Thales.
• Patrulatere: ${\mathcal{A}}_{\text{dreptunghi}}=L\cdot l$, ${\mathcal{A}}_{\text{pătrat}}={\ell }^2$ (diagonala $\ell \sqrt{2}$), ${\mathcal{A}}_{\text{paralelogram}}=b\cdot h$, ${\mathcal{A}}_{\text{romb}}={\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}}$, ${\mathcal{A}}_{\text{trapez}}={\displaystyle \frac{(B+b)\cdot h}{2}}$, iar linia mijlocie a trapezului este ${\displaystyle \frac{B+b}{2}}$ — patrulatere, arii.
• Cercul: lungimea $L=2\pi r$, aria discului $\mathcal{A}=\pi r^2$; unghiul la centru are măsura arcului cuprins între laturi, unghiul înscris are jumătate din măsura arcului, iar unghiul înscris într-un semicerc este drept — cercul: lungime și arie.

Poți verifica rezultatele cu calculatorul teorema lui Pitagora și calculatorul aria triunghiului și exersa cu fișele patrulatere și cercul.

Ce tipuri de cerințe apar

Pe site există în total 230 de itemi de acest tip (2021–2027). Mai jos sunt cei din variantele 2026–2027; ceilalți 195 de itemi îi găsești rezolvați în variantele: EN 2025, examen (7), EN 2025, subiect de rezervă (7), Simulare EN 2025 (7), Model EN 2025 (7), EN 2024, examen (7), EN 2024, subiect de rezervă (7), Simulare EN 2024 (7), Model EN 2024 (7), EN 2023, examen (7), EN 2023, subiect de rezervă (7), Simulare EN 2023 (7), Model EN 2023 (7), EN 2022, examen (7), Simulare EN 2022 (7), Test 1 de antrenament, EN 2022 (7), Test 2 de antrenament, EN 2022 (7), Test 3 de antrenament, EN 2022 (7), Test 4 de antrenament, EN 2022 (7), Test 5 de antrenament, EN 2022 (7), Test 6 de antrenament, EN 2022 (7), EN 2021, examen (7), Simulare EN 2021 (7), Test 1 de antrenament, EN 2021 (7), Test 2 de antrenament, EN 2021 (7), Test 3 de antrenament, EN 2021 (6), Test 4 de antrenament, EN 2021 (7), Test 5 de antrenament, EN 2021 (7), Test 6 de antrenament, EN 2021 (7).

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Puncte, segmente și unghiuri

Model EN 2027 — Subiectul II, itemul 7

Punctele M, N, P, Q și R sunt coliniare, în această ordine, astfel încât MN = NP = PQ = QR. Simetricul punctului M față de punctul P este punctul:

1. N
2. P
3. Q
4. R

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2027 — Subiectul II, itemul 8

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele AB și CD. Punctele B și C sunt de o parte și de alta a dreptei DA. Dreapta DA este perpendiculară pe dreapta AC și măsura unghiului ADC este egală cu 35°. Măsura unghiului CAB este egală cu:

1. 55°
2. 90°
3. 125°
4. 145°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 7

Punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 1 cm și AD = 6 cm. Punctul C este mijlocul segmentului AD. Lungimea segmentului BC este egală cu:

1. 5 cm
2. 3 cm
3. 2 cm
4. 1 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 8

Dreptele AB și CD sunt paralele. Punctele E, A și C sunt coliniare, în această ordine, iar punctele B și D sunt situate de o parte și de alta a dreptei AC. Măsura unghiului DCA este egală cu 80°. Măsura unghiului EAB este egală cu:

1. 110°
2. 100°
3. 90°
4. 80°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 7

În figura alăturată, punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine. Dacă AB = 2 cm, $CD=2\cdot AB$ și AD = 9 cm, atunci lungimea segmentului BC este egală cu:

1. 3 cm
2. 5 cm
3. 6 cm
4. 7 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 8

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente AOB, BOC și COA. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului AOB și semidreapta OE este bisectoarea unghiului DOB. Măsura unghiului EOC este egală cu:

1. 60°
2. 90°
3. 120°
4. 150°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 7

Punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât BC este jumătate din AB, iar CD este jumătate din BC. Dacă BC = 4 cm, atunci AD este:

1. 20 cm
2. 14 cm
3. 12 cm
4. 7 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 8

Unghiurile adiacente suplementare AOC și COB au suma 180°. OM este bisectoarea unghiului AOC, iar măsura unghiului MOB este 145°. Măsura unghiului BOC este:

1. 35°
2. 70°
3. 105°
4. 110°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 7

În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $CD=3$ cm, $BD=3\cdot CD$ și $AD=3\cdot BD$. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

1. 27 cm
2. 24 cm
3. 21 cm
4. 18 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 8

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $AOC$ și $COB$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, iar măsura unghiului $MOC$ este egală cu 35°. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

1. 35°
2. 70°
3. 110°
4. 145°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Triunghiul

Model EN 2027 — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC și BC = 12 cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu 32 cm. Lungimea segmentului AB este egală cu:

1. 8 cm
2. 10 cm
3. 12 cm
4. 20 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 9

În triunghiul ABC, punctul D este mijlocul segmentului BC și punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC. Aria triunghiului DGC este egală cu 15 cm². Aria triunghiului ABC este egală cu:

1. 30 cm²
2. 45 cm²
3. 60 cm²
4. 90 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 4 cm și măsura unghiului C este egală cu 30°. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Perimetrul triunghiului ABM este egal cu:

1. $\sqrt{3}$ cm
2. 6 cm
3. 8 cm
4. $6\sqrt{3}$ cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 9

Triunghiul isoscel ABC are AB = AC și unghiul BAC = 36°. Punctul M este pe AC astfel încât AM = BM. Măsura unghiului MBC este:

1. 18°
2. 36°
3. 54°
4. 72°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 9

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $C$, cu $AB=12$ cm și măsura unghiului $B$ egală cu 30°. Proiecția punctului $C$ pe dreapta $AB$ este punctul $D$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

1. 3 cm
2. $2\sqrt{3}$ cm
3. $3\sqrt{3}$ cm
4. 6 cm

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Patrulatere: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez

Model EN 2027 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB = 20 cm, AD = 10 cm și m(∢BAD) = 45°. Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

1. $50\sqrt{2}$ cm²
2. 100 cm²
3. $100\sqrt{2}$ cm²
4. 200 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 10

Paralelogramul ABCD are diagonala BD perpendiculară pe latura BC și BD · BC = 12 cm². Aria paralelogramului ABCD este egală cu:

1. 6 cm²
2. 12 cm²
3. 18 cm²
4. 24 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD, cu AB ∥ CD și AD = BC = DC. Măsura unghiului DAC este egală cu 20°. Măsura unghiului ABC este egală cu:

1. 20°
2. 30°
3. 40°
4. 60°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 10

În pătratul ABCD cu AB = 4 cm, M este mijlocul laturii BC. Dreptele AM și DC se intersectează în punctul P. Aria triunghiului ABP este:

1. 3 cm²
2. 4 cm²
3. 8 cm²
4. 16 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 10

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria egală cu 96 cm². Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AD$. Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

1. 12 cm²
2. 24 cm²
3. 48 cm²
4. 72 cm²

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Cercul

Model EN 2027 — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O. Punctele A, B și C sunt situate pe cerc, astfel încât arcele mici AB, BC și AC au măsuri egale. Măsura unghiului ABC este egală cu:

1. 30°
2. 60°
3. 90°
4. 120°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul II, itemul 11

Pe cercul de centru O sunt situate punctele A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AC este diametru și măsura unghiului BDC este egală cu 40°. Măsura unghiului BCA este egală cu:

1. 40°
2. 50°
3. 60°
4. 80°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, înscris în cercul de centru O. Dacă măsura unghiului ABO este egală cu 30°, atunci măsura unghiului ACB este egală cu:

1. 30°
2. 60°
3. 90°
4. 120°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul II, itemul 11

Cercul de centru O are diametrul AB. Punctele C și D sunt pe cerc astfel încât CD ∥ AB și măsura unghiului BOC este 60°. Măsura unghiului BAD este:

1. 30°
2. 60°
3. 90°
4. 120°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul II, itemul 11

În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, iar $AB$ și $CD$ sunt diametre. Arcul $AD$ are măsura egală cu 52°. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

1. 26°
2. 30°
3. 52°
4. 60°

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Probleme de geometrie plană din Subiectul III (demonstrații și calcule)

Model EN 2027 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 9 cm și BC = 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele laturilor CD, BC, respectiv AD. Dreapta AM intersectează dreapta CP în punctul G. a) Demonstrează că punctul G aparține dreptei BD. b) Demonstrează că lungimea segmentului GN este egală cu $\sqrt{37}$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2027 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD, cu AB ∥ CD, CD = 4 cm, AD = 6 cm, iar punctul M aparține segmentului AB, astfel încât dreapta DM să fie perpendiculară pe dreapta AD și AM = 12 cm. a) Determină măsura unghiului DAB. b) Determină lungimea segmentului BM, știind că aria trapezului ABCD este egală cu $\frac{57\sqrt{3}}{2}$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 4

Cercul de centru O are raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3 cm. a) Arată că $AM=3\sqrt{3}$ cm. b) Demonstrează că $A{C}^2+B{D}^2=144$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, examen — Subiectul al III-lea, problema 5

Paralelogramul ABCD are AB = 10 cm și AD = 8 cm. Punctele M, N și T sunt mijloacele segmentelor BC, CD, respectiv AB, iar Q este punctul de intersecție a dreptelor BN și AM. a) Calculează perimetrul patrulaterului ATND. b) Calculează valoarea raportului $\frac{AQ}{QM}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu AB = AC. Punctul O este mijlocul laturii BC, iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC, astfel încât m(∢BDC) = 90° și m(∢BCD) = 60°. a) Demonstrează că AO = CD. b) Arată că AB = CE, unde punctul E aparține segmentului BD, astfel încât m(∢BCE) = 15°.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 6 cm și BC = 3 cm. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar dreptele AC și DM se intersectează în punctul P. a) Arată că $CP=2\cdot AP$. b) Determină lungimea segmentului MT, unde punctul T este mijlocul segmentului CP.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât ABCD este pătrat, cu AB = 4 cm. Punctul M este mijlocul arcului mic AD, iar dreptele AD și BM se intersectează în punctul P. a) Arată că $MO=2\sqrt{2}$ cm. b) Demonstrează că tangenta unghiului BPA este egală cu $1+\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AC, punctul P este proiecția punctului M pe dreapta BC și punctul Q este proiecția punctului P pe dreapta AB. a) Arată că PC = 2 cm. b) Determină aria triunghiului MPQ.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 4

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât AB este diametru. Dreptele CD și AB sunt paralele, semidreapta AC este bisectoarea unghiului BAD și $CD=16$ cm. a) Arată că $AD=16$ cm. b) Calculează aria patrulaterului ABCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul al III-lea, problema 5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD cu $AB=15$ cm. Punctul M aparține segmentului AB, astfel încât $AM=AD=\frac{2}{3}AB$. a) Arată că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 50 cm. b) Știind că distanța de la punctul D la dreapta AB este egală cu 8 cm și că dreapta DM intersectează dreapta BC în punctul N, calculează aria triunghiului NCD.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Confunzi unghiul înscris cu unghiul la centru: unghiul înscris care cuprinde un arc de ${120}^{\circ }$ are ${60}^{\circ }$, nu ${120}^{\circ }$.
• Calculezi aria rombului ca produs al diagonalelor, fără împărțirea la 2, sau aria trapezului cu linia mijlocie înmulțită cu o latură oblică în loc de înălțime.
• Aplici teorema lui Pitagora într-un triunghi care nu este dreptunghic — verifică întâi unde este unghiul drept.
• La aria unui triunghi folosești ca înălțime o latură care nu este perpendiculară pe bază.
• Scrii rezultatul fără unitatea de măsură corectă (cm pentru lungimi, cm² pentru arii).

Alte capitole de Evaluare Națională: Ecuații și inecuații la EN · Funcții la EN · Calcul, procente și probabilități la EN · Geometrie în spațiu la EN.

Întrebări frecvente

Ce geometrie plană se dă la Evaluarea Națională? La Subiectul al II-lea sunt cinci grile, de obicei în ordinea: puncte și segmente, unghiuri, triunghi, patrulater și cerc. La Subiectul al III-lea, problemele 4 și 5 sunt de geometrie plană, cu un calcul la a) și o demonstrație sau un calcul mai greu la b) — perpendicularitate, paralelism, coliniaritate, arii sau lungimi.

Ce teoreme trebuie să știu pentru geometria plană la EN? Cele mai folosite sunt teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și a catetei, teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor, proprietățile liniei mijlocii, ale medianei în triunghiul dreptunghic și ale centrului de greutate, plus formulele de arii pentru triunghi și patrulatere și relațiile dintre unghiuri și arce în cerc.

Cum se punctează o demonstrație de geometrie la Subiectul III? Punctajul se acordă pe pași: pentru construcția sau observația corectă, pentru justificarea fiecărei afirmații (teorema folosită) și pentru concluzie. Chiar dacă nu termini, primești puncte pentru pașii corecți, iar orice altă rezolvare corectă primește punctajul maxim.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.