Teorema înălțimii și teorema catetei — formule, demonstrație, exemple rezolvate

În triunghiul dreptunghic, înălțimea dusă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în două segmente numite proiecțiile catetelor. Teorema înălțimii și teorema catetei leagă aceste proiecții de înălțime și de catete și, împreună cu teorema lui Pitagora, formează setul de relații metrice cerut la Evaluarea Națională. Mai jos găsești enunțurile, demonstrația prin asemănare, un tabel recapitulativ și exemple rezolvate pas cu pas.

Notații și figură

Fie triunghiul $ABC$ cu $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$. Notăm catetele $AB=a$, $AC=b$, ipotenuza $BC=c$ și înălțimea $AD=h$, unde $D\in BC$. Segmentul $BD$ este proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză, iar $DC$ este proiecția catetei $AC$. Evident, $BD+DC=c$.

Teorema înălțimii — enunț

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii duse din vârful unghiului drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză:

O formă echivalentă, foarte utilă în calcule, exprimă înălțimea prin catete și ipotenuză:

Aceasta rezultă direct din cele două exprimări ale ariei: ${\displaystyle \frac{ab}{2}}={\displaystyle \frac{ch}{2}}$, deci $ab=ch$.

Teorema catetei — enunț

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză:

Cu alte cuvinte, $A{B}^2=BC\cdot BD$ și $A{C}^2=BC\cdot DC$. Rețineți: cateta apare la pătrat, iar în partea dreaptă stă ipotenuza întreagă înmulțită cu proiecția aceleiași catete.

Legătura cu teorema lui Pitagora

Dacă adunăm cele două relații din teorema catetei obținem:

Adică exact teorema lui Pitagora. Așadar, teorema catetei este o versiune „mai fină” a lui Pitagora: ea spune nu doar cât fac catetele împreună, ci cum se împarte $c^2$ între cele două catete.

Demonstrație scurtă prin asemănare

Înălțimea $AD$ împarte triunghiul $ABC$ în două triunghiuri dreptunghice mai mici, $DBA$ și $DAC$. Toate trei au câte un unghi drept și mai au în comun câte un unghi ascuțit: $\mathrm{\angle }B$ este comun triunghiurilor $ABC$ și $DBA$, iar $\mathrm{\angle }C$ este comun triunghiurilor $ABC$ și $DAC$. Conform criteriului de asemănare U.U.:

• Din $\mathrm{△}DBA\sim \mathrm{△}DAC$: ${\displaystyle \frac{DB}{DA}}={\displaystyle \frac{DA}{DC}}$, deci $D{A}^2=DB\cdot DC$ — teorema înălțimii.
• Din $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DBA$: ${\displaystyle \frac{AB}{DB}}={\displaystyle \frac{BC}{BA}}$, deci $A{B}^2=BC\cdot BD$ — teorema catetei pentru $AB$.
• Din $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DAC$: ${\displaystyle \frac{AC}{DC}}={\displaystyle \frac{BC}{AC}}$, deci $A{C}^2=BC\cdot DC$ — teorema catetei pentru $AC$.

Aceeași idee de raport între laturi omoloage apare și în teorema lui Thales, care stă la baza asemănării triunghiurilor.

Toate relațiile metrice în triunghiul dreptunghic

Pentru alte formule de arie și înălțime în diferite figuri, vezi pagina arii, înălțimi și apoteme.

Când folosesc care teoremă?

• Cunosc cele două proiecții ($BD$, $DC$) și vreau înălțimea → teorema înălțimii: $h=\sqrt{BD\cdot DC}$.
• Cunosc o catetă și ipotenuza și vreau proiecția → teorema catetei: $BD={\displaystyle \frac{a^2}{c}}$.
• Cunosc ambele catete și vreau înălțimea → mai întâi Pitagora pentru $c$, apoi $h={\displaystyle \frac{ab}{c}}$.
• Cunosc înălțimea și o proiecție → teorema înălțimii dă cealaltă proiecție, apoi $c=BD+DC$ și teorema catetei dă catetele.
• Cunosc doar catetele și ipotenuza → Pitagora (verificare) și aria.

Greșeli frecvente

• Se scrie $h=BD\cdot DC$ în loc de $h^2=BD\cdot DC$. Înălțimea este radical din produs, nu produsul.
• La teorema catetei se înmulțește ipotenuza cu proiecția celeilalte catete. Regula: $A{B}^2=BC\cdot BD$ — cateta $AB$ „merge” cu proiecția $BD$, cea care conține vârful $B$.
• Se aplică teoremele într-un triunghi care nu este dreptunghic sau pentru o înălțime dusă dintr-un vârf ascuțit. Ele sunt valabile doar pentru înălțimea din unghiul drept.
• Se confundă $h={\displaystyle \frac{ab}{c}}$ cu $h={\displaystyle \frac{c}{ab}}$ sau se uită că $c$ este ipotenuza, nu o catetă.

Întrebări frecvente

Teorema înălțimii este valabilă în orice triunghi?
Nu. Relația $h^2=BD\cdot DC$ este adevărată numai în triunghiul dreptunghic, pentru înălțimea dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză.

Pot demonstra Pitagora folosind teorema catetei?
Da. Adunând $a^2=c\cdot BD$ și $b^2=c\cdot DC$ obținem $a^2+b^2=c(BD+DC)=c^2$. Această demonstrație este cerută frecvent în manuale și la Evaluarea Națională.

Care este cea mai rapidă formulă pentru înălțime când știu catetele?
$h={\displaystyle \frac{ab}{c}}$, unde $c=\sqrt{a^2+b^2}$. De exemplu, pentru catetele 3 și 4: $c=5$, $h={\displaystyle \frac{12}{5}}=2,4$. Poți exersa astfel de calcule pe platforma evaluare.matepenet.ro.

Calculează rapid: calculator teorema lui Pitagora — ipotenuza sau cateta cu radical simplificat, înălțimea, proiecțiile și reciproca, pas cu pas.

Exersează: fișă de lucru printabilă — relații metrice și trigonometrie, clasa a 7-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.