Test 4 antrenament EN 2021 matematică

Test 4 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 0, 2, 4 și 15, numărul prim este:

0
2 ✓ răspuns corect
4
15

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Un număr prim are exact doi divizori naturali, 1 și el însuși. 2 este prim; 0 și 4 nu sunt prime, iar $15 = 3 \cdot 5$ .

Capcana tipică: 2 este singurul număr prim par.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul de manuale din biblioteca școlii: Mate_V = 280, Mate_VI = 200, Mate_VII = 250, Mate_VIII = 270. Tipul manualului care reprezintă un sfert din totalul manualelor de matematică pentru gimnaziu din biblioteca școlii este:

Mate_V
Mate_VI
Mate_VII ✓ răspuns corect
Mate_VIII

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Totalul manualelor: $280 + 200 + 250 + 270 = 1000$ . Un sfert înseamnă $1000 : 4 = 250$ , adică Mate_VII.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

După o scumpire cu 20%, prețul unui produs a crescut cu 12 lei. Prețul inițial al produsului este:

240 lei
120 lei
72 lei
60 lei ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Creșterea de 12 lei reprezintă 20% din prețul inițial $p$ : $\frac{20}{100} \cdot p = 12$ , deci $p = 60$ de lei.

Capcana tipică: 72 de lei este prețul după scumpire, nu prețul inițial.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 1/2⁴, 1/2⁷, 1/2³ și 1/2⁸, cel mai mare este:

1/2⁸
1/2⁷
1/2⁴
1/2³ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Toate fracțiile au numărătorul 1, deci cea mai mare este cea cu numitorul cel mai mic: $2^{3} = 8$ . Răspuns: $\frac{1}{2^{3}}$ .

Capcana tipică: Exponentul mai mare înseamnă numitor mai mare, deci fracție mai mică.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Cătălin, Nicolae, Anastasia și Ana, au calculat suma numerelor a și b, știind că a² − b² = 12 și a − b = 4. Rezultatele obținute sunt: Cătălin = 48, Nicolae = 16, Anastasia = 4, Ana = 3. Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

Cătălin
Nicolae
Anastasia
Ana ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , deci $12 = 4 \cdot (a + b)$ și $a + b = 3$ . Rezultatul corect l-a obținut Ana.

Capcana tipică: 48 = 12 · 4 apare dacă înmulțești în loc să împarți.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Suma numerelor întregi din intervalul [−2, 3] este egală cu:

0
3 ✓ răspuns corect
5
9

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele întregi din $[- 2, 3]$ sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, iar suma lor este 3 (−2 și 2, −1 și 1 se reduc).

Capcana tipică: Capetele intervalului închis se iau în calcul.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, punctele A, B, C și D, în această ordine, sunt coliniare. Dacă punctul B este mijlocul segmentului AC, punctul C este mijlocul segmentului AD și BC = 3 cm, atunci lungimea segmentului AD este egală cu:

15 cm
12 cm ✓ răspuns corect
6 cm
3 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: B este mijlocul lui AC, deci $A C = 2 \cdot B C = 6$ cm; C este mijlocul lui AD, deci $A D = 2 \cdot A C = 12$ cm.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, unghiurile AOB, BOC și COA sunt unghiuri în jurul punctului O, măsura unghiului AOB este de 120° și măsura unghiului BOC este de 130°. Măsura unghiului AOC este de:

140°
130°
120°
110° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile în jurul unui punct au suma 360°: $360^{\circ} - 120^{\circ} - 130^{\circ} = 110^{\circ}$ .

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, punctul M este mijlocul ipotenuzei BC, AB = 4 cm și măsura unghiului ACB este de 30°. Lungimea segmentului AM este egală cu:

2 cm
4 cm ✓ răspuns corect
8 cm
12 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: În triunghiul dreptunghic ABC, cateta AB se opune unghiului de 30°, deci $B C = 2 \cdot A B = 8$ cm. Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $A M = 4$ cm.

Capcana tipică: 8 cm este ipotenuza BC, nu mediana.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat un paralelogram ABCD, punctul O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD, iar AO + DO = 8 cm. Suma lungimilor segmentelor AC și BD este egală cu:

4 cm
8 cm
12 cm
16 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc: AC = 2 · AO și BD = 2 · DO. Atunci $A C + B D = 2 (A O + D O) = 2 \cdot 8 = 16$ cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, AB este diametru în cercul de centru O, AB = 8 cm. Lungimea cercului este egală cu:

64π cm
16π cm
8π cm ✓ răspuns corect
4π cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Raza cercului este $r = \frac{A B}{2} = 4$ cm, iar lungimea cercului este $L = 2 π r = 8 π$ cm.

Capcana tipică: 16π este aria discului ( $π r^{2}$ ), nu lungimea cercului.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului dintre dreptele BC' și DD' este de:

30°
45° ✓ răspuns corect
60°
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $D D^{'} ∥ C C^{'}$ , deci ∢(BC′, DD′) = ∢(BC′, CC′) = ∢BC′C. Triunghiul BCC′ este dreptunghic isoscel (BC = CC′), deci m(∢BC′C) = 45°.

Capcana tipică: Dreptele BC′ și DD′ nu se intersectează; unghiul lor se măsoară după o paralelă.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 4 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Împărțind, pe rând, numărul natural

n

la 12 și la 18, se obțin resturile 7, respectiv 13. a) Numărul natural

n

poate fi egal cu 103? Justifică răspunsul dat. b) Arată că cel mai mic număr natural

n

cu această proprietate este 31.

Vezi rezolvarea

a) $103 = 12 \cdot 8 + 7$ (rest 7) și $103 = 18 \cdot 5 + 13$ (rest 13), deci da, $n$ poate fi 103.

b) Din $n = 12 c_{1} + 7$ rezultă $n + 5 = 12 (c_{1} + 1)$ , iar din $n = 18 c_{2} + 13$ rezultă $n + 5 = 18 (c_{2} + 1)$ . Deci $n + 5$ este multiplu nenul comun al lui 12 și 18. Cel mai mic astfel de multiplu este $[12, 18] = 36$ , deci cel mai mic $n$ este $36 - 5 = 31$ (verificare: $31 = 12 \cdot 2 + 7 = 18 \cdot 1 + 13$ ).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (3 x + 4)^{2} - (2 x + 1)^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (1) + E (- 1) = 40

. b) Demonstrează că

E (n)

este multiplu al lui 5, pentru orice număr natural

n

Vezi rezolvarea

a) $E (1) = 7^{2} - 3^{2} = 49 - 9 = 40$ și $E (- 1) = 1^{2} - (- 1)^{2} = 0$ , deci $E (1) + E (- 1) = 40$ .

b) Cu formula $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

E (n) = (3 n + 4 - 2 n - 1) \cdot

(3 n + 4 + 2 n + 1)

= (n + 3) (5 n + 5)

= 5 (n + 3) (n + 1) .

Pentru $n$ natural, $(n + 3) (n + 1)$ este natural, deci $E (n)$ este multiplu al lui 5.

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele reale

x = (\frac{8}{\sqrt{18}} + \frac{6}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

și

y = (\frac{5}{\sqrt{147}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) : \frac{\sqrt{3}}{14} .

a) Arată că

x = \frac{2}{3}

. b) Arată că numărul

N = | y - x |

este natural.

Vezi rezolvarea

a) $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ , deci

x = (\frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{18}{3 \sqrt{2}}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

= \frac{26}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

= \frac{2}{3} .

b) $\sqrt{147} = 7 \sqrt{3}$ , deci

y = (\frac{5}{7 \sqrt{3}} - \frac{7}{7 \sqrt{3}}) \cdot \frac{14}{\sqrt{3}}

= - \frac{2}{7 \sqrt{3}} \cdot \frac{14}{\sqrt{3}}

= - \frac{4}{3} .

$N = | - \frac{4}{3} - \frac{2}{3} | = | - 2 | = 2$ , care este număr natural.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un triunghi ABC. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, MP ∥ BC, G ∈ MP, M ∈ AB și P ∈ AC. a) Arată că

\frac{A M}{A B} = \frac{2}{3}

. b) Dacă AC = 12 cm, atunci determină lungimea segmentului PC.

Vezi rezolvarea

a) Fie ${T} = A G \cap B C$ . AT este mediană, iar centrul de greutate o împarte astfel încât $\frac{A G}{A T} = \frac{2}{3}$ . Cum $M G ∥ B T$ , din teorema lui Thales în triunghiul ABT:

\frac{A M}{A B} = \frac{A G}{A T} = \frac{2}{3} .

b) $M P ∥ B C$ , deci $\frac{A P}{A C} = \frac{A M}{A B} = \frac{2}{3}$ , de unde $A P = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm și $P C = 12 - 8 = 4$ cm.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată sunt reprezentate pătratul ABCD cu

A B = 4 \sqrt{2}

cm și triunghiul echilateral BCE. a) Arată că măsura unghiului CDE este egală cu 15°. b) Demonstrează că distanța de la punctul B la dreapta DE este egală cu 4 cm.

Vezi rezolvarea

a) m(∢DCE) = m(∢DCB) + m(∢BCE) = 90° + 60° = 150°. Cum DC = BC = CE, triunghiul DCE este isoscel, deci

m (∢ C D E) = \frac{180^{\circ} - 150^{\circ}}{2}

= 15^{\circ} .

b) Și m(∢DEC) = 15°, deci m(∢BED) = 60° − 15° = 45°. Fie $B M ⊥ D E$ , $M \in D E$ ; atunci d(B, DE) = BM. Triunghiul BME este dreptunghic în M cu un unghi de 45°, deci isoscel: BM = ME. Cu BE = $4 \sqrt{2}$ cm:

2 B M^{2} = B E^{2} = 32 \Rightarrow

B M = 4 cm .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, AB = 12 cm și

V A = 2 \sqrt{34}

cm. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, iar punctul M este mijlocul muchiei VD. a) Arată că dreapta OM este paralelă cu planul (VBC). b) Determină distanța de la punctul M la planul (VBC).

Vezi rezolvarea

a) În triunghiul VDB, O este mijlocul lui DB și M mijlocul lui VD, deci OM este linie mijlocie: $O M ∥ V B$ . Cum $V B \subset (V B C)$ și OM nu este inclusă în acest plan, rezultă $O M ∥ (V B C)$ .

b) Din a), d(M, (VBC)) = d(O, (VBC)). Fie P mijlocul lui BC: $O P ⊥ B C$ și $V P ⊥ B C$ (VBC isoscel), deci $B C ⊥ (V O P)$ . Ducem $O S ⊥ V P$ , $S \in V P$ . Cum $O S \subset (V O P)$ , $O S ⊥ B C$ , deci $O S ⊥ (V B C)$ și distanța căutată este OS.

$V P = \sqrt{V B^{2} - B P^{2}} = \sqrt{136 - 36} = 10$ cm, OP = 6 cm, deci $V O = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm. În triunghiul VOP, dreptunghic în O:

O S = \frac{V O \cdot O P}{V P} = \frac{8 \cdot 6}{10}

= \frac{24}{5} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 4 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională