Test 2 antrenament EN 2021 matematică

Test 2 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Suma divizorilor naturali ai lui 10 este numărul:

7
8
10
18 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Divizorii naturali ai lui 10 sunt 1, 2, 5 și 10, iar suma lor este $1 + 2 + 5 + 10 = 18$ .

Capcana tipică: Nu uita divizorii 1 și 10 (numărul însuși): fără ei obții 7 sau 8.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

În tabelul următor este prezentată situația cheltuielilor și a veniturilor unei societăți comerciale (2017: chelt. 90000, venit. 110000; 2018: 150000, 250000; 2019: 150000, 180000; 2020: 190000, 200000). Raportul dintre cheltuielile și veniturile înregistrate de societatea comercială este egal cu 5/6 în anul:

2017
2018
2019 ✓ răspuns corect
2020

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Calculăm raportul cheltuieli/venituri pentru fiecare an: 2017: $\frac{9}{11}$ , 2018: $\frac{3}{5}$ , 2019: $\frac{150000}{180000} = \frac{5}{6}$ , 2020: $\frac{19}{20}$ . Răspuns: anul 2019.

Capcana tipică: Raportul se face în ordinea din enunț — cheltuieli supra venituri, nu invers.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 5 − (2 · 3 − 7) − 6 este numărul:

−4
−2
0 ✓ răspuns corect
1

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Întâi paranteza: $2 \cdot 3 - 7 = 6 - 7 = - 1$ . Apoi $5 - (- 1) - 6 = 5 + 1 - 6 = 0$ .

Capcana tipică: Minus în fața unei paranteze negative dă plus: $- (- 1) = + 1$ ; altfel obții −2.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Într-un depozit sunt 2700 kg de fructe: mere 900 kg, pere 500 kg, gutui 490 kg și struguri 810 kg. Dintre fructele de mai sus, categoria care reprezintă 30% din cantitatea de fructe din acest depozit este:

mere
pere
gutui
struguri ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: 30% din 2700 kg înseamnă $\frac{30}{100} \cdot 2700 = 810$ kg, adică strugurii.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Dacă a = √(10² − 8²), atunci a este egal cu:

2
4
6 ✓ răspuns corect
36

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $a = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Capcana tipică: $\sqrt{10^{2} - 8^{2}}$ nu este egal cu $10 - 8 = 2$ : radicalul nu se „distribuie” peste scădere.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Un biciclist se deplasează cu viteza de 40 km pe oră. Alexandru afirmă că biciclistul, păstrând viteza de deplasare, a parcurs 60 km în 60 de minute. Afirmația lui Alexandru este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: 60 de minute = o oră; cu 40 km pe oră biciclistul parcurge 40 km, nu 60 km. Afirmația este falsă.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C și D astfel încât AB = 1 cm, BC = 2 cm și CD = 3 cm. Dintre aceste puncte, cel care reprezintă mijlocul unui segment din figură este punctul:

A
B
C ✓ răspuns corect
D

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A C = A B + B C = 1 + 2 = 3$ cm = CD, deci C este mijlocul segmentului AD.

Capcana tipică: B nu este mijlocul lui AC, pentru că AB = 1 cm ≠ BC = 2 cm.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri adiacente suplementare astfel încât măsura unghiului ascuțit să fie 70°. Care dintre următoarele valori reprezintă măsura celuilalt unghi?

20°
35°
70°
110° ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile adiacente suplementare au suma măsurilor 180°: $180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$ .

Capcana tipică: 20° ar fi complementul (suma 90°), nu suplementul.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În grădina casei Teodorei există patru tufe de trandafiri poziționate în punctele A, B, C și M. Măsura unghiului BAC este de 90°, punctul M aparține lui BC, AM ≡ MC, m(∢MAC) = 30° și BM = 6 m. Teodora vrea să amenajeze o alee din punctul M perpendiculară pe latura AC. Aleea amenajată de la punctul M la latura AC are o lungime egală cu:

2 m
3 m ✓ răspuns corect
4 m
6 m

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AM = MC, deci triunghiul AMC este isoscel și m(∢C) = m(∢MAC) = 30°. Atunci m(∢B) = 60° și m(∢BAM) = 90° − 30° = 60°, deci triunghiul ABM este echilateral: AM = BM = 6 m, deci MC = 6 m. Fie $M N ⊥ A C$ ; în triunghiul dreptunghic MNC, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: $M N = \frac{M C}{2} = 3$ m.

Capcana tipică: 6 m este lungimea lui MC (ipotenuza), nu distanța de la M la AC.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez dreptunghic ABCD cu baza mare AB = 120 m, baza mică CD = 40 m și înălțimea AD = 60 m. Terenul este împărțit în trei parcele: ABM, BMC și CMD, unde M este mijlocul segmentului AD. Aria suprafeței pe care s-au plantat zambilele (triunghiul BMC) este:

600 m²
1800 m²
2400 m² ✓ răspuns corect
4800 m²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A_{A B C D} = \frac{(120 + 40) \cdot 60}{2} = 4800$ m². AM = MD = 30 m, deci $A_{A B M} = \frac{120 \cdot 30}{2} = 1800$ m² și $A_{C M D} = \frac{40 \cdot 30}{2} = 600$ m². Zambilele ocupă $4800 - 1800 - 600 = 2400$ m².

Capcana tipică: 4800 m² este aria întregului teren.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Triunghiul ABC este înscris în cercul de centru O și rază 6 cm. Știind că latura BC a triunghiului ABC are 12 cm, atunci măsura unghiului BAC este:

30°
60°
90° ✓ răspuns corect
150°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BC = 12 cm = 2 · 6 cm, deci BC este diametru. Unghiul BAC este înscris în semicerc, deci m(∢BAC) = 90°.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

O față a unui dulap în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 2 m și 0,5 m. Suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este de 14 m. Volumul dulapului este egal cu:

1 m³ ✓ răspuns corect
4 m³
14 m³
16,5 m³

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Un paralelipiped are 12 muchii, câte 4 de fiecare dimensiune: $4 (2 + 0, 5 + c) = 14$ , deci $c = 1$ m. Volumul: $2 \cdot 0, 5 \cdot 1 = 1$ m³.

Capcana tipică: 14 m este suma tuturor celor 12 muchii, nu suma celor trei dimensiuni.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 2 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Într-un bloc sunt 40 de apartamente cu câte două, respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total 90 de camere. a) Este posibil ca în bloc să fie 31 de apartamente cu trei camere? Justifică răspunsul dat. b) Determină câte apartamente cu trei camere sunt în acest bloc.

Vezi rezolvarea

a) În 31 de apartamente cu trei camere ar fi $3 \cdot 31 = 93$ de camere, mai mult decât cele 90 de camere din bloc. Deci nu este posibil.

b) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu trei camere și cu $y$ numărul celor cu două camere: $x + y = 40$ și $3 x + 2 y = 90$ . Înlocuind $y = 40 - x$ :

3 x + 80 - 2 x = 90 \Rightarrow x = 10.

În bloc sunt 10 apartamente cu trei camere (și 30 cu două camere).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x + 3)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x)

+ (x + 1)^{2},

unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 2 x + 10

, pentru orice

x

număr real. b) Determină numărul întreg

a

pentru care

E (a - 2) + a = 0

Vezi rezolvarea

E (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} - 6 x

+ x^{2} + 2 x + 1 = 2 x + 10.

b) $E (a - 2) = 2 (a - 2) + 10 = 2 a + 6$ . Ecuația devine $2 a + 6 + a = 0$ , adică $3 a = - 6$ , deci $a = - 2$ , număr întreg.

Problema 3 (5 puncte)

Fie numerele

a = \sqrt{175} - \sqrt{98}

- \sqrt{63} + 3 \sqrt{50}

și

b = \sqrt{28} - \sqrt{112} + \sqrt{162}

+ \sqrt{2} - \sqrt{8} .

a) Arată că

a = 2 \sqrt{7} + 8 \sqrt{2}

. b) Calculează media geometrică a numerelor

a

și

b

Vezi rezolvarea

a) Scoatem factorii de sub radical:

a = 5 \sqrt{7} - 7 \sqrt{2} - 3 \sqrt{7} + 15 \sqrt{2}

= 2 \sqrt{7} + 8 \sqrt{2} .

b = 2 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 9 \sqrt{2}

+ \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}

= 8 \sqrt{2} - 2 \sqrt{7} .

Cu formula $(u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$ :

a \cdot b = (8 \sqrt{2})^{2} - (2 \sqrt{7})^{2}

= 128 - 28 = 100,

deci $m_{g} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{100} = 10$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, m(∢DAB) = 90°, AD = 40 cm și CD = 30 cm. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și O este punctul lor de intersecție. a) Arată că perimetrul triunghiului ADC este egal cu 120 cm. b) Calculează aria trapezului ABCD.

Vezi rezolvarea

a) AB ∥ CD și $A D ⊥ A B$ , deci triunghiul ADC este dreptunghic în D:

A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}}

= \sqrt{1600 + 900} = 50 cm,

iar $P_{A D C} = 40 + 30 + 50 = 120$ cm.

b) În triunghiul ADC, DO este înălțimea din D ( $D O ⊥ A C$ ): $D O = \frac{A D \cdot D C}{A C} = \frac{40 \cdot 30}{50} = 24$ cm. În triunghiul ADB, dreptunghic în A, cu înălțimea AO, teorema catetei dă $A D^{2} = D O \cdot D B$ , deci $D B = \frac{1600}{24} = \frac{200}{3}$ cm.

Diagonalele fiind perpendiculare:

A_{A B C D} = \frac{D B \cdot A C}{2}

= \frac{\frac{200}{3} \cdot 50}{2} = \frac{5000}{3} {cm}^{2} .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, m(∢ABC) = 30°. Perpendiculara din A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D,

A D = 2 \sqrt{3}

cm. Paralela prin B la AD intersectează dreapta AC în punctul E. a) Demonstrează că

B E = 8 \sqrt{3}

cm. b) Demonstrează că perimetrul triunghiului BCE este mai mic decât 38 cm.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul ABD este dreptunghic în D și m(∢ABD) = 30°, deci $A B = 2 \cdot A D = 4 \sqrt{3}$ cm. Cum $B E ∥ A D$ și $A D ⊥ B C$ , avem $B E ⊥ B C$ , deci m(∢ABE) = 90° − 30° = 60°. Triunghiul ABE este dreptunghic în A (E este pe dreapta AC), deci m(∢BEA) = 30° și

B E = 2 \cdot A B = 8 \sqrt{3} cm .

b) În triunghiul ABC: $\cos B = \frac{A B}{B C}$ , deci $B C = \frac{4 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$ cm. Triunghiul EBC este dreptunghic în B: $E C = \sqrt{E B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{192 + 64} = 16$ cm.

P_{B C E} = 8 \sqrt{3} + 8 + 16

= 8 \sqrt{3} + 24 cm .

$8 \sqrt{3} < 14 \Leftrightarrow \sqrt{192} < \sqrt{196}$ , adevărat, deci $P_{B C E} < 14 + 24 = 38$ cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu baza pătratul ABCD și

V A = 4 \sqrt{11}

cm. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, dreapta VO este perpendiculară pe planul (ABC), VO = 12 cm și punctul M este situat pe segmentul VO astfel încât

\frac{V M}{V O} = \frac{2}{3}

. a) Arată că lungimea segmentului AC este egală cu

8 \sqrt{2}

cm. b) Calculează măsura unghiului determinat de planele (ABC) și (MBC).

Vezi rezolvarea

a) $V O ⊥ (A B C)$ și $A C \subset (A B C)$ , deci $V O ⊥ A C$ și triunghiul VOA este dreptunghic în O:

A O = \sqrt{V A^{2} - V O^{2}}

= \sqrt{176 - 144} = 4 \sqrt{2} cm,

deci $A C = 2 \cdot A O = 8 \sqrt{2}$ cm.

b) Latura pătratului este $A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = 8$ cm. Fie N mijlocul laturii BC. Triunghiul BOC este isoscel, deci $O N ⊥ B C$ și ON = 4 cm. Triunghiurile MOB și MOC sunt congruente (catete OB = OC, MO comună), deci MB = MC și $M N ⊥ B C$ . Cum $(A B C) \cap (M B C) = B C$ , cu $O N ⊥ B C$ și $M N ⊥ B C$ , unghiul planelor este ∢MNO.

$M O = \frac{V O}{3} = 4$ cm = ON, deci triunghiul MON este dreptunghic isoscel și m(∢MNO) = 45°.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 2 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională