Test 1 antrenament EN 2022 matematică

Test 1 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 și 5 este egal cu:

2
7
10 ✓ răspuns corect
20

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Multiplii lui 5 sunt 5, 10, 15, …; primul care se divide și cu 2 este 10. Cum 2 și 5 sunt prime între ele, $[2, 5] = 2 \cdot 5 = 10$ .

Capcana tipică: Nu confunda c.m.m.m.c. cu c.m.m.d.c. (care este 1) sau cu suma 2 + 5 = 7.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Valoarea numărului x din proporția x/15 = 4/5 este egală cu:

4
12 ✓ răspuns corect
15
60

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din proprietatea fundamentală a proporției: $5 x = 15 \cdot 4 = 60$ , deci $x = 12$ .

Capcana tipică: Răspunsul 60 este produsul mezilor, nu valoarea lui x — mai trebuie împărțit la 5.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Duminică, temperatura măsurată la ora 10, la o stație meteo de pe vârful Omu, a fost de −17°C, în timp ce temperatura măsurată la aceeași oră în Baia Mare a fost de 4°C. Temperatura înregistrată duminică la ora 10 în Baia Mare este mai mare decât temperatura înregistrată în același timp pe vârful Omu cu:

−21°C
−13°C
13°C
21°C ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diferența temperaturilor este $4 - (- 17) = 4 + 17 = 21$ , deci cu 21°C.

Capcana tipică: Calculul $4 - 17 = - 13$ ignoră semnul minus al temperaturii de pe Omu.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine descrescătoare este:

3/4, 1/2, 13/24, 2/3
13/24, 3/4, 2/3, 1/2
3/4, 2/3, 13/24, 1/2 ✓ răspuns corect
1/2, 2/3, 3/4, 13/24

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Aducem la numitorul 24: $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$ , $\frac{2}{3} = \frac{16}{24}$ , $\frac{13}{24}$ , $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$ . Ordinea descrescătoare este $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{13}{24}, \frac{1}{2}$ .

Capcana tipică: Varianta D nu este nici măcar ordinea crescătoare: $\frac{13}{24} < \frac{2}{3}$ , deci $\frac{13}{24}$ nu poate fi ultimul. Ordinea crescătoare este $\frac{1}{2}, \frac{13}{24}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Ana, Cristian, George și Lia, au calculat produsul numerelor √2, √5, √8 și √20. Rezultatele obținute sunt: Ana = 80, Cristian = 40, George = 16√10, Lia = 4√10. Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect a fost:

Ana
Cristian ✓ răspuns corect
George
Lia

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 20} = \sqrt{1600} = 40$ . Rezultatul corect l-a obținut Cristian.

Capcana tipică: Ana a obținut 80 = 2 · 40 — atenție la extragerea radicalului din 1600.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

În tabelul de mai jos este reprezentat numărul de bilete vândute pentru două filme care au rulat la un cinematograf într-o zi de duminică, în funcție de ora începerii. Orele: 11:30, 13:30, 15:30, 17:30, 19:30, 21:30. Filmul A: 25, 95, 83, 60, 40, 92. Filmul B: 16, 47, 91, 42, 30, 86. Ana afirma că: „Cel mai mare număr de bilete vândute este pentru filmele cu ora de început 21:30". Afirmația Anei este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Totalul biletelor pe ore: 41, 142, 174, 102, 70 și 178. Cel mai mare total, 178, corespunde orei 21:30, deci afirmația este adevărată.

Capcana tipică: Separat, filmul B are maximul la 15:30 (91), dar afirmația se referă la totalul pentru ambele filme.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura următoare sunt reprezentate punctele coliniare A, B, M, C și D, în această ordine. Punctul M este mijlocul segmentului AD, punctul B este mijlocul segmentului AC, iar segmentele AB și CD sunt congruente. Dacă BM = 2,5 cm, atunci segmentul AC are lungimea egală cu:

2,5 cm
5 cm
7,5 cm
10 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Notăm AB = BC = CD = x (B este mijlocul lui AC, iar CD ≡ AB). Atunci AD = 3x, $A M = \frac{3 x}{2}$ și $B M = A M - A B = \frac{x}{2} = 2, 5$ cm, deci x = 5 cm și AC = 2x = 10 cm.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura următoare, punctele C și D sunt situate în interiorul unghiului AOB, astfel încât semidreapta OC este bisectoarea unghiului AOD, iar fiecare dintre unghiurile AOC și BOD are măsura de 26°. Măsura unghiului BOC este egală cu:

26°
39°
52° ✓ răspuns corect
78°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: OC este bisectoarea unghiului AOD, deci m(∢COD) = m(∢AOC) = 26°. Atunci m(∢BOC) = m(∢COD) + m(∢DOB) = 26° + 26° = 52°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

La cercul de robotică, Radu a creat un roboțel care se poate deplasa parcurgând drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă. Terenul de verificare are forma unui triunghi ABC, dreptunghic în A, cu AB = 40 dm și unghi B = 30°. Roboțelul pornește din punctul A către dreapta BC, pe care o întâlnește în punctul M, după care se deplasează spre dreapta AB, pe care o intersectează în punctul N. Lungimea segmentului AN este egală cu:

20 dm
15 dm
10 dm ✓ răspuns corect
5 dm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Drumul cel mai scurt este pe perpendiculară: $A M ⊥ B C$ , $M N ⊥ A B$ . În triunghiul ABM, cu m(∢B) = 30°: $A M = \frac{A B}{2} = 20$ dm. m(∢MAB) = 60°, deci în triunghiul AMN m(∢AMN) = 30° și $A N = \frac{A M}{2} = 10$ dm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura următoare, M este un punct în interiorul pătratului ABCD, astfel încât măsura unghiului DAM este egală cu 30° și AM = CD. Măsura unghiului ADM este egală cu:

45°
60°
75° ✓ răspuns corect
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AM = CD = AD, deci triunghiul ADM este isoscel cu baza DM. Cum m(∢DAM) = 30°, $m (∢ A D M) = \frac{180 ° - 30 °}{2} = 75 °$ .

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Punctele A, B, C și D sunt situate pe un cerc de centru O, astfel încât triunghiul ABC este echilateral și BD este diametru. Măsura unghiului ACD este egală cu:

30° ✓ răspuns corect
45°
60°
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: În triunghiul echilateral ABC, BD (diametrul) trece prin centrul O, deci este bisectoarea unghiului B: m(∢ABD) = 30°. Unghiurile înscrise ACD și ABD subîntind același arc AD, deci m(∢ACD) = 30°.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

O cutie plină cu suc de caise are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu AE = 20 cm, AB = 12 cm și AD = 5 cm. Tot sucul din cutie se toarnă în pahare de 200 ml. Numărul paharelor umplute cu sucul de caise din cutie este egal cu:

5
6 ✓ răspuns corect
12
20

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $V = 20 \cdot 12 \cdot 5 = 1200$ cm³ = 1200 ml, iar $1200 : 200 = 6$ pahare.

Capcana tipică: Amintește-ți că 1 cm³ = 1 ml.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 1), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

La un magazin s-au vândut într-o zi 500 kg de cireșe și de mere. Suma obținută prin vânzarea acestora este de 4620 de lei. Un kilogram de cireșe costă 15 lei, iar un kilogram de mere costă 7 lei. a) Este posibil ca suma obținută din vânzarea cireșelor să fie egală cu suma obținută din vânzarea merelor? Justifică răspunsul dat. b) Câte kilograme de mere s-au vândut în ziua aceea la magazin?

Vezi rezolvarea

a) Dacă cele două sume ar fi egale, fiecare ar fi $4620 : 2 = 2310$ lei. Atunci s-ar fi vândut $2310 : 15 = 154$ kg de cireșe și $2310 : 7 = 330$ kg de mere, în total $154 + 330 = 484$ kg. Cum $484 \neq 500$ , nu este posibil ca cele două sume să fie egale.

b) Notăm cu $x$ numărul de kilograme de mere vândute; atunci s-au vândut $500 - x$ kg de cireșe.

15 (500 - x) + 7 x = 4620

$7500 - 8 x = 4620$ , deci $8 x = 2880$ și $x = 360$ . S-au vândut 360 kg de mere (și 140 kg de cireșe).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (4 x + 3)^{2} + (2 x - 4) (4 x + 3) + (x - 2)^{2},

unde

x \in R

. a) Verifică dacă

E (- 3)

este pătratul unui număr natural. b) Determină numărul natural

n

pentru care

\sqrt{E (n)} \leq 3

Vezi rezolvarea

a) $E (- 3) = (- 9)^{2} + (- 10) \cdot (- 9) + (- 5)^{2} = 81 + 90 + 25 = 196 = 14^{2}$ , deci da, $E (- 3)$ este pătratul numărului natural 14.

b) Expresia are forma $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , cu $a = 4 x + 3$ și $b = x - 2$ (pentru că $2 x - 4 = 2 (x - 2)$ ):

E (x) = (4 x + 3 + x - 2)^{2} = (5 x + 1)^{2} = 25 x^{2} + 10 x + 1.

Pentru $n$ natural, $\sqrt{E (n)} = 5 n + 1$ . Din $5 n + 1 \leq 3$ obținem $n \leq \frac{2}{5}$ , iar cum $n$ este număr natural, $n = 0$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele reale

x = \sqrt{144} + 2 \sqrt{18} - (\sqrt{3})^{2}

și

y = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2} - \sqrt{72} + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^{2} - 7.

a) Arată că

x = 9 + 6 \sqrt{2}

. b) Arată că produsul numerelor

x

și

y

este număr natural.

Vezi rezolvarea

a) $\sqrt{144} = 12$ , $2 \sqrt{18} = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ și $(\sqrt{3})^{2} = 3$ , deci $x = 12 + 6 \sqrt{2} - 3 = 9 + 6 \sqrt{2}$ .

b) $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2} = 8 - 2 \sqrt{15}$ , $\sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ , $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^{2} = 8 + 2 \sqrt{15}$ , deci

y = 8 - 2 \sqrt{15} - 6 \sqrt{2} + 8 + 2 \sqrt{15} - 7 = 9 - 6 \sqrt{2} .

x y = (9 + 6 \sqrt{2}) (9 - 6 \sqrt{2}) = 81 - 72 = 9,

care este număr natural.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD cu AB ∥ CD, AB = 12 cm, BC = CD = 8 cm, iar unghiul A are măsura egală cu 90°. a) Arată că

A D = 4 \sqrt{3}

cm. b) Calculează aria triunghiului ABM, unde

A D \cap B C = {M}

Vezi rezolvarea

a) Construim $C E ⊥ A B$ , $E \in A B$ . Cum ∢A = ∢D = ∢E = 90°, AECD este dreptunghi, deci AE = CD = 8 cm și EB = 12 − 8 = 4 cm. În triunghiul CEB, dreptunghic în E: $C E = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ cm, iar AD = CE, deci $A D = 4 \sqrt{3}$ cm.

b) $C D ∥ A B$ , deci $△ M D C \sim △ M A B$ și $\frac{M D}{M A} = \frac{D C}{A B} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . Atunci $A D = M A - M D = \frac{M A}{3}$ , adică $M A = 3 \cdot A D = 12 \sqrt{3}$ cm. Triunghiul ABM este dreptunghic în A:

A_{A B M} = \frac{M A \cdot A B}{2} = \frac{12 \sqrt{3} \cdot 12}{2} = 72 \sqrt{3} {cm}^{2} .

Problema 5 (5 puncte)

În figura următoare este reprezentată o placă de gresie de forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 60 cm și BC = 40 cm. Punctele M și N sunt situate pe segmentul DC astfel încât DN = MN = MC, iar O este punctul de intersecție a dreptelor AM și BN. a) Arată că perimetrul patrulaterului ABMN este egal cu

40 (2 + \sqrt{5})

cm. b) Determină raportul dintre aria dreptunghiului ABCD și suma ariilor patrulaterelor ADNO și BCMO.

Vezi rezolvarea

a) DN = NM = MC = 60 : 3 = 20 cm. În triunghiul ADN, dreptunghic în D: $A N = \sqrt{40^{2} + 20^{2}} = \sqrt{2000} = 20 \sqrt{5}$ cm; analog $B M = 20 \sqrt{5}$ cm. Atunci

P_{A B M N} = 60 + 20 \sqrt{5} + 20 + 20 \sqrt{5} = 80 + 40 \sqrt{5} = 40 (2 + \sqrt{5}) cm .

b) $M N ∥ A B$ , deci $△ O M N \sim △ O A B$ și raportul înălțimilor din O este $\frac{d (O, M N)}{d (O, A B)} = \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3}$ . Cum $d (O, M N) + d (O, A B) = 40$ cm, obținem $d (O, M N) = 10$ cm și $d (O, A B) = 30$ cm. Atunci $A_{O M N} = \frac{20 \cdot 10}{2} = 100$ cm² și $A_{O A B} = \frac{60 \cdot 30}{2} = 900$ cm².

$A_{A B C D} = 60 \cdot 40 = 2400$ cm², iar patrulaterele ADNO și BCMO formează împreună dreptunghiul fără triunghiurile OMN și OAB:

\frac{A_{A B C D}}{A_{A B C D} - (A_{O M N} + A_{O A B})} = \frac{2400}{1400} = \frac{12}{7} .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă VABCD cu ABCD pătrat, AB = 8 cm și înălțimea

V O = 4 \sqrt{2}

cm, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Punctele P și Q sunt mijloacele segmentelor VB, respectiv CV. a) Arată că VB = 8 cm. b) Demonstrează că dreptele VM și BC sunt perpendiculare, unde

{M} = A P \cap D Q

Vezi rezolvarea

a) ABCD este pătrat cu latura 8 cm, deci $B D = 8 \sqrt{2}$ cm și $O B = \frac{B D}{2} = 4 \sqrt{2}$ cm. În triunghiul VOB, dreptunghic în O: $V B^{2} = V O^{2} + O B^{2} = 32 + 32 = 64$ , deci VB = 8 cm.

b) PQ este linie mijlocie în triunghiul VBC, deci $P Q ∥ B C$ și $P Q = \frac{B C}{2}$ . Cum $B C ∥ A D$ și BC = AD, avem $P Q ∥ A D$ și $P Q = \frac{A D}{2}$ ; prin urmare APQD este trapez, dreptele AP și DQ se intersectează în M, iar PQ este linie mijlocie în triunghiul MAD. Deci Q este mijlocul segmentului MD.

Q este mijlocul segmentelor MD și CV, așadar diagonalele patrulaterului VMCD se înjumătățesc: VMCD este paralelogram și $V M ∥ C D$ . Atunci ∢(VM, BC) = ∢(CD, BC) = 90°, adică $V M ⊥ B C$ .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 1 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională