Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională 2026 (clasa a VIII-a, an școlar 2025–2026), publicat de Ministerul Educației și Cercetării în noiembrie 2025, rezolvat complet: cei 12 itemi grilă din Subiectul I și Subiectul II, plus cele 6 probleme din Subiectul III, pas cu pas, conform baremului oficial. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2026 (fișierele ENVIII_Matematica_2026_var_model.pdf și ENVIII_Matematica_2026_bar_model.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore.
Rezolvare: Împărțirea și înmulțirea se efectuează înaintea scăderii: \(36 : 4 = 9\) și \(4 \cdot 2 = 8\), apoi \(9 - 8 = 1\).
Capcana tipică: Calculat de la stânga la dreapta, fără ordinea operațiilor: \((9 - 4) \cdot 2 = 10\) — răspuns greșit.
Rezolvare: Intervalul \([3, 20)\) conține numerele mai mari sau egale cu 3 și strict mai mici decât 20. Multiplii lui 5 din interval sunt 5, 10 și 15; cel mai mare este 15.
Capcana tipică: 20 este divizibil cu 5, dar nu aparține intervalului: paranteza rotundă „)” înseamnă capăt exclus.
Rezolvare: Din proporție: \(2a = 4 \cdot 5 = 20\), deci \(a = 10\). Atunci \(2a + 10 = 20 + 10 = 30\). (Se poate observa direct că \(2a = 20\).)
Capcana tipică: 20 este valoarea lui \(2a\); nu uita să adaugi 10.
Rezolvare: 40% din 250 înseamnă \(\frac{40}{100} \cdot 250 = 100\). La concurs participă 100 de băieți.
Capcana tipică: 150 este numărul fetelor (60% din 250), nu al băieților. Vezi procente.
Patru elevi, Ioan, Mihai, Gabriela și Maria, au calculat media aritmetică a numerelor \(a = \sqrt{12}\) și \(b = 10 - 2\sqrt{3}\). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Ioan | Mihai | Gabriela | Maria |
|---|---|---|---|
| 10 | \(5 + 2\sqrt{3}\) | 5 | \(5 - 2\sqrt{3}\) |
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Rezolvare: Scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Atunci \(a + b = 2\sqrt{3} + 10 - 2\sqrt{3} = 10\), iar media aritmetică este \(\frac{10}{2} = 5\). Rezultatul corect l-a obținut Gabriela.
Capcana tipică: Ioan a adunat numerele fără să împartă la 2; Mihai și Maria nu au observat că \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) se reduce cu \(-2\sqrt{3}\).
În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2025.
Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe mașini au fost vândute în luna februarie.” este:
Rezolvare: Din diagramă: ianuarie — 1000, februarie — 2000, martie — 500, aprilie — 2500 de mașini. Cele mai multe mașini s-au vândut în aprilie (2500 \(\gt\) 2000), deci afirmația este falsă.
Capcana tipică: Februarie are a doua cea mai înaltă coloană; compară toate cele patru coloane, nu doar primele.
Rezolvare: \(BD = 3 \cdot 3 = 9\) cm și \(AD = 3 \cdot 9 = 27\) cm. Cum C se află între A și D: \(AC = AD - CD = 27 - 3 = 24\) cm.
Capcana tipică: 27 cm este lungimea lui AD; 18 cm este AB (\(27 - 9\)).
Rezolvare: OM este bisectoarea unghiului AOC, deci m(∢AOC) = 2 · 35° = 70°. Unghiurile AOC și COB sunt adiacente suplementare: m(∢BOC) = 180° − 70° = 110°.
Capcana tipică: 70° este măsura unghiului AOC; 145° = 180° − 35° ar fi unghiul MOB.
Rezolvare: Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: \(AC = 12 : 2 = 6\) cm, iar \(BC = \sqrt{144 - 36} = 6\sqrt{3}\) cm. Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei: \(CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3}\) cm. (Sau: în triunghiul ACD, m(∢ACD) = 30°, deci \(AD = 3\) cm și \(CD = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}\) cm.)
Capcana tipică: 3 cm este proiecția AD, iar 6 cm este cateta AC; se cere înălțimea CD.
Rezolvare: Diagonala BD împarte paralelogramul în două triunghiuri de arii egale: \(\mathcal{A}_{ABD} = 96 : 2 = 48\) cm². EF este linie mijlocie în triunghiul ABD, deci triunghiul AEF este asemenea cu ABD, cu raportul de asemănare \(\frac{1}{2}\); raportul ariilor este \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). Așadar \(\mathcal{A}_{AEF} = 48 : 4 = 12\) cm².
Capcana tipică: 24 cm² apare dacă înjumătățești aria triunghiului ABD în loc să o împarți la 4 (raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare).
Rezolvare: Unghiurile AOD și BOC sunt opuse la vârf, deci m(∢BOC) = m(∢AOD) = 52°, adică arcul BC măsoară 52°. Unghiul BDC este unghi înscris care cuprinde arcul BC, deci m(∢BDC) = 52° : 2 = 26°.
Capcana tipică: 52° este măsura unghiului la centru BOC; unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins.
Rezolvare: Aria bazei (triunghi echilateral cu latura 4 cm): \(\mathcal{A}_b = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) cm². Volumul prismei: \(V = \mathcal{A}_b \cdot h\) \(= 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 24\) cm³.
Capcana tipică: 8 cm³ este rezultatul dacă împarți la 3 (formula piramidei); la prismă volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Vezi prisma triunghiulară regulată.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Dacă Tudor ar avea 4 ani, Bogdan ar avea acum \(4 \cdot 3 + 8 = 20\) de ani. Peste un an, Tudor ar avea \(4 + 1 = 5\) ani, iar Bogdan \(20 + 1 = 21\) de ani. Cum \(5 \cdot 5 = 25 \ne 21\), Tudor nu poate avea în prezent 4 ani.
b) Notăm cu \(a\) vârsta actuală a lui Tudor și cu \(b\) vârsta actuală a lui Bogdan. Atunci \(b = 3a + 8\) și \(b + 1 = 5(a + 1)\). Înlocuind: \(3a + 9 = 5a + 5\), deci \(2a = 4\), \(a = 2\) și \(b = 3 \cdot 2 + 8 = 14\). În prezent Bogdan are 14 ani. Verificare: peste un an, \(15 = 5 \cdot 3\).
a) Cum \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\), amplificăm prima fracție cu \(x - 3\):
\[\frac{1}{x+3} + \frac{3}{(x-3)(x+3)} =\]\[= \frac{x - 3 + 3}{(x-3)(x+3)}\]adică \(\frac{x}{(x-3)(x+3)}\), pentru orice \(x \ne -3\), \(x \ne 3\).
b) Folosind a) și \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\), împărțirea la \(\frac{x}{(x-3)(x+3)}\) devine înmulțire cu \(\frac{(x-3)(x+3)}{x}\):
\[E(x) = \frac{3x(x-3)(x+3)}{(x+3)^2(x-3)x} = \frac{3}{x+3},\]pentru \(x \ne -3\), \(x \ne 0\), \(x \ne 3\). Atunci \(\frac{1}{E(x)} = \frac{x+3}{3}\), iar pentru \(n \gt 3\) (toate valorile \(n, n+1, n+2\) sunt permise):
\[N = \frac{n+3}{3} + \frac{n+4}{3} + \frac{n+5}{3}\]\[N = \frac{3n+12}{3} = n + 4,\]care este număr natural pentru orice număr natural \(n \gt 3\).
a) \(f(2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8\) și \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = 0\), deci \(f(2) + f(-2) = 8 + 0 = 8\).
b) Pe Ox: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\), deci \(A(-2, 0)\). Pe Oy: \(f(0) = 4\), deci \(B(0, 4)\). Triunghiul BOM este dreptunghic în O, cu \(OB = 4\) și \(OM = 3\), deci \(BM = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). Pe axa Ox: \(AM = 3 - (-2) = 5\). Așadar \(AM = BM\), triunghiul AMB este isoscel cu baza AB, iar unghiurile de la bază sunt congruente: ∢BAM ≡ ∢MBA.
a) AC este bisectoarea unghiului BAD, deci ∢DAC ≡ ∢CAB. Din CD ∥ AB, cu secanta AC, unghiurile CAB și DCA sunt alterne interne: ∢CAB ≡ ∢DCA. Rezultă ∢DAC ≡ ∢DCA, deci triunghiul ADC este isoscel și \(AD = DC = 16\) cm.
b) Coardele egale CD și AD subîntind arce egale, deci m(∢AOD) = m(∢DOC). Coardele paralele CD și AB cuprind arce egale (AD și BC), deci m(∢AOD) = m(∢BOC). Cum A, O, B sunt coliniare, m(∢AOD) + m(∢DOC) + m(∢BOC) = 180°, deci fiecare are 60°. Triunghiurile AOD, DOC și BOC sunt isoscele (laturile sunt raze) cu un unghi de 60°, deci echilaterale și congruente, cu latura 16 cm. Așadar:
Aria patrulaterului este de trei ori aria triunghiului AOD:
\[\mathcal{A}_{ABCD} = 3 \cdot \frac{16^2\sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3} \text{ cm}^2.\]a) \(AD = AM = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\) cm, deci \(P_{ABCD} = 2(AB + AD)\) \(= 2 \cdot 25 = 50\) cm.
b) \(\mathcal{A}_{\triangle ADM} = \frac{AM \cdot d(D, AB)}{2} = \frac{10 \cdot 8}{2} = 40\) cm². Din AD ∥ BC (N ∈ BC), cu secanta DN: ∢ADM ≡ ∢DNC (alterne interne); unghiurile opuse ale paralelogramului sunt congruente: ∢DAM ≡ ∢DCN. Deci \(\triangle ADM \sim \triangle CND\), cu raportul de asemănare \(\frac{AM}{CD} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare:
\[\frac{\mathcal{A}_{\triangle ADM}}{\mathcal{A}_{\triangle NCD}} = \left(\frac{AM}{CD}\right)^2 = \frac{4}{9},\]deci \(\mathcal{A}_{\triangle NCD} = \frac{9}{4} \cdot 40 = 90\) cm².
a) MN este linie mijlocie în triunghiul DAC, deci \(MN = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\) cm. Analog (triunghiurile dreptunghice MDP și NDP au catetele de 4 cm) \(NP = MP = 4\sqrt{2}\) cm, deci triunghiul MNP este echilateral:
\[\mathcal{A}_{\triangle MNP} = \frac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \text{ cm}^2.\]b) \(DD' \cap (MNP) = \{P\}\) și P este mijlocul lui DD′, deci \(d(D', (MNP)) = d(D, (MNP))\). Cum \(DM = DN = DP = 4\) cm, iar baza MNP este triunghi echilateral, DMNP este piramidă triunghiulară regulată cu vârful D, deci \(d(D, (MNP)) = DT\), unde T este centrul cercului circumscris triunghiului MNP.
Fie Q mijlocul lui MN (PQ ⊥ MN). Q se află pe diagonala BD, cu \(DQ = \frac{1}{4} \cdot BD = \frac{8\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}\) cm, \(DP = 4\) cm și \(PQ = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}\) cm. Triunghiul PDQ este dreptunghic în D, iar DT este înălțimea din unghiul drept:
\[DT = \frac{DP \cdot DQ}{PQ} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{3}},\]adică \(DT = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm,
deci \(d(D', (MNP)) = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm. Vezi cubul și piramida triunghiulară regulată.
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.4 | Ordinea operațiilor, intervale, proporții, procente | Procente · calculator procente |
| I.5 | Media aritmetică, radicali | Media aritmetică · Radicali |
| I.6 | Citirea unei diagrame | — |
| III.1 | Probleme de vârstă, ecuații | Test model EN nr. 1 |
| III.2 | Rapoarte algebrice | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, distanțe în reper | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Unghiuri, triunghiul dreptunghic, paralelogram, cerc, asemănare | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · Aria triunghiului |
| II.6, III.6 | Prisma, cubul, distanța de la un punct la un plan | Prisma triunghiulară regulată · Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan |
După model, verifică-te pe subiectele reale din același an: EN 2026 — Simulare rezolvată și EN 2026 — Examen rezolvat. Vezi și Model EN 2025 rezolvat și Model EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Când a fost publicat modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2026 la matematică? Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) a publicat modelul de subiect și baremul la începutul lunii noiembrie 2025, pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2026.
Cum arată structura subiectului EN 2026 la matematică? Modelul are trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I și Subiectul II conțin câte 6 itemi grilă (încercuiești litera corectă), iar Subiectul III conține 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu punctele a) și b). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.
Cum se punctează grilele din modelul EN 2026? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte — se punctează doar rezultatul, fără punctaje intermediare. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din modelul EN 2026? Subiectul I: 1c, 2b, 3a, 4c, 5c, 6b. Subiectul II: 1b, 2c, 3c, 4a, 5a, 6d — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026) · Calculator medie admitere liceu
Subiect și barem © Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare). Sursă: subiecte.edu.ro (Modele de subiecte EN 2026). Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.