Tabelul trigonometric adună valorile exacte ale funcțiilor \( \sin \), \( \cos \), \( \operatorname{tg} \) și \( \operatorname{ctg} \) pentru unghiurile remarcabile dintre \( 0^\circ \) și \( 360^\circ \), scrise atât în grade, cât și în radiani. Cele mai căutate valori sunt \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) și \( \operatorname{tg} 45^\circ = 1 \). Tabelul complet este mai jos, urmat de trucurile de memorare, semnele pe cadrane și formulele de reducere la primul cadran.
Tabelul valorilor principale
Liniuța „—” înseamnă că funcția nu este definită pentru acel unghi (împărțire la zero).
| Grade | Radiani | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 0^\circ \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | — |
| \( 30^\circ \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \sqrt{3} \) |
| \( 45^\circ \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 60^\circ \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 90^\circ \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( 1 \) | \( 0 \) | — | \( 0 \) |
| \( 120^\circ \) | \( \frac{2\pi}{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( -\sqrt{3} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 135^\circ \) | \( \frac{3\pi}{4} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( -1 \) | \( -1 \) |
| \( 150^\circ \) | \( \frac{5\pi}{6} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( -\sqrt{3} \) |
| \( 180^\circ \) | \( \pi \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | — |
| \( 210^\circ \) | \( \frac{7\pi}{6} \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \sqrt{3} \) |
| \( 225^\circ \) | \( \frac{5\pi}{4} \) | \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 240^\circ \) | \( \frac{4\pi}{3} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 270^\circ \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( -1 \) | \( 0 \) | — | \( 0 \) |
| \( 300^\circ \) | \( \frac{5\pi}{3} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( -\sqrt{3} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 315^\circ \) | \( \frac{7\pi}{4} \) | \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( -1 \) | \( -1 \) |
| \( 330^\circ \) | \( \frac{11\pi}{6} \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( -\sqrt{3} \) |
| \( 360^\circ \) | \( 2\pi \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | — |
Observație: \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \) — în manuale apar ambele forme, sunt același număr. Toate formulele cu aceste valori (sume, duble, transformări) le găsești pe pagina de formule trigonometrice.
Cum ții minte tabelul
Nu trebuie să memorezi 17 linii. Este suficient să reții primul cadran (\( 0^\circ \)–\( 90^\circ \)) cu un singur truc, iar restul se deduce din semne și din reducerea la primul cadran.
Trucul cu rădăcinile: pentru \( \sin \) la \( 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ \), scrie sub fiecare unghi \( \dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2} \). Simplificate, acestea sunt exact \( 0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1 \).
Cosinusul este în oglindă: \( \cos \) parcurge aceleași valori, dar în ordine inversă — \( 1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{1}{2}, 0 \). De aceea \( \cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \) și \( \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \).
Tangenta se calculează, nu se memorează: \( \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \), iar \( \operatorname{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} \). De exemplu \( \operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \). Reține doar că \( \operatorname{tg} \) crește de la \( 0 \) spre infinit pe \( [0^\circ, 90^\circ) \): \( 0, \dfrac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3} \), apoi nedefinit.
Semnele în cele patru cadrane
Pe cercul trigonometric, \( \sin x \) este ordonata (înălțimea) punctului, iar \( \cos x \) este abscisa. Semnul lor urmează semnul coordonatelor din cadranul respectiv, iar \( \operatorname{tg} \) și \( \operatorname{ctg} \) au semnul produsului.
| Cadran | Unghiuri | sin | cos | tg, ctg |
|---|---|---|---|---|
| I | \( 0^\circ \)–\( 90^\circ \) | + | + | + |
| II | \( 90^\circ \)–\( 180^\circ \) | + | − | − |
| III | \( 180^\circ \)–\( 270^\circ \) | − | − | + |
| IV | \( 270^\circ \)–\( 360^\circ \) | − | + | − |
Regulă mnemonică: „Toate, Sinus, Tangenta, Cosinus” — în cadranul I sunt pozitive toate, în II doar sinusul, în III doar tangenta (și cotangenta), în IV doar cosinusul.
Reducerea la primul cadran
Orice unghi din tabel se aduce la un unghi din \( [0^\circ, 90^\circ] \) cu formulele de mai jos; valoarea absolută o citești din primul cadran, iar semnul din tabelul cadranelor. Pentru \( x \in [0^\circ, 90^\circ] \):
- Cadranul II: \( \sin(180^\circ - x) = \sin x \), \( \cos(180^\circ - x) = -\cos x \), \( \operatorname{tg}(180^\circ - x) = -\operatorname{tg} x \).
- Cadranul III: \( \sin(180^\circ + x) = -\sin x \), \( \cos(180^\circ + x) = -\cos x \), \( \operatorname{tg}(180^\circ + x) = \operatorname{tg} x \).
- Cadranul IV: \( \sin(360^\circ - x) = -\sin x \), \( \cos(360^\circ - x) = \cos x \), \( \operatorname{tg}(360^\circ - x) = -\operatorname{tg} x \).
- Unghiuri negative: \( \sin(-x) = -\sin x \) (impară), \( \cos(-x) = \cos x \) (pară), \( \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x \).
- Periodicitate: \( \sin \) și \( \cos \) au perioada \( 360^\circ \) (\( 2\pi \)), iar \( \operatorname{tg} \) și \( \operatorname{ctg} \) au perioada \( 180^\circ \) (\( \pi \)). Astfel \( \sin 390^\circ = \sin 30^\circ \), \( \operatorname{tg} 225^\circ = \operatorname{tg} 45^\circ = 1 \).
Exemplu rapid: \( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2} \).
Unghiuri complementare și formula fundamentală
Două unghiuri sunt complementare dacă au suma \( 90^\circ \). Sinusul unui unghi este cosinusul complementului său — de aici și numele „co-sinus”:
\[ \sin(90^\circ - x) = \cos x, \qquad \cos(90^\circ - x) = \sin x, \qquad \operatorname{tg}(90^\circ - x) = \operatorname{ctg} x. \]Aceasta explică simetria tabelului: linia lui \( 30^\circ \) și linia lui \( 60^\circ \) au valorile sin/cos schimbate între ele. Formula fundamentală a trigonometriei leagă sinusul și cosinusul aceluiași unghi:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \]Verificare pe tabel, la \( 30^\circ \): \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \). Din ea rezultă \( 1 + \operatorname{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \) și \( 1 + \operatorname{ctg}^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} \). În triunghiul dreptunghic, aceeași formulă este teorema lui Pitagora împărțită la pătratul ipotenuzei.
Grade ↔ radiani
Un cerc complet are \( 360^\circ = 2\pi \) radiani, deci \( 180^\circ = \pi \) rad. De aici rezultă cele două formule de transformare:
\[ x_{\text{rad}} = x_{\text{grade}} \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad x_{\text{grade}} = x_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}. \]| Grade | \( 0^\circ \) | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | \( 90^\circ \) | \( 180^\circ \) | \( 270^\circ \) | \( 360^\circ \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radiani | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( 2\pi \) |
Practic: împarți numărul de grade la 180 și simplifici fracția — \( 150^\circ = \dfrac{150}{180}\pi = \dfrac{5\pi}{6} \). Un radian este aproximativ \( 57{,}3^\circ \). La Bacalaureat și în analiză, argumentul funcțiilor trigonometrice este aproape întotdeauna în radiani.
Greșeli frecvente
- Confuzia \( \sin 30^\circ \) cu \( \sin 60^\circ \). Reține: unghiul mic are sinusul mic — \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ \).
- Semnul pierdut la reducere. \( \cos 150^\circ \) nu este \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \), ci \( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \): cadranul II are cosinusul negativ.
- \( \operatorname{tg} 90^\circ = 1 \)” sau „\( = 0 \)”. Tangenta nu este definită la \( 90^\circ \), pentru că \( \cos 90^\circ = 0 \) și nu putem împărți la zero.
- Amestecul grade/radiani. \( \sin 2 \) (radiani) nu are legătură cu \( \sin 2^\circ \). Pe calculator verifică modul DEG/RAD înainte de orice calcul.
Întrebări frecvente
Cât este sin 30°, sin 45° și sin 60°? \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \), \( \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \). Cosinusurile sunt aceleași valori în ordine inversă: \( \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \).
Cât este tg 90°? Nu există: \( \operatorname{tg} 90^\circ = \dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \dfrac{1}{0} \), nedefinit. Când unghiul se apropie de \( 90^\circ \), tangenta crește nemărginit (spre \( +\infty \) din stânga). La fel, \( \operatorname{ctg} 0^\circ \) și \( \operatorname{ctg} 180^\circ \) nu sunt definite.
Cum transform gradele în radiani? Înmulțești cu \( \dfrac{\pi}{180} \): \( 45^\circ = 45 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4} \), \( 120^\circ = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3} \). Invers, din radiani în grade, înmulțești cu \( \dfrac{180}{\pi} \): \( \dfrac{\pi}{6} = 30^\circ \).
Vezi și: teorema sinusului, teorema cosinusului și toate paginile din hubul Geometrie și trigonometrie.