Simulare Evaluare Națională 2021 matematică

Subiectele oficiale de la Simularea Evaluării Naționale 2021 la matematică, itemii de tip grilă rezolvați pas cu pas, cu răspunsul corect și greșelile frecvente. Sunt 12 itemi grilă (Subiectul I și Subiectul II) și 6 probleme cu rezolvare completă (Subiectul al III-lea), rezolvate după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 45 : 5 + 4 este egal cu:

4
5
9
13 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se face înaintea adunării: $45 : 5 = 9$ .
$9 + 4 = 13$ .

Capcana tipică: Dacă aduni întâi, $45 : (5 + 4) = 5$ , ceea ce este greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul care reprezintă 40% din 50 este egal cu:

20 ✓ răspuns corect
25
40
50

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $40 %$ din 50 $= \frac{40}{100} \cdot 50 = 20$ .

Capcana tipică: 40 este procentul, nu rezultatul.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Suma numerelor −2, −1, 0, 1, 2 și 3 este egală cu:

-9
-3
3 ✓ răspuns corect
9

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $(- 2) + 2 = 0$ și $(- 1) + 1 = 0$ , deci suma este $0 + 0 + 3 = 3$ .

Capcana tipică: Atenție la semne: −2 și 2 se reduc, nu se adună în −4.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Fracția 14/21 este echivalentă cu:

3/7
2/3 ✓ răspuns corect
21/14
7/3

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Simplificăm cu 7: $\frac{14}{21} = \frac{14 : 7}{21 : 7} = \frac{2}{3}$ .

Capcana tipică: $\frac{21}{14}$ este inversul fracției, nu o fracție echivalentă.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Mulțimea A = {x ∈ Z | −2 ≤ x < 2}. Scrierea prin enumerare este:

{-2, -1, 0, 1, 2}
{-2, -1, 0, 1} ✓ răspuns corect
{0, 1, 2}
{-1, 0, 1, 2}

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele întregi cu $- 2 \leq x < 2$ : −2 este inclus, 2 nu.
$A = {- 2, - 1, 0, 1}$ .

Capcana tipică: Semnul $<$ exclude pe 2.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

La alegerile pentru responsabilul clasei: Andrei 15%, Vali 25%, Sanda 35%, Dana x%. Dana a fost votată de:

45% din elevi
35% din elevi
25% din elevi ✓ răspuns corect
15% din elevi

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Toți elevii au votat, deci procentele însumează 100%:
$x = 100 - (15 + 25 + 35) = 100 - 75 = 25$ .

Capcana tipică: 35% este procentul Sandei, nu al Danei.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Punctele A, B, C, D și E, în această ordine, sunt coliniare cu AB ≠ BC, AB ≡ CD și BC ≡ DE. Atunci:

B este mijlocul segmentului AC
C este mijlocul segmentului CD
D este mijlocul segmentului CE
C este mijlocul segmentului AE ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A C = A B + B C$ și $C E = C D + D E = A B + B C$ .
Deci $A C = C E$ , iar C este mijlocul segmentului AE.

Capcana tipică: B nu este mijlocul lui AC, pentru că $A B \neq B C$ .

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Unghiurile congruente AOB, BOC, COD, DOE și EOA sunt formate în jurul punctului O. Măsura unghiului AOC este egală cu:

144° ✓ răspuns corect
120°
72°
36°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cele 5 unghiuri congruente formate în jurul punctului O au în total 360°: fiecare are $360^{\circ} : 5 = 72^{\circ}$ .
$∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C = 144^{\circ}$ .

Capcana tipică: 72° este doar unghiul AOB.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu măsura unghiului ABC de 30°. Bisectoarea unghiului ACB intersectează dreapta AB în M și AM = 3 cm. Lungimea catetei AB este egală cu:

3 cm
6 cm
9 cm ✓ răspuns corect
12 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $∠ A C B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ ; bisectoarea dă $∠ A C M = ∠ M C B = 30^{\circ}$ .
În triunghiul ACM: $C M = 2 \cdot A M = 6$ cm.
$∠ M B C = ∠ M C B = 30^{\circ}$ , deci $M B = M C = 6$ cm și $A B = 3 + 6 = 9$ cm.

Capcana tipică: 6 cm este doar MB; cateta AB este $A M + M B$ .

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Rombul ABCD are E, F, G, H mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv AD. Raportul dintre aria patrulaterului EFGH și aria rombului ABCD este egal cu:

1/4
1/2 ✓ răspuns corect
2/3
3/4

Vezi rezolvarea

Rezolvare: EF și GH sunt linii mijlocii: $E F = \frac{A C}{2}$ , $E H = \frac{B D}{2}$ ; diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci EFGH este dreptunghi.
$A_{E F G H} = \frac{A C \cdot B D}{4}$ , $A_{A B C D} = \frac{A C \cdot B D}{2}$ .
Raportul este $\frac{1}{2}$ .

Capcana tipică: Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor, nu produsul lor.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Punctele A, B, C și D sunt pe cerc, cu arcele AB, BC, CD și AD congruente. Dacă AC = 12 cm, atunci lungimea cercului este egală cu:

3π cm
4π cm
6π cm
12π cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cele 4 arce congruente au câte 90°, deci arcul ABC are 180° și AC este diametru.
$L = π \cdot d = 12 π$ cm.

Capcana tipică: AC = 12 cm este diametrul, deci raza este 6 cm; $6 π$ cm se obține dacă înmulțești π doar cu raza ( $π \cdot 6$ ), uitând factorul 2 din $L = 2 π r$ .

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În cubul ABCDA'B'C'D', măsura unghiului dreptelor BC' și D'C este egală cu:

30°
45°
60° ✓ răspuns corect
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $B C^{'} ∥ A D^{'}$ (ABC′D′ este dreptunghi), deci unghiul cerut este $∠ A D^{'} C$ .
AD′, D′C și AC sunt diagonale ale fețelor cubului, deci sunt egale: triunghiul AD′C este echilateral, unghiul are 60°.

Capcana tipică: Dreptele BC′ și D′C sunt necoplanare; unghiul lor nu se vede direct în figură.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Oana începe să citească o carte. În prima zi citește jumătate din numărul paginilor cărții, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi citește jumătate din numărul paginilor rămase și constată că mai are de citit 32 de pagini. a) Dacă ar continua să citească zilnic jumătate din numărul de pagini rămase, câte pagini ar avea de citit în cea de-a cincea zi? b) Determină numărul de pagini ale cărții.

Vezi rezolvarea

a) În a patra zi Oana ar citi $32 : 2 = 16$ pagini, deci i-ar rămâne 16 pagini. În a cincea zi ar avea de citit $16 : 2 = 8$ pagini.

b) Notăm cu $x$ numărul de pagini ale cărții. În prima zi citește $\frac{x}{2}$ , în a doua zi $\frac{x}{4}$ (jumătate din restul de $\frac{x}{2}$ ), iar în a treia zi $\frac{x}{8}$ :

\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{8} + 32 = x

\Rightarrow \frac{x}{8} = 32 \Rightarrow x = 256.

Cartea are 256 de pagini (verificare: 128 + 64 + 32 + 32 = 256).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x + 1)^{2} - 2 (x^{2} - 1) +

(x - 1)^{2} - x^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = (2 + x) (2 - x)

, pentru orice număr real

x

. b) Arată că numărul

A = E (\sqrt{2}) + E (- \sqrt{2}) - 7

aparține intervalului

[- \sqrt{10}, - 2 \sqrt{2}]

Vezi rezolvarea

a) Cum $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ , primii trei termeni formează pătratul unei diferențe:

E (x) = ((x + 1) - (x - 1))^{2} - x^{2}

= 2^{2} - x^{2} = 4 - x^{2} = (2 + x) (2 - x) .

b) $E (\sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$ și $E (- \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$ , deci $A = 2 + 2 - 7 = - 3$ . Cum $8 < 9 < 10$ , avem $\sqrt{8} < 3 < \sqrt{10}$ , adică

- \sqrt{10} < - 3 < - \sqrt{8} = - 2 \sqrt{2},

deci $A \in [- \sqrt{10}, - 2 \sqrt{2}]$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele reale

a = (\frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) : \frac{31}{12}

și

b = \frac{3}{\sqrt{2}} : (5 \sqrt{2} - 3 a \sqrt{8})

. a) Arată că

a = \frac{1}{2}

. b) Arată că numărul

N = \frac{\sqrt{2 a + 4 b}}{2}

este natural.

Vezi rezolvarea

a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ , deci

a = (\frac{2}{3} + \frac{5}{8}) : \frac{31}{12}

= \frac{31}{24} \cdot \frac{12}{31} = \frac{1}{2} .

b) $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ , deci $3 a \sqrt{8} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ și

b = \frac{3}{\sqrt{2}} : (5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2})

= \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{3}{4} .

Atunci $2 a + 4 b = 1 + 3 = 4$ și $N = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ , care este număr natural.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu

A B ∥ C D

, AD = BC = 6 cm și AB = 2CD = 8 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB. a) Arată că perimetrul triunghiului ADM este egal cu 16 cm. b) Știind că punctul N aparține segmentului DM astfel încât DN = 4 cm și punctul P este centrul de greutate al triunghiului BCD, demonstrează că dreptele NP și AC sunt paralele.

Vezi rezolvarea

a) CD = 4 cm și MB = $\frac{A B}{2}$ = 4 cm, iar $M B ∥ C D$ , deci MBCD este paralelogram și DM = BC = 6 cm. Atunci $P_{A D M} = A D + D M + A M =$ $6 + 6 + 4 = 16$ cm.

b) Fie O mijlocul segmentului BD. P este centrul de greutate al triunghiului BCD, deci P se află pe mediana CO și $\frac{C P}{C O} = \frac{2}{3}$ . În triunghiul ADB, DM este mediană (M este mijlocul lui AB) și $D N = 4 = \frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2}{3} D M$ , deci N este centrul de greutate al triunghiului ADB; atunci N se află pe mediana AO și $\frac{A N}{A O} = \frac{2}{3}$ . În triunghiul AOC:

\frac{A N}{A O} = \frac{C P}{C O} = \frac{2}{3},

deci, din reciproca teoremei lui Thales, $N P ∥ A C$ .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 5 cm și AC = 12 cm. Punctul D aparține segmentului AC astfel încât DC = 3AD. Perpendiculara din punctul D pe dreapta BC intersectează latura BC în punctul E. a) Arată că sinusul unghiului ACB este egal cu

\frac{5}{13}

. b) Arată că lungimea segmentului DE este mai mică decât 3,5 cm.

Vezi rezolvarea

a) Din teorema lui Pitagora, $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} =$ $\sqrt{25 + 144} = 13$ cm, deci $\sin (∢ A C B) = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}$ .

b) Din $A D + D C = 12$ și $D C = 3 A D$ obținem AD = 3 cm și DC = 9 cm. Triunghiurile CED și CAB sunt dreptunghice (în E, respectiv A) și au unghiul C comun, deci △CED ∼ △CAB și

\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{C B} \Rightarrow \frac{D E}{5} = \frac{9}{13},

deci $D E = \frac{45}{13}$ cm.

Cum $\frac{45}{13} < 3, 5 \Leftrightarrow 45 < 45, 5$ , rezultă DE < 3,5 cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, AB = VA = 6 cm. Punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor BC, AD, respectiv VB. a) Arată că unghiul dintre dreapta VB și planul (ABC) are măsura de 45°. b) Arată că planele (NCV) și (AMP) sunt paralele.

Vezi rezolvarea

a) Fie O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Piramida este regulată, deci VO ⊥ (ABC) și proiecția dreptei VB pe planul (ABC) este dreapta OB: m(∢(VB, (ABC))) = m(∢VBO). În triunghiul VBD avem VB = VD = 6 cm și $B D = 6 \sqrt{2}$ cm, deci $V B^{2} + V D^{2} = 72 = B D^{2}$ : triunghiul VBD este dreptunghic isoscel, iar m(∢VBO) = m(∢VBD) = 45°.

b) AN = MC = 3 cm (jumătăți ale laturilor opuse AD și BC) și $A N ∥ M C$ , deci AMCN este paralelogram și $A M ∥ C N$ . PM este linie mijlocie în triunghiul BCV, deci $P M ∥ C V$ . Așadar dreptele AM și MP din planul (AMP), concurente în M, sunt paralele cu dreptele CN, respectiv CV din planul (NCV). Rezultă că planele (NCV) și (AMP) sunt paralele.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Simulare Evaluare Națională 2021 matematică — subiectele rezolvate

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională