Test 3 antrenament EN 2021 matematică

Test 3 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 12, 13, 14 și 15, numărul divizibil cu 6 este:

12 ✓ răspuns corect
13
14
15

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $12 = 6 \cdot 2$ , deci 12 este divizibil cu 6. Celelalte nu sunt: 13 este prim, $14 = 2 \cdot 7$ , $15 = 3 \cdot 5$ .

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Dacă a/4 = 5/b, b ≠ 0, atunci valoarea produsului a · b este:

20 ✓ răspuns corect
9
5/4
4/5

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a \cdot b = 4 \cdot 5 = 20$ .

Capcana tipică: 9 = 4 + 5 este suma, nu produsul.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Luni, temperatura înregistrată la ora 10 la o stație meteo a fost de −3°C, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate 3°C. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu:

−3°C
0°C
3°C
6°C ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diferența de temperatură este $3 - (- 3) = 3 + 3 = 6$ °C.

Capcana tipică: $3 - 3 = 0$ ar însemna că luni au fost tot +3 °C.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 1/2, 2/3, 3/4 și 4/5, cel mai mare este:

1/2
2/3
3/4
4/5 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Toate fracțiile sunt pozitive și subunitare: $\frac{1}{2} = 0, 5$ , $\frac{2}{3} \approx 0, 67$ , $\frac{3}{4} = 0, 75$ , $\frac{4}{5} = 0, 8$ . Cea mai mare este $\frac{4}{5}$ .

Capcana tipică: Fiecare fracție este 1 minus o „bucată”: $1 - \frac{1}{2}$ , …, $1 - \frac{1}{5}$ ; bucata cea mai mică dă numărul cel mai mare.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Lara, Patrick, Tudor și Sofia, au calculat produsul numerelor −4√2 și 8√2. Rezultatele obținute sunt: Lara = −128, Patrick = −64, Tudor = 64, Sofia = 128. Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

Lara
Patrick ✓ răspuns corect
Tudor
Sofia

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $(- 4 \sqrt{2}) \cdot 8 \sqrt{2} = - 32 \cdot (\sqrt{2})^{2} =$ $- 32 \cdot 2 = - 64$ , deci rezultatul corect l-a obținut Patrick.

Capcana tipică: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , nu 4 (de aici −128); semnul rămâne minus.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Se consideră intervalele A = (−1, 5) și B = [2, 9]. Un număr care aparține mulțimii A ∩ B este:

−1
2 ✓ răspuns corect
5
9

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A \cap B = (- 1, 5) \cap [2, 9] = [2, 5)$ . Dintre variante, doar 2 aparține acestui interval.

Capcana tipică: 5 nu aparține lui A (paranteză rotundă), iar −1 și 9 sunt în afara intersecției.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Se consideră punctele A(1, 1) și B(1, 3), reprezentate într-un sistem de axe ortogonale xOy. Coordonatele punctului de intersecție a mediatoarei segmentului AB cu axa Oy sunt:

(0, 2) ✓ răspuns corect
(2, 0)
(1, 2)
(2, 1)

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Mijlocul segmentului AB este M(1, 2). AB este paralel cu axa Oy, deci mediatoarea (perpendiculara pe AB în M) este paralela prin M la axa Ox: toate punctele ei au ordonata 2. Ea taie axa Oy în punctul (0, 2).

Capcana tipică: (1, 2) este mijlocul lui AB, dar nu se află pe axa Oy.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, unghiurile AOB și COD sunt opuse la vârf. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și BOD este egală cu:

180° ✓ răspuns corect
90°
89°
0°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Și unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf, deci congruente. Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt semidrepte opuse, deci formează un unghi de 180°.

Capcana tipică: 90° este unghiul dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare (de exemplu AOC și AOB).

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Se consideră triunghiul dreptunghic ABC și punctul G, centrul de greutate al triunghiului. Dacă lungimea ipotenuzei BC este de 12 cm, atunci lungimea segmentului AG este egală cu:

2 cm
3 cm
4 cm ✓ răspuns corect
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: AM = 6 cm (M mijlocul lui BC). Centrul de greutate se află la $\frac{2}{3}$ din mediană față de vârf: $A G = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ cm.

Capcana tipică: 6 cm este toată mediana AM, nu segmentul AG.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat un pătrat ABCD, cu AB = 6 cm. Dacă dreptele BD și BM sunt perpendiculare și punctele D, C și M sunt coliniare, atunci lungimea segmentului DM este egală cu:

6 cm
8 cm
10 cm
12 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢DBC) = 45° (diagonala pătratului este bisectoare) și $B D ⊥ B M$ , deci m(∢CBM) = 45°. Triunghiul BCM este dreptunghic isoscel: CM = BC = 6 cm, deci $D M = 6 + 6 = 12$ cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată AB și CD sunt diametre în cercul de centru O, iar măsura arcului mic BD este de 60°. Măsura unghiului CDA este de:

30° ✓ răspuns corect
60°
90°
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: ∢AOC și ∢BOD sunt opuse la vârf, deci arcul AC are tot 60°. Unghiul CDA este înscris în cerc și cuprinde arcul AC: m(∢CDA) = 60° : 2 = 30°.

Capcana tipică: 60° este măsura unghiului la centru; unghiul înscris are jumătate din arc.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDEFGH. Diagonala bazei EG are lungimea egală cu 4√2 cm. Aria totală a cubului este egală cu:

32 cm²
48 cm²
64 cm²
96 cm² ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diagonala unei fețe este $ℓ \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ , deci $ℓ = 4$ cm. Aria totală: $6 \cdot ℓ^{2} = 6 \cdot 16 = 96$ cm².

Capcana tipică: 64 cm² este volumul (în cm³), iar 32 cm² nu ține cont de toate cele 6 fețe.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 3 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Dina are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește

\frac{3}{4}

din sumă, iar în a doua zi

\frac{1}{3}

din rest, adică 12 lei. a) Ce sumă de bani mai are Dina după cele două zile? b) Determină suma de bani avută inițial de Dina.

Vezi rezolvarea

a) În a doua zi cheltuiește $\frac{1}{3}$ din rest, deci îi rămân $\frac{2}{3}$ din rest. Cum $\frac{1}{3}$ din rest înseamnă 12 lei, Dinei îi rămân $2 \cdot 12 = 24$ de lei.

b) Restul după prima zi este $3 \cdot 12 = 36$ de lei și reprezintă $\frac{1}{4}$ din suma inițială $x$ :

x = \frac{3}{4} x + 36 \Rightarrow

\frac{1}{4} x = 36 \Rightarrow x = 144.

Dina a avut inițial 144 de lei.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (3 x - 1)^{2}

- 7 (x + 1) (x - 2) - (x + 3)^{2},

unde

x

este număr real. a) Arată că

(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2

, pentru orice număr real

x

. b) Demonstrează că

E (x) = (x - 2) (x - 3)

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

a) $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - 2 x + x - 2 =$ $x^{2} - x - 2$ .

b) Folosind a):

E (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1

- 7 (x^{2} - x - 2)

- (x^{2} + 6 x + 9)

= 9 x^{2} - 6 x + 1 - 7 x^{2}

+ 7 x + 14 - x^{2} - 6 x - 9

= x^{2} - 5 x + 6.

Descompunem: $x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = x (x - 2) - 3 (x - 2) =$ $(x - 2) (x - 3)$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele reale

x = (\frac{2}{\sqrt{12}} + \frac{9}{\sqrt{27}} + \frac{6}{\sqrt{108}})

\cdot {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{- 1}

și

y = {(5^{6})}^{3} \cdot 25^{3} : 125^{8} .

a) Arată că

x = 5

. b) Arată că produsul numerelor

x

și

y

este un număr natural prim.

Vezi rezolvarea

a) $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ , $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ , $\sqrt{108} = 6 \sqrt{3}$ , iar ${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{- 1} = \sqrt{3}$ :

x = (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot \sqrt{3}

= \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 5.

b) Scriem totul ca puteri ale lui 5:

y = 5^{18} \cdot (5^{2})^{3} : (5^{3})^{8}

= 5^{18 + 6 - 24} = 5^{0} = 1.

$x \cdot y = 5 \cdot 1 = 5$ , care este număr natural prim.

Problema 4 (5 puncte)

Se consideră rombul ABCD, cu AB = 18 cm și m(∢ABC) = 60°. a) Arată că perimetrul rombului ABCD este egal cu 72 cm. b) Arată că lungimea diagonalei BD este egală cu

18 \sqrt{3}

cm.

Vezi rezolvarea

a) Toate laturile rombului sunt egale: $P_{A B C D} = 4 \cdot A B = 4 \cdot 18 = 72$ cm.

b) Triunghiul ABC are AB = BC și m(∢ABC) = 60°, deci este echilateral. Fie ${O} = A C \cap B D$ . Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci BO este înălțime în triunghiul echilateral ABC:

B O = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3} cm .

O este mijlocul lui BD, deci $B D = 2 \cdot B O = 18 \sqrt{3}$ cm.

Problema 5 (5 puncte)

Se consideră dreptunghiul ABCD cu

A B = 10 \sqrt{2}

cm și BC = 20 cm. Punctul E este mijlocul laturii BC și punctul F este situat pe segmentul AE, astfel încât

B F ⊥ A E

. a) Arată că aria dreptunghiului ABCD este egală cu

200 \sqrt{2}

cm². b) Demonstrați că punctele B, F și D sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

a) $A_{A B C D} = A B \cdot B C = 10 \sqrt{2} \cdot 20 = 200 \sqrt{2}$ cm².

b) BE = 10 cm, iar triunghiul ABE este dreptunghic în B:

A E = \sqrt{A B^{2} + B E^{2}}

= \sqrt{200 + 100} = 10 \sqrt{3} cm .

BF este înălțimea din unghiul drept, deci (teorema catetei) $B E^{2} = E F \cdot A E$ :

E F = \frac{100}{10 \sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}

= \frac{1}{3} \cdot A E .

AE este mediană în triunghiul ABC (E este mijlocul lui BC), iar F se află pe ea cu $E F = \frac{1}{3} A E$ ; deci F este centrul de greutate al triunghiului ABC. Fie ${O} = A C \cap B D$ ; O este mijlocul lui AC, deci BO este tot o mediană a triunghiului ABC și $F \in B O$ . Cum O se află pe BD, punctele B, F și D sunt coliniare.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 12 cm, BC = 6 cm și

A A^{'} = 6 \sqrt{2}

cm. Punctul M este mijlocul muchiei CD. a) Arată că aria triunghiului AMB este egală cu 36 cm². b) Determină distanța de la punctul A′ la dreapta MB.

Vezi rezolvarea

a) Distanța de la M la dreapta AB este BC = 6 cm (M se află pe CD, paralelă cu AB):

A_{A M B} = \frac{A B \cdot 6}{2}

= \frac{12 \cdot 6}{2} = 36 {cm}^{2} .

b) DM = MC = 6 cm, deci $A M = \sqrt{A D^{2} + D M^{2}} = \sqrt{36 + 36} = 6 \sqrt{2}$ cm și, analog, $M B = 6 \sqrt{2}$ cm. Cum $A M^{2} + M B^{2} = 72 + 72 = 144 = A B^{2}$ , triunghiul AMB este dreptunghic în M: $M B ⊥ M A$ .

$A A^{'} ⊥ (A B C)$ , deci $A A^{'} ⊥ M B$ . Dreptele AA′ și AM sunt concurente în A și incluse în planul (AA′M), deci $M B ⊥ (A A^{'} M)$ , de unde $M B ⊥ A^{'} M$ . Atunci

d (A^{'}, M B) = A^{'} M

= \sqrt{A A^{' 2} + A M^{2}}

= \sqrt{72 + 72} = 12 cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 3 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională