Rapoarte, proporții și procente la Evaluarea Națională — probleme rezolvate

Rapoartele și proporțiile apar în fiecare variantă de Evaluare Națională: la Subiectul I, itemul cu o proporție (${\displaystyle \frac{x}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$) sau cu rapoarte egale din care se calculează o expresie (${\displaystyle \frac{a}{3}}={\displaystyle \frac{b}{4}}\Rightarrow 4a-3b$), un item cu procente sau cu o fracție dintr-un număr, iar la Subiectul al III-lea, problema 1, adesea o problemă cu procente sau cu părți dintr-un întreg („în prima zi 30% din traseu, în a doua zi o treime din rest…”). Aici sunt toți cei 35 de itemi de acest tip din 20 de variante oficiale (examen, simulare, model, rezervă, 2021–2026), grupați pe tipuri, cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Proporția ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ (cu $b,d\ne 0$) este echivalentă cu $a\cdot d=b\cdot c$: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Un termen necunoscut se află din această egalitate: ${\displaystyle \frac{x}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=9$ — rapoarte, proporții și procente, regula de trei simplă.
• Rapoarte egale cu două necunoscute: notezi valoarea comună cu $k$. Din ${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{b}{5}}=k$ rezultă $a=2k$, $b=5k$, deci $5a-2b=10k-10k=0$, oricare ar fi $k$. Dacă se dă și valoarea (${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{b}{5}}=3$), atunci $a=6$, $b=15$.
• Procente: $p\mathrm{\%}$ din $N$ este ${\displaystyle \frac{p}{100}}\cdot N$; după o scumpire cu $p\mathrm{\%}$ prețul devine $N(1+{\displaystyle \frac{p}{100}})$, după o reducere cu $p\mathrm{\%}$ devine $N(1-{\displaystyle \frac{p}{100}})$. Două reduceri succesive de 10% aplicate la 400 de lei dau $400\cdot 0,9\cdot 0,9=324$ de lei, nu 320 — calculator procente.
• Fracție dintr-un număr: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ din 20 înseamnă ${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 20=15$. „O treime din rest” se calculează din ce a rămas, nu din întreg.
• Mărimi proporționale: $a,b$ direct proporționale cu $x,y$ înseamnă ${\displaystyle \frac{a}{x}}={\displaystyle \frac{b}{y}}$; invers proporționale înseamnă $a\cdot x=b\cdot y$. Distanța parcursă cu viteză constantă este direct proporțională cu timpul: $d=v\cdot t$ — calculator regula de trei simplă.

Exersează cu fișa rapoarte, proporții și procente (clasa a VI-a).

Ce tipuri de cerințe apar

Enunțurile sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate în fiecare grupă de la cele mai noi la cele mai vechi. Rezolvă singur întâi, apoi deschide rezolvarea completă (acolo este marcat și răspunsul corect).

Proporții: aflarea termenului necunoscut

EN 2026, examen — Subiectul I, itemul 5

1. Ioana
2. Andreea
3. Luca
4. Radu

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul I, itemul 3

Dacă $\frac{a}{4}=\frac{5}{2}$, atunci rezultatul calculului $2a+10$ este egal cu:

1. 30
2. 20
3. 15
4. 10

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$, atunci $\frac{a}{4}$ este egal cu:

1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{4}{3}$
3. 2
4. 3

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{x}{9}=\frac{2}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu:

1. $\frac{27}{2}$
2. 6
3. 2
4. $\frac{1}{6}$

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$, atunci $4\cdot x$ este egal cu:

1. $\frac{3}{2}$
2. $\frac{8}{3}$
3. 6
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, atunci numărul $a$ este egal cu:

1. $\frac{2}{3}$
2. 1
3. $\frac{3}{2}$
4. 6

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Rapoarte egale: valoarea unei expresii

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5$, rezultatul calculului $a+b$ este egal cu:

1. 7
2. 10
3. 12
4. 35

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{x-1}{7}=\frac{y}{2}$, rezultatul calculului $2x-7y$ este egal cu:

1. 0
2. 1
3. 2
4. 5

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 2

Dacă $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$, $a\ne 0$, atunci raportul $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}$ este egal cu:

1. $\frac{12}{13}$
2. 1
3. $\frac{12}{11}$
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2024 — Subiectul I, itemul 2

Dacă (x − 2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x − 5y este:

1. 0
2. 2
3. 5
4. 6

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$, $y\ne 0$, rezultatul calculului $2x-5y+10$ este egal cu:

1. 0
2. 7
3. 10
4. 17

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul I, itemul 2

Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, atunci rezultatul calculului $4a-3b$ este egal cu:

1. 0
2. 1
3. 7
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2022, examen — Subiectul I, itemul 2

Dacă $b\ne 0$ și $\frac{a}{2}=\frac{10}{b}$, atunci $a\cdot b$ este egal cu:

1. 2
2. 5
3. 10
4. 20

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul I, itemul 2

1. -5
2. -1
3. 0
4. 5

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Procente, fracții dintr-un număr și mărimi proporționale (Subiectul I)

EN 2026, examen — Subiectul I, itemul 2

Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților participanți la acest concurs este egal cu:

1. 150
2. 125
3. 100
4. 90

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul I, itemul 6

Un telefon care costă 1000 de lei se scumpește cu 20%. Matei afirmă: „Noul preț al telefonului este 1200 de lei.”. Afirmația lui Matei este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2026 — Subiectul I, itemul 2

Din cei 26 de elevi ai unei clase, 50% sunt băieți. Numărul băieților este:

1. 5
2. 12
3. 13
4. 20

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2026 — Subiectul I, itemul 4

Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților care participă la concurs este egal cu:

1. 160
2. 150
3. 100
4. 90

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul I, itemul 2

Numărul care reprezintă 10% din 50 este egal cu:

1. 40
2. 10
3. 5
4. 1

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2024, examen — Subiectul I, itemul 2

Un album costă 200 de lei. După o reducere cu 20%, prețul albumului este egal cu:

1. 20 de lei
2. 40 de lei
3. 160 de lei
4. 180 de lei

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2023, examen — Subiectul I, itemul 4

Numărul care reprezintă $\frac{2}{3}$ din 12 este egal cu:

1. 2
2. 4
3. 8
4. 12

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2023 — Subiectul I, itemul 2

Numărul care reprezintă 20% din 50 este egal cu:

1. 10
2. 20
3. 25
4. 100

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul I, itemul 6

O mașină se deplasează în intervalul orar 12:56 – 14:26 cu o viteză medie de 80 km/h. Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu 200 km. Afirmația lui Mihai este:

1. adevărată
2. falsă

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul I, itemul 2

Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:

1. 10 lei
2. 90 de lei
3. 100 de lei
4. 110 lei

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul I, itemul 2

1. 20
2. 25
3. 40
4. 50

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul I, itemul 6

1. 45% din elevi
2. 35% din elevi
3. 25% din elevi
4. 15% din elevi

Vezi răspunsul și rezolvarea pas cu pas →

Probleme cu procente și părți dintr-un întreg (Subiectul al III-lea)

EN 2026, subiect de rezervă — Subiectul al III-lea, problema 1

Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește 45 de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial. a) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat. b) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2025, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu 75% din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu 40% din prețul unui pix. a) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat. b) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de 45 de lei, determină prețul unui caiet.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 1

Un bunic dorește să împartă suma de 126 de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin. a) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei 40 de lei. Justifică răspunsul dat. b) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu 10% mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2025 — Subiectul al III-lea, problema 1

O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în 3 zile. În prima zi a construit 30% din lungimea pistei, în a doua zi 60% din ce a rămas și în ultima zi cu 7 km mai puțin decât în a doua zi. a) Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2024 — Subiectul al III-lea, problema 1

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20% din întreaga sumă, în a doua zi 30% din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei. a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat. b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Model EN 2023 — Subiectul al III-lea, problema 1

Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 30% din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de 72 km. a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2022 — Subiectul al III-lea, problema 3

Prețul unui obiect este 500 de lei. După o ieftinire cu 12% din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu $p\mathrm{\%}$ din noul preț, obiectul costă 330 de lei. a) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă 440 de lei. b) Determină numărul $p$.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

EN 2021, examen — Subiectul al III-lea, problema 1

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu 6 km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi 50% din distanța parcursă în primele două zile. a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte 50% din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi 9 km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare EN 2021 — Subiectul al III-lea, problema 1

Oana începe să citească o carte. În prima zi citește jumătate din numărul paginilor cărții, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi citește jumătate din numărul paginilor rămase și constată că mai are de citit 32 de pagini. a) Dacă ar continua să citească zilnic jumătate din numărul de pagini rămase, câte pagini ar avea de citit în cea de-a cincea zi? b) Determină numărul de pagini ale cărții.

Vezi rezolvarea pas cu pas →

Greșeli frecvente

• Înmulțești „în cruce” greșit: din ${\displaystyle \frac{x}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ rezultă $3x=12$, deci $x=4$, nu $x=9$.
• După o reducere cu 20% urmată de o scumpire cu 20%, prețul nu revine la valoarea inițială: $100\cdot 0,8\cdot 1,2=96$.
• La „60% din ce a rămas” calculezi 60% din întreg; procentul se aplică restului.
• La a doua reducere aplici procentul la prețul inițial, deși enunțul spune „din noul preț”.
• Calculezi corect $k$, dar uiți să răspunzi la întrebare: dacă se cere $a+b$, nu te oprești la $a$ și $b$.

Alte capitole de Evaluare Națională: Numere reale și fracții la EN · Sisteme de ecuații la EN · Geometrie în spațiu la EN · Ecuații la EN · Funcții la EN · Geometrie plană la EN · Calcul și procente la EN · Statistică la EN · Arii și perimetre la EN · Pitagora la EN.

Întrebări frecvente

Ce proporții se dau la Evaluarea Națională? La Subiectul I apare de obicei o proporție din care se află o necunoscută, de tipul x/9 = 2/3, sau două rapoarte egale cu două necunoscute, de tipul a/3 = b/4, din care se calculează o expresie, de exemplu 4a − 3b. Se rezolvă cu proprietatea fundamentală a proporțiilor sau notând valoarea comună a rapoartelor cu k.

Cum calculez 2x − 5y dacă x/y = 5/2? Din proprietatea fundamentală a proporțiilor, 2x = 5y, deci 2x − 5y = 0. Altfel, scrii x = 5k și y = 2k și obții 2 · 5k − 5 · 2k = 0. Metoda cu k funcționează pentru orice expresie liniară în x și y.

Cum rezolv o problemă cu procente din rest la Subiectul III? Notezi întregul cu x și scrii pe rând ce s-a consumat în fiecare etapă: de exemplu, 30% din x în prima zi, apoi 60% din restul de 0,7x în a doua zi. Aduni părțile sau scrii ce a rămas, egalezi cu valoarea dată în enunț și rezolvi ecuația, apoi verifici rezultatul.

← Toate subiectele de Evaluare Națională rezolvate · Formule clasa a 8-a

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.