Test 1 antrenament EN 2021 matematică

Test 1 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2021 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, cu rezolvări complete după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 20 − 2 · 10 este numărul:

0 ✓ răspuns corect
1
8
18

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Înmulțirea se face înaintea scăderii: $2 \cdot 10 = 20$ , apoi $20 - 20 = 0$ .

Capcana tipică: Dacă scazi întâi (20 − 2 = 18) și apoi înmulțești cu 10, obții greșit 180.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul care reprezintă 1/3 din 60 este:

10
15
20 ✓ răspuns corect
30

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{1}{3}$ din 60 înseamnă $60 : 3 = 20$ .

Capcana tipică: 30 este jumătate din 60, nu o treime.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Radu, Gabriel, Alexandru și Mihail, au calculat media aritmetică a numerelor x = √3 + 1 și y = √3 − 1. Rezultatele obținute sunt: Radu = 1, Gabriel = 0, Alexandru = 2√3, Mihail = √3. Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

Radu
Gabriel
Alexandru
Mihail ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Media aritmetică este $\frac{x + y}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ , deci rezultatul corect l-a obținut Mihail.

Capcana tipică: $2 \sqrt{3}$ este suma numerelor; Alexandru a uitat să împartă la 2.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre următoarele secvențe de numere, cea care conține numai numere divizibile cu 5 este:

0, 5, 10, 15 ✓ răspuns corect
0, 2, 5, 10
0, 2, 4, 6
5, 6, 10, 15

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima lui cifră este 0 sau 5. În secvența 0, 5, 10, 15 toate numerele respectă regula; celelalte secvențe conțin 2, 4 sau 6.

Capcana tipică: Și 0 este divizibil cu 5, deoarece $0 = 5 \cdot 0$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Se consideră mulțimea B = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 6}. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii B prin enumerarea elementelor sale este:

{3, 4, 5}
{2, 3, 4, 5} ✓ răspuns corect
{3, 4, 5, 6}
{4, 5, 6}

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele naturale $x$ cu $2 \leq x < 6$ sunt 2, 3, 4 și 5, deci $B = {2, 3, 4, 5}$ .

Capcana tipică: 2 aparține mulțimii (inegalitate nestrictă „≤”), iar 6 nu aparține (inegalitate strictă „<”).

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la un test de matematică din semestrul I. Note: 1−10; număr de elevi: 0, 0, 0, 2, 5, 4, 5, 3, 4, 3. Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut note mai mari decât 8 la testul de matematică este:

7 ✓ răspuns corect
9
10
11

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Note mai mari decât 8 sunt 9 și 10: $4 + 3 = 7$ elevi.

Capcana tipică: „Mai mari decât 8” nu include nota 8; cu ea s-ar obține 10.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D, M și P. Simetricul punctului A față de punctul P este punctul:

A
B
C ✓ răspuns corect
D

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Simetricul lui A față de P este punctul A′ pentru care P este mijlocul segmentului AA′. Pe rețea, de la A la P mergem 2 pătrățele la dreapta și 1 în sus; repetând același pas din P ajungem în C. Deci simetricul lui A este C.

Capcana tipică: D și M sunt pe aceeași linie cu A, dar P nu este mijlocul segmentelor AD sau AM.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată punctul M este mijlocul segmentului AC cu AC = 6 cm. Lungimea segmentului AM este:

3 cm ✓ răspuns corect
3,5 cm
4,5 cm
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: M este mijlocul lui AC, deci $A M = \frac{A C}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu baza BC. Punctul D este mijlocul segmentului BC, AB = 5 cm și BD = 4 cm. Perimetrul triunghiului ABC este:

9 cm
14 cm
18 cm ✓ răspuns corect
30 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: D este mijlocul lui BC, deci $B C = 2 \cdot B D = 8$ cm. Triunghiul este isoscel cu baza BC, deci AC = AB = 5 cm și $P = 5 + 5 + 8 = 18$ cm.

Capcana tipică: Răspunsul 14 cm apare dacă folosești BD = 4 cm în locul laturii BC = 8 cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez dreptunghic ABCD cu AD ⊥ AB și AB ∥ CD. Semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC, AB = 160 m și CD = 100 m. Aria terenului este:

8000 m²
10400 m² ✓ răspuns corect
13000 m²
16000 m²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BD este bisectoare, deci ∢ABD ≡ ∢DBC; din AB ∥ CD, ∢CDB ≡ ∢ABD (alterne interne). Triunghiul BCD este isoscel: BC = CD = 100 m. Ducem $C E ⊥ A B$ : EB = 160 − 100 = 60 m și $C E = \sqrt{100^{2} - 60^{2}} = 80$ m. Aria este $\frac{(160 + 100) \cdot 80}{2} = 10400$ m².

Capcana tipică: Înălțimea trapezului nu este dată direct — se obține din triunghiul dreptunghic CEB.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată AB și CD sunt diametre în cercul de centru O, iar măsura arcului mic BD este de 60°. Măsura unghiului AOC este de:

30°
60° ✓ răspuns corect
90°
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf. Unghiul la centru BOD are măsura arcului BD, adică 60°, deci m(∢AOC) = 60°.

Capcana tipică: 120° este măsura unghiului AOD (suplementul lui BOD).

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat un acvariu în formă de cub ABCDA'B'C'D', AB = 30 cm. Pentru umplerea acvariului, care are inițial 9 litri de apă, Andrei va trebui să adauge:

10 litri de apă
18 litri de apă ✓ răspuns corect
27 litri de apă
30 litri de apă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Volumul cubului: $30^{3} = 27000$ cm³ = 27 dm³ = 27 litri. Mai trebuie adăugați $27 - 9 = 18$ litri de apă.

Capcana tipică: 27 litri este capacitatea întregului acvariu, nu cantitatea care trebuie adăugată.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din Testul 1 oficial (Ministerul Educației – CNPEE, 2021), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

În urmă cu 8 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 36 ani. a) Verifică dacă, în prezent, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui. b) Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

Vezi rezolvarea

a) În urmă cu 8 ani tatăl avea $36 - 8 = 28$ de ani, iar fiul $28 : 7 = 4$ ani. În prezent fiul are $4 + 8 = 12$ ani. Cum $36 : 12 = 3$ , da, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui.

b) Notăm cu $x$ numărul de ani care trebuie să treacă:

36 + x = 2 (12 + x)

36 + x = 24 + 2 x \Rightarrow x = 12.

Peste 12 ani (tatăl va avea 48 de ani, iar fiul 24).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (x + 1)^{2}

+ 2 (x + 1) (x - 2)

+ (x - 2)^{2} .

a) Arată că

E (x) = (2 x - 1)^{2}

, pentru orice număr real

x

. b) Determină numărul natural

a

pentru care

E (\sqrt{2}) + a \sqrt{2}

reprezintă un număr natural.

Vezi rezolvarea

a) Expresia are forma $u^{2} + 2 u v + v^{2} = (u + v)^{2}$ , cu $u = x + 1$ și $v = x - 2$ :

E (x) = ((x + 1) + (x - 2))^{2}

= (2 x - 1)^{2} .

b) $E (\sqrt{2}) = (2 \sqrt{2} - 1)^{2} =$ $8 - 4 \sqrt{2} + 1 = 9 - 4 \sqrt{2}$ . Atunci

E (\sqrt{2}) + a \sqrt{2}

= 9 + (a - 4) \sqrt{2} .

Acest număr este natural doar dacă termenul cu $\sqrt{2}$ dispare ( $\sqrt{2}$ este irațional), adică $a - 4 = 0$ . Deci $a = 4$ (și se obține numărul 9).

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră numerele

x = (\frac{8}{\sqrt{18}} + \frac{6}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

și

y = (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{5}{\sqrt{147}}) : \frac{\sqrt{3}}{14} .

a) Arată că

x = \frac{2}{3}

. b) Arată că suma numerelor

x

și

y

este număr natural.

Vezi rezolvarea

a) $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ , deci $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{18}{3 \sqrt{2}}$ și

x = \frac{8 + 18}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

= \frac{26}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{13}

= \frac{26}{39} = \frac{2}{3} .

b) $\sqrt{147} = 7 \sqrt{3}$ , deci

y = (\frac{7}{7 \sqrt{3}} - \frac{5}{7 \sqrt{3}}) \cdot \frac{14}{\sqrt{3}}

= \frac{2}{7 \sqrt{3}} \cdot \frac{14}{\sqrt{3}}

= \frac{28}{21} = \frac{4}{3} .

$x + y = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ , care este număr natural.

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un pătrat ABCD și un triunghi dreptunghic isoscel AEB, dreptunghic în E și

A E = 4 \sqrt{2}

cm. Punctul F este simetricul punctului C față de punctul D. a) Demonstrează că punctele E, A și F sunt coliniare. b) Arată că, dacă P este punctul de intersecție a dreptelor AC și DE, atunci P este mijlocul segmentului DE.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul AEB este dreptunghic isoscel, deci m(∢BAE) = 45°. Cum FD = DC (F este simetricul lui C față de D) și DC = AD, triunghiul ADF este dreptunghic isoscel, deci m(∢FAD) = 45°. Atunci

m (∢ F A E) = 45^{\circ} + 90^{\circ} + 45^{\circ}

= 180^{\circ},

adică punctele E, A și F sunt coliniare.

b) $A B = A E \sqrt{2} = 8$ cm, deci diagonala pătratului este $B D = 8 \sqrt{2}$ cm. Fie ${O} = A C \cap B D$ ; atunci $D O = \frac{B D}{2} = 4 \sqrt{2}$ cm = AE.

m(∢ABD) = 45° = m(∢EAB), unghiuri alterne interne, deci $A E ∥ B D$ , adică $A E ∥ D O$ . Cum și AE = DO, patrulaterul ADOE este paralelogram. DE și AO sunt diagonalele lui, deci se înjumătățesc: punctul lor comun, $P = D E \cap A C$ , este mijlocul segmentului DE.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul EBC, dreptunghic în B. Proiecția punctului B pe dreapta EC este punctul A, care determină pe EC segmentele AC = 8 cm și AE = 2 cm. a) Arată că BA = 4 cm. b) Arată că perimetrul triunghiului BCE este mai mic decât 28 cm.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul EBC este dreptunghic în B și $B A ⊥ E C$ . Din teorema înălțimii:

B A = \sqrt{A E \cdot A C} = \sqrt{2 \cdot 8}

= \sqrt{16} = 4 cm .

b) EC = 2 + 8 = 10 cm. Triunghiul BAC este dreptunghic în A: $B C = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ cm. Triunghiul BAE este dreptunghic în A: $E B = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ cm.

P_{B C E} = 2 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 10

= 6 \sqrt{5} + 10 cm .

$6 \sqrt{5} + 10 < 28 \Leftrightarrow 6 \sqrt{5} < 18 \Leftrightarrow$ $\sqrt{5} < 3 = \sqrt{9}$ , adevărat. Deci perimetrul este mai mic decât 28 cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm. a) Arată că valoarea cosinusului unghiului dintre dreapta BD′ și planul (ADC) este

\frac{\sqrt{6}}{3}

. b) Calculează distanța de la punctul A′ la planul (BC′D′).

Vezi rezolvarea

a) $D^{'} D ⊥ (A B C)$ , deci proiecția dreptei BD′ pe planul (ADC) = (ABC) este BD și ∢(BD′, (ADC)) = ∢D′BD. Triunghiul D′DB este dreptunghic în D, cu $D B = 6 \sqrt{2}$ cm (diagonala feței) și $D^{'} B = 6 \sqrt{3}$ cm (diagonala cubului):

\cos (∢ D^{'} B D) = \frac{D B}{D^{'} B}

= \frac{6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} .

b) Cum $A B ∥ D^{'} C^{'}$ , punctul A aparține planului (BC′D′). Fie ${O} = A^{'} D \cap A D^{'}$ . ADD′A′ este pătrat, deci $A^{'} O ⊥ A D^{'}$ . În plus $C^{'} D^{'} ⊥ (A D D^{'})$ și $A^{'} O \subset (A D D^{'})$ , deci $C^{'} D^{'} ⊥ A^{'} O$ . Dreptele AD′ și C′D′ sunt concurente în D′ și incluse în planul (BC′D′), deci $A^{'} O ⊥ (B C^{'} D^{'})$ și distanța căutată este

A^{'} O = \frac{A^{'} D}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2}

= 3 \sqrt{2} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 1 de antrenament — Evaluare Națională 2021 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională