Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională 2027 (clasa a VIII-a, an școlar 2026–2027), publicat de minister pe 1 noiembrie 2026, rezolvat complet: cei 12 itemi grilă din Subiectul I și Subiectul II, plus cele 6 probleme din Subiectul III, pas cu pas, conform baremului oficial. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Documente oficiale: subiectul și baremul se descarcă de pe subiecte.edu.ro — Modele de subiecte EN 2027 (arhiva EN_VIII_2027_Matematica_model.zip, cu fișierele ENVIII_Matematica_2027_var_model.pdf și ENVIII_Matematica_2027_bar_model.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore.
Rezolvare: Înmulțirea se efectuează înaintea adunării: \(6 \cdot 2 = 12\), apoi \(16 + 12 = 28\).
Capcana tipică: Dacă aduni întâi (\(16 + 6 = 22\)) și apoi înmulțești cu 2, obții greșit 44.
Rezolvare: Un kilogram costă \(18 : 6 = 3\) lei, deci 2 kg costă \(2 \cdot 3 = 6\) lei (regula de trei simplă: cantitatea scade de 3 ori, deci și prețul scade de 3 ori).
Capcana tipică: 3 lei este prețul unui singur kilogram, nu al celor 2 kg.
Rezolvare: \(-x = 8 - 2 = 6\), deci \(x = -6\). Verificare: \(2 - (-6) = 2 + 6 = 8\).
Capcana tipică: Uitarea semnului minus din fața lui \(x\) duce la răspunsul greșit 6.
Rezolvare: Scriem numerele cu aceleași zecimale: \(3{,}51 = 3{,}510000\ldots\), \(3{,}5(1) = 3{,}511111\ldots\), \(3{,}(51) = 3{,}515151\ldots\), \(3{,}511 = 3{,}511000\ldots\). Primele două zecimale sunt egale (5 și 1); la a treia zecimală, 3,(51) are cifra 5, celelalte au 0 sau 1. Cel mai mare număr este 3,(51).
Capcana tipică: 3,511 are „mai multe cifre scrise”, dar asta nu îl face mai mare; compară zecimală cu zecimală, după ce scrii perioada de câteva ori.
Patru elevi, Ioana, Sofia, Andrei și Dan, calculează media geometrică a numerelor \(a = 10\sqrt{5}\) și \(b = \frac{10}{\sqrt{5}}\). Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Ioana | Sofia | Andrei | Dan |
|---|---|---|---|
| \(10\sqrt{5}\) | \(6\sqrt{5}\) | 10 | 50 |
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Rezolvare: \(a \cdot b = 10\sqrt{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{5}} = 100\), deci \(m_g = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{100} = 10\). Rezultatul corect l-a obținut Andrei.
Capcana tipică: 50 este media aritmetică greșit calculată (\(100 : 2\)); media geometrică este radicalul produsului, nu jumătatea lui. Vezi media geometrică.
În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de cărți vândute într-o librărie în primele cinci luni ale anului 2026.
Enunțul „Conform informațiilor din diagramă, numărul de cărți vândute în luna martie este egal cu un sfert din numărul de cărți vândute în luna februarie.” este:
Rezolvare: Din diagramă: în februarie s-au vândut 2000 de cărți, iar în martie 500. Un sfert din 2000 este \(2000 : 4 = 500\), deci enunțul este adevărat.
Capcana tipică: Citește valorile pe axa verticală (gradațiile sunt din 500 în 500); nu compara martie cu aprilie (2500) sau cu ianuarie (1500).
Rezolvare: Simetricul lui M față de P este punctul X pentru care P este mijlocul segmentului MX, adică PX = MP. Cum MP = MN + NP = 2 segmente egale, iar PR = PQ + QR = tot 2 segmente egale, rezultă X = R.
Capcana tipică: Q este la distanța unui singur segment de P; simetricul trebuie să fie la aceeași distanță de P ca M.
Rezolvare: AB ∥ CD, iar AD este secantă; B și C sunt de o parte și de alta a lui AD, deci unghiurile BAD și ADC sunt alterne interne: m(∢BAD) = m(∢ADC) = 35°. Din DA ⊥ AC, m(∢CAD) = 90°. Atunci m(∢CAB) = m(∢CAD) + m(∢DAB) = 90° + 35° = 125°.
Capcana tipică: 55° este unghiul ACD (complementul lui 35° în triunghiul dreptunghic ACD), nu unghiul cerut.
Rezolvare: \(P = AB + AC + BC = 2 \cdot AB + 12 = 32\), deci \(2 \cdot AB = 20\) și \(AB = 10\) cm.
Capcana tipică: 20 cm este suma AB + AC; nu uita să împarți la 2.
Rezolvare: \(\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\sphericalangle BAD)\) \(= 20 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(= 100\sqrt{2}\) cm². Echivalent: înălțimea din D are lungimea \(10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\) cm, iar aria este \(20 \cdot 5\sqrt{2}\).
Capcana tipică: \(50\sqrt{2}\) cm² este aria triunghiului ABD (jumătate din paralelogram), iar 200 cm² ar fi aria dreptunghiului cu laturile 20 și 10.
Rezolvare: Cele trei arce egale acoperă tot cercul, deci fiecare are \(360° : 3 = 120°\). Unghiul ABC este înscris în cerc și cuprinde arcul AC, deci m(∢ABC) = \(\frac{120°}{2}\) = 60°. (Coardele egale arată că triunghiul ABC este echilateral.)
Capcana tipică: 120° este măsura arcului (și a unghiului la centru AOC); unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins.
Rezolvare: Muchia DD′ este perpendiculară pe planul bazei (ABC), deoarece DD′ ⊥ DA și DD′ ⊥ DC, iar DA și DC sunt concurente în acest plan. Dreapta AC este inclusă în planul (ABC), deci DD′ ⊥ AC și unghiul dreptelor are 90°.
Capcana tipică: Dreptele AC și DD′ nu se intersectează (sunt necoplanare), dar unghiul lor tot se poate calcula: o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. 45° este unghiul dintre AC și AB.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) \(26 = 5 \cdot 5 + 1\), deci restul împărțirii lui 26 la 5 este 1: dacă pixurile se împart în mod egal la 5 copii, în cutie rămâne un singur pix. Cum \(1 \ne 4\), în cutie nu pot fi exact 26 de pixuri.
b) Notăm cu \(x\) numărul de pixuri: \(x = 5a + 4\) și \(x = 6b + 5\), cu \(a, b\) numere naturale. Adunând 1: \(x + 1 = 5(a + 1)\) și \(x + 1 = 6(b + 1)\), deci \(x + 1\) este multiplu comun al numerelor 5 și 6. Cel mai mic multiplu comun este \([5, 6] = 30\), deci \(x + 1\) se divide cu 30. Cum \(80 \lt x \lt 100\), avem \(81 \lt x + 1 \lt 101\), iar singurul multiplu al lui 30 din acest interval este 90. Deci \(x + 1 = 90\), adică în cutie sunt 89 de pixuri. Verificare: \(89 = 5 \cdot 17 + 4 = 6 \cdot 14 + 5\).
a) Descompunem numitorul: \(x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)\). Simplificăm prima fracție cu \(x\) și aducem la numitorul comun \((x - 1)(x + 1)\):
\[\frac{x}{x(x^2-1)} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1 - x - 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{(1-x)(x+1)}.\]b) Cum \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\), din a) obținem
\[E(x) = \frac{x}{(1-x)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x+1}{1-x}.\]Atunci \(E(2) = -3\), \(E(3) = -\frac{4}{2}\), \(E(4) = -\frac{5}{3}\), \(E(5) = -\frac{6}{4}\), iar
\[A = \left(-\frac{3}{1}\right) \cdot \left(-\frac{4}{2}\right) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \cdot \left(-\frac{6}{4}\right) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15,\]care este număr natural (produsul a patru numere negative este pozitiv, iar fracțiile se simplifică „în lanț”).
a) \(f(0) = 0 - 2 = -2\) și \(f(2) = 2 - 2 = 0\), deci \(f(0) + f(2) = -2 + 0 = -2\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\), deci \(A(2, 0)\); \(f(0) = -2\), deci \(B(0, -2)\). Punctele A, B și C sunt coliniare, iar dreapta AB este chiar graficul funcției, deci C aparține graficului lui \(f\): \(f(2a) = a - 3\), adică \(2a - 2 = a - 3\), de unde \(a = -1\) și \(C(-2, -4)\).
\(\mathcal{A}_{\triangle AOB} = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2\). În triunghiul AOC, latura OA este pe axa Ox, iar înălțimea corespunzătoare este distanța de la C la Ox, adică \(|-4| = 4\): \(\mathcal{A}_{\triangle AOC} = \frac{d(C, Ox) \cdot OA}{2}\) \(= \frac{4 \cdot 2}{2} = 4\) \(= 2 \cdot \mathcal{A}_{\triangle AOB}\).
a) În triunghiul ADC, AM și CP sunt mediane (M este mijlocul lui CD, P este mijlocul lui AD), deci punctul lor de intersecție G este centrul de greutate al triunghiului ADC. Fie \(\{O\} = AC \cap BD\); diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci O este mijlocul lui AC și DO este a treia mediană a triunghiului ADC. Medianele sunt concurente, deci G aparține dreptei DO, adică punctele D, G și O sunt coliniare, iar G se află pe dreapta BD.
b) Ducem \(GQ \perp BC\), \(Q \in BC\). Atunci \(GQ \parallel DC\) (ambele perpendiculare pe BC), deci \(\triangle BGQ \sim \triangle BDC\) și
\[\frac{BQ}{BC} = \frac{BG}{BD} = \frac{GQ}{DC}.\]G este centrul de greutate, deci \(DG = \frac{2}{3} DO\); cum \(DO = \frac{BD}{2}\), obținem \(\frac{DG}{BD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), deci \(\frac{BG}{BD} = \frac{2}{3}\). Rezultă \(GQ = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) cm și \(BQ = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\) cm. Cum \(BN = \frac{BC}{2} = 3\) cm, avem \(NQ = BQ - BN = 1\) cm. În triunghiul NGQ, dreptunghic în Q, cu teorema lui Pitagora: \(GN = \sqrt{GQ^2 + QN^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\) cm.
a) Triunghiul DAM este dreptunghic în D (DM ⊥ AD), deci \(\cos(\sphericalangle DAM) = \frac{AD}{AM} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\), de unde m(∢DAM) = 60°. Cum M aparține segmentului AB, m(∢DAB) = 60°.
b) Ducem \(DN \perp AB\), \(N \in AB\). În triunghiul dreptunghic AND: \(\sin(\sphericalangle NAD) = \frac{DN}{AD}\), deci \(DN = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) cm (înălțimea trapezului). Din formula ariei trapezului:
\[\mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot DN}{2} = \frac{(AB + 4) \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{57\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB + 4 = 19 \Rightarrow AB = 15 \text{ cm}.\]Atunci \(BM = AB - AM = 15 - 12 = 3\) cm.
a) ABCD este romb, deci AD = DC = 12 cm; cum m(∢ADC) = 60°, triunghiul ADC este echilateral. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci DO este înălțime (și mediană) în triunghiul echilateral ADC: \(DO = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) cm.
b) În triunghiul VOD, dreptunghic în O: \(VD = \sqrt{VO^2 + OD^2}\) \(= \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12\) cm. Cum DN = 4 cm, VN = 8 cm, deci \(\frac{VN}{VD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} = \frac{VM}{VA}\); din reciproca teoremei lui Thales în triunghiul VAD, \(MN \parallel AD\).
Din \(PO = \frac{VP}{2}\) și \(VP + PO = 6\) obținem \(VP = 4\) cm și \(PO = 2\) cm, deci \(\frac{VP}{VO} = \frac{2}{3} = \frac{VM}{VA}\), iar în triunghiul VAO rezultă \(MP \parallel AO\). Planul (MNP) conține două drepte concurente (MN și MP, \(MN \cap MP = \{M\}\)) paralele cu două drepte concurente din planul (ABC) (AD și AO, \(AD \cap AO = \{A\}\)), deci \((MNP) \parallel (ABC)\).
Cum \(VO \perp (ABC)\) și planele sunt paralele, \(VO \perp (MNP)\), iar \(VO \cap (MNP) = \{P\}\). Distanța dintre planele paralele este lungimea segmentului perpendicular comun: \(d\big((MNP), (ABC)\big) = PO\) \(= \frac{VO}{3} = 2\) cm.
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.4 | Ordinea operațiilor, regula de trei, ecuații, fracții periodice | Fracții |
| I.5 | Media geometrică, radicali | Media geometrică |
| III.1 | Împărțirea cu rest, c.m.m.m.c. | c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. · calculator |
| III.2 | Rapoarte algebrice | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, arii în reper | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Unghiuri, triunghiuri, patrulatere, cerc, centrul de greutate | Patrulatere · Cercul · Aria triunghiului · fișă patrulatere · fișă cercul |
| II.6, III.6 | Perpendicularitate și paralelism în spațiu | Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan · fișă paralelism · fișă perpendicularitate |
Pentru antrenament complet, rezolvă și testele tip EN din fișele de lucru: Test model EN nr. 1, nr. 2, nr. 3 și problemele de geometrie în spațiu, apoi subiectele reale din 2026: EN 2026 — Examen rezolvat și EN 2026 — Simulare rezolvată. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Când a fost publicat modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică? Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) a publicat modelul de subiect și baremul pe 1 noiembrie 2026, pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2027.
Cum arată structura subiectului EN 2027 la matematică? Modelul are trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I și Subiectul II conțin câte 6 itemi grilă (încercuiești litera corectă), iar Subiectul III conține 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu punctele a) și b). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.
Cum se punctează grilele din modelul EN 2027? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte — se punctează doar răspunsul, fără punctaje intermediare. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din modelul EN 2027? Subiectul I: 1b, 2c, 3b, 4c, 5c, 6a. Subiectul II: 1d, 2c, 3b, 4c, 5b, 6a — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026) · Calculator medie admitere liceu
Subiect și barem © Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare). Sursă: subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.