Modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională 2023 (clasa a VIII-a, an școlar 2022–2023), publicat de Ministerul Educației (CNPEE) la începutul lunii noiembrie 2022, rezolvat complet: cei 12 itemi grilă din Subiectul I și Subiectul II, plus cele 6 probleme din Subiectul III, pas cu pas, conform baremului oficial. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți exersa și alte teste EN interactiv, cu scor instant.
Documente oficiale: subiectul și baremul au fost publicate pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2023 (arhiva EN_VIII_2023_Matematica_model.zip, copie arhivată, cu fișierele EN_VIII_Matematica_2023_var_model.pdf și EN_VIII_Matematica_2023_bar_model.pdf). Structura: 3 subiecte × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu, timp de lucru 2 ore. Pentru 2023 ministerul nu a publicat teste de antrenament separate — modelul, simularea și examenul sunt subiectele oficiale ale anului.
Rezolvare: Împărțirea se efectuează înaintea scăderii: \(56 : 8 = 7\), apoi \(64 - 7 = 57\).
Capcana tipică: Dacă scazi întâi (\(64 - 56 = 8\)) și abia apoi împarți la 8, obții greșit 1.
Rezolvare: Din proporția \(\frac{a}{3} = \frac{b}{4}\), produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \(4a = 3b\). Atunci \(4a - 3b = 0\).
Capcana tipică: Nu trebuie aflate \(a\) și \(b\) (există o infinitate de perechi, de exemplu \(a = 3\), \(b = 4\) sau \(a = 6\), \(b = 8\)); rezultatul este 0 pentru toate.
Rezolvare: Intervalul este închis, deci conține numerele întregi \(-2022, -2021, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, 2021, 2022\). Grupăm fiecare număr cu opusul lui: \((-2022) + 2022 = 0\), \((-2021) + 2021 = 0\) etc., iar 0 nu schimbă suma. Suma este 0.
Capcana tipică: Chiar dacă intervalul ar fi fost deschis, suma ar fi tot 0 (perechile de opuse rămân); contează doar ca intervalul să fie simetric față de 0.
În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un test de matematică:
| Nota | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Numărul elevilor | 6 | 9 | 12 | 15 | 12 | 6 |
Media notelor obținute de elevii claselor a VIII-a din această școală la testul de matematică este egală cu:
Rezolvare: Numărul elevilor: \(6 + 9 + 12 + 15 + 12 + 6 = 60\). Suma notelor: \(5 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + 7 \cdot 12 + 8 \cdot 15 + 9 \cdot 12 + 10 \cdot 6\) \(= 30 + 54 + 84 + 120 + 108 + 60 = 456\). Media este \(456 : 60 = 7{,}60\).
Capcana tipică: Media notelor 5, 6, 7, 8, 9, 10 (fără să ții cont de numărul elevilor) ar fi 7,50 — trebuie calculată media ponderată, nu media aritmetică a celor șase note.
Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor \(a = \left|\sqrt{2} - \sqrt{3}\right|\) și \(b = \left|\sqrt{3} + \sqrt{2}\right|\), iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
| Ioana | Mara | Petrică | Ștefan |
|---|---|---|---|
| \(-1\) | \(5 - 2\sqrt{6}\) | 1 | \(5 + 2\sqrt{6}\) |
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Rezolvare: Cum \(\sqrt{2} \lt \sqrt{3}\), avem \(\sqrt{2} - \sqrt{3} \lt 0\), deci \(a = \sqrt{3} - \sqrt{2}\); \(b = \sqrt{3} + \sqrt{2}\). Atunci \(a \cdot b = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})\) \(= 3 - 2 = 1\). Rezultatul corect l-a obținut Petrică.
Capcana tipică: −1 se obține dacă ignori modulul și înmulțești \((\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})\); modulul face ca \(a\) să fie pozitiv.
Rezolvare: De la 12:56 la 14:26 trec 1 oră și 30 de minute, adică \(1{,}5\) ore. Distanța parcursă este \(d = v \cdot t = 80 \cdot 1{,}5 = 120\) km, nu 200 km, deci afirmația este falsă.
Capcana tipică: Diferența 14:26 − 12:56 nu este „1,7 ore”: orele au 60 de minute, nu 100. Numără: 12:56 → 13:56 (1 oră) → 14:26 (încă 30 min).
Rezolvare: MB = AB : 2 = 3,5 cm și BN = BC : 2 = 4,5 cm. Cum M și N sunt de o parte și de alta a lui B, MN = MB + BN = 3,5 + 4,5 = 8 cm (adică jumătate din AC = 16 cm).
Capcana tipică: 16 cm este lungimea întregului segment AC, nu a segmentului MN.
Rezolvare: Unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf, deci A, O, D sunt coliniare (și B, O, C la fel). Unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplementare: m(∢BOD) = 180° − 120° = 60°.
Capcana tipică: 120° este măsura unghiului AOB (și a opusului său la vârf, COD), nu a unghiului BOD.
Rezolvare: În triunghiul ABC, dreptunghic în A, m(∢C) = 90° − 60° = 30°. Cateta AB se opune unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuză: AB = BC : 2 = 3 cm. (Echivalent: \(AB = BC \cdot \cos 60° = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\) cm.)
Capcana tipică: \(3\sqrt{3}\) cm este lungimea celeilalte catete, AC (cea opusă unghiului de 60°).
Rezolvare: Triunghiul ABD este isoscel (AD = BD), deci m(∢DBA) = m(∢DAB) = 45° și m(∢ADB) = 180° − 45° − 45° = 90°. În paralelogram AD ∥ BC, iar BD este secantă, deci unghiurile CBD și ADB sunt alterne interne: m(∢CBD) = m(∢ADB) = 90°.
Capcana tipică: 45° este măsura unghiului ABD, nu a unghiului CBD; 135° este măsura unghiului ABC al paralelogramului.
Rezolvare: Fie O centrul cercului: OA = OB = 8 cm. Atunci \(OA^2 + OB^2 = 64 + 64 = 128\) \(= (8\sqrt{2})^2 = AB^2\), deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, m(∢AOB) = 90°. Unghiul AMB este înscris în cerc și cuprinde arcul AB de 90°, deci m(∢AMB) = 90° : 2 = 45°.
Capcana tipică: 90° este unghiul la centru AOB; unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins.
Rezolvare: Secțiunea axială ABC este un triunghi echilateral cu latura egală cu generatoarea \(g\), iar înălțimea lui este înălțimea conului: \(\frac{g\sqrt{3}}{2} = 6\), deci \(g = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\) cm.
Capcana tipică: \(2\sqrt{3}\) cm este raza bazei (jumătate din latura triunghiului), nu generatoarea.
La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.
a) Notăm cu \(x\) lungimea traseului. În a doua zi excursionistul a parcurs \(\frac{1}{3} \cdot \frac{30}{100}x = \frac{x}{10}\), adică 10% din traseu. Cum \(\frac{x}{10} \ne \frac{x}{4}\) (pentru \(x \gt 0\)), nu este posibil ca distanța din a doua zi să reprezinte o pătrime din traseu.
b) Adunăm distanțele din cele trei zile:
\[\frac{30}{100}x + \frac{x}{10} + 72 = x\]\[\Rightarrow 3x + x + 720 = 10x\]\[\Rightarrow 6x = 720\]\[\Rightarrow x = 120 \text{ km}.\]Verificare: 36 km + 12 km + 72 km = 120 km. Lungimea traseului este 120 km.
a) Aducem la numitorul comun \((x-2)(x+2)\):
\[\frac{2}{x-2} + \frac{x}{x+2}\]\[= \frac{2(x+2) + x(x-2)}{(x-2)(x+2)}\]\[= \frac{x^2 + 4}{(x-2)(x+2)}.\]Descompunem \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). Împărțirea devine înmulțire cu inversa:
\[E(x) = \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)(x+1)}{x^2+4}\]\[= \frac{x+1}{x+2}.\]b) \(E(a) = \frac{a+1}{a+2} = \frac{(a+2) - 1}{a+2} = 1 - \frac{1}{a+2}\). Pentru \(a\) întreg, \(E(a) \in \mathbb{Z}\) dacă și numai dacă \(\frac{1}{a+2} \in \mathbb{Z}\), adică \(a + 2\) este divizor al lui 1: \(a + 2 \in \{-1, 1\}\), deci \(a \in \{-3, -1\}\). Dar \(a = -1\) nu aparține domeniului (\(x \ne -1\)), iar \(a = -3\) convine (\(E(-3) = \frac{-2}{-1} = 2\)). Răspuns: \(a = -3\).
a) \(3(x + 2) = -4 - 2x \Rightarrow 3x + 6 = -4 - 2x\) \(\Rightarrow 5x = -10 \Rightarrow x = -2\).
b) \(f(x) = 0 \Rightarrow x = -2\), deci \(A(-2, 0)\); \(f(0) = 2\), deci \(B(0, 2)\). C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul segmentului AC. Ducem \(CT \perp Ox\), \(T \in Ox\): OB este linie mijlocie în triunghiul ATC, deci \(CT = 2 \cdot BO = 4\) și \(OT = AO = 2\). Rezultă \(C(2, 4)\).
Verificare cu formula mijlocului: \(\frac{-2 + 2}{2} = 0\) și \(\frac{0 + 4}{2} = 2\), adică exact coordonatele lui B.
a) m(∢PAD) = m(∢PAB) + m(∢BAD) = 60° + 90° = 150°. Cum AD = AB = AP, triunghiul APD este isoscel, deci m(∢ADP) = m(∢APD) = \(\frac{180° - 150°}{2}\) = 15°. Atunci m(∢DPB) = m(∢APB) − m(∢APD) = 60° − 15° = 45°.
b) Fie Q piciorul înălțimii din P în triunghiul echilateral APB: \(PQ \perp AB\), Q este mijlocul lui AB, deci AQ = 2 cm și \(PQ = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) cm. Cum \(PQ \parallel AD\) (ambele perpendiculare pe AB), \(\triangle DAM \sim \triangle PQM\), deci
\[\frac{AD}{PQ} = \frac{AM}{MQ}\]\[\Rightarrow \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{AM}{2 - AM}.\]Rezultă \(2\sqrt{3} \cdot AM = 8 - 4 \cdot AM\), adică \(AM(4 + 2\sqrt{3}) = 8\), deci
\[AM = \frac{8}{4 + 2\sqrt{3}}\]\[= \frac{4}{2 + \sqrt{3}}\]\[= \frac{4(2 - \sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\]\[= 4(2 - \sqrt{3}) \text{ cm}.\]a) R și T sunt mijloacele laturilor neparalele, deci RT este linie mijlocie în trapezul ABCD: \(RT = \frac{AB + CD}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5\) cm.
b) Ducem \(DQ \perp AB\), \(Q \in AB\), și notăm \(\{P\} = DQ \cap RT\). Linia mijlocie este paralelă cu bazele și se află la jumătatea înălțimii, deci \(DP = PQ = \frac{DQ}{2}\), iar \(\mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot DQ}{2} = RT \cdot DQ\). Diagonala RT împarte patrulaterul DRST în triunghiurile DRT și RST, cu înălțimile DP, respectiv distanța de la S la RT, egală cu PQ:
\[\mathcal{A}_{DRST} = \mathcal{A}_{DRT} + \mathcal{A}_{RST}\]\[= \frac{DP \cdot RT}{2} + \frac{PQ \cdot RT}{2}\]\[= \frac{RT \cdot DQ}{2}\]\[= \frac{\mathcal{A}_{ABCD}}{2}.\]a) Muchia cubului este \(\ell = D'C' = 6\) cm, deci \(V = \ell^3 = 6^3 = 216\) cm³.
b) O este mijlocul lui AC (diagonalele pătratului ABCD se înjumătățesc), iar O′ este mijlocul lui B′C (diagonalele pătratului BCC′B′). În triunghiul AB′C, OO′ este linie mijlocie, deci \(OO' \parallel AB'\).
Diagonalele pătratului ABB′A′ sunt perpendiculare: \(AB' \perp A'B\). De asemenea, \(A'D' \perp (ABB'A')\), deci \(AB' \perp A'D'\). Dreptele A′B și A′D′ sunt concurente în A′ și sunt incluse în planul \((A'D'C)\) (punctele A′, D′, C, B sunt coplanare: \(A'D' \parallel BC\)). Rezultă \(AB' \perp (A'D'C)\).
Din \(OO' \parallel AB'\) și \(AB' \perp (A'D'C)\) obținem \(OO' \perp (A'D'C)\).
| Item | Temă | Recapitulează |
|---|---|---|
| I.1–I.3, I.5 | Ordinea operațiilor, proporții, intervale, radicali și modul | Radicali · Fracții |
| I.4, I.6 | Media ponderată, mișcare uniformă | Media aritmetică |
| III.1 | Procente, ecuații | Procente |
| III.2 | Rapoarte algebrice, divizori | Formule de calcul prescurtat · fișă rapoarte algebrice |
| III.3 | Funcția liniară, simetric față de un punct | Funcția de gradul I · fișă funcția liniară |
| II.1–II.5, III.4–III.5 | Unghiuri, triunghiul dreptunghic, paralelogram, cerc, asemănare, linia mijlocie în trapez | Triunghiul dreptunghic · Patrulatere · Cercul · fișă asemănare |
| II.6, III.6 | Conul, cubul, dreaptă perpendiculară pe plan | Conul · Cubul · Dreapta perpendiculară pe plan |
După model, rezolvă subiectele reale din 2023: Simularea EN 2023 rezolvată și Examenul EN 2023 rezolvat. Pentru anul acesta vezi modelul EN 2027 rezolvat. Toate formulele de clasa a VIII-a sunt adunate pe pagina formule clasa a 8-a.
Când a fost publicat modelul de subiect pentru Evaluarea Națională 2023 la matematică? Modelul de subiect și baremul au fost publicate de Ministerul Educației (CNPEE) la începutul lunii noiembrie 2022, pe subiecte.edu.ro, la secțiunea Modele de subiecte EN 2023.
Cum arată structura subiectului EN 2023 la matematică? Modelul are trei subiecte de câte 30 de puncte: Subiectul I și Subiectul II conțin câte 6 itemi grilă (încercuiești litera corectă), iar Subiectul III conține 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu punctele a) (2 puncte) și b) (3 puncte). Se acordă 10 puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de două ore.
Cum se punctează grilele din modelul EN 2023? Fiecare item din Subiectele I și II primește fie 5 puncte, fie 0 puncte — se punctează doar răspunsul, fără punctaje intermediare. La Subiectul III se pot acorda punctaje parțiale, iar orice soluție corectă, chiar diferită de barem, primește punctajul integral.
Care sunt răspunsurile corecte la grilele din modelul EN 2023? Subiectul I: 1d, 2a, 3c, 4b, 5c, 6b. Subiectul II: 1a, 2b, 3b, 4b, 5c, 6b — conform baremului oficial.
Exersează teste EN cu scor instant →
← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2027) · Calculator medie admitere liceu
Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.