Test 5 antrenament EN 2022 matematică

Test 5 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Un divizor al numărului 75 este:

150
12
7
5 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $75 = 3 \cdot 5^{2}$ , deci 5 este divizor al lui 75.

Capcana tipică: 150 este multiplu al lui 75, nu divizor.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului 1,5 : 2 este egal cu:

0,75 ✓ răspuns corect
2,25
3
75

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $1, 5 : 2 = 0, 75$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element al mulțimii A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, acesta să fie număr par este egală cu:

3/7
4/7 ✓ răspuns corect
7/4
7/3

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Mulțimea are 7 elemente, iar numerele pare sunt 0, 2, 4, 6 (4 cazuri favorabile). $P = \frac{4}{7}$ .

Capcana tipică: Nu uita că 0 este număr par.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Numărul real −2√3 aparține intervalului:

(−3, 4)
(3, 4)
(−4, −3) ✓ răspuns corect
(−3, −2)

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $2 \sqrt{3} = \sqrt{12}$ , iar $9 < 12 < 16$ , deci $3 < 2 \sqrt{3} < 4$ și $- 4 < - 2 \sqrt{3} < - 3$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Alin, Cristina, Mihai și Dana, calculează suma tuturor numerelor naturale care împărțite la 3 dau câtul 4. Rezultatele: Alin = 54, Cristina = 42, Mihai = 39, Dana = 12. Conform informațiilor din tabel, cel care a calculat corect suma numerelor este:

Alin
Cristina
Mihai ✓ răspuns corect
Dana

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele naturale care împărțite la 3 dau câtul 4 sunt $3 \cdot 4 + r$ , cu restul r ∈ {0, 1, 2}: 12, 13 și 14. Suma este 39 — corect a calculat Mihai.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Prețul unui stilou este 40 lei. Matei afirmă: „Dacă prețul stiloului ar fi fost cu 20% mai mic, atunci cu 128 lei aș fi putut cumpăra 4 stilouri de același fel." Afirmația lui Matei este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Prețul redus: $40 - \frac{20}{100} \cdot 40 = 32$ lei, iar $4 \cdot 32 = 128$ lei. Afirmația este adevărată.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, punctele A, B, C, D și E sunt coliniare, în această ordine, astfel încât punctul B este mijlocul segmentului AC, punctul C este mijlocul segmentului AD și punctul D este mijlocul segmentului AE. Raportul BD/AE este egal cu:

1/2
3/7
2/5
3/8 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fie AB = x. Atunci AC = 2x, AD = 4x, AE = 8x, iar BD = AD − AB = 3x. $\frac{B D}{A E} = \frac{3}{8}$ .

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată sunt reprezentate într-un plan, dreptele a și b intersectate de dreapta d, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de 32° și, respectiv de 140°. Unghiul dintre dreptele a și b este egal cu:

0°
8° ✓ răspuns corect
90°
172°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Conform figurii, dreptele a și b formează cu dreapta d un triunghi, cu unghiurile de 32° și 180° − 140° = 40°. Unghiul dintre a și b este al treilea unghi: 180° − 32° − 40° = 8°.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AC = 6 cm. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, BG ∩ AC = D și GE ∥ BC, E ∈ AC. Lungimea segmentului DE este egală cu:

4 cm
3 cm
2 cm
1 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BD este mediană, deci D este mijlocul lui AC și DC = 3 cm. G este centrul de greutate, deci $D G = \frac{D B}{3}$ . Din $G E ∥ B C$ (teorema lui Thales în triunghiul DBC): $\frac{D E}{D C} = \frac{D G}{D B} = \frac{1}{3}$ , deci DE = 1 cm.

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD. Punctul O este mijlocul diagonalei AC, iar punctul P se află pe latura DC, astfel încât dreptele PO și AC sunt perpendiculare. Dacă AP = 3 cm și BC = √5 cm, atunci lungimea segmentului AB este egală cu:

3 cm
5 cm ✓ răspuns corect
3√5 cm
2√14 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: PO este mediatoarea segmentului AC, deci PC = PA = 3 cm. AD = BC = $\sqrt{5}$ cm, iar în triunghiul ADP: $D P = \sqrt{9 - 5} = 2$ cm. AB = DC = DP + PC = 2 + 3 = 5 cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, punctele A, B și C se află pe un cerc și sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic în A. Dacă punctul M se află pe latura BC și dreapta AM intersectează a doua oară cercul în punctul P, atunci măsura unghiului BPC este egală cu:

30°
60°
90° ✓ răspuns corect
120°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiul BAC este drept și înscris în cerc, deci BC este diametru. P este pe cerc, deci unghiul BPC, înscris în semicerc, are 90°.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Muchia AB a tetraedrului regulat ABCD este egală cu 6 cm. Aria totală a tetraedrului regulat ABCD este egală cu:

36√3 cm² ✓ răspuns corect
27√3 cm²
36 cm²
18 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Tetraedrul regulat are 4 fețe triunghiuri echilaterale cu latura 6 cm: $A_{t} = 4 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}$ cm².

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 5), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Dacă împărțim numărul

\overset{―}{a b c}

, scris în baza 10, la numărul

\overset{―}{a c}

obținem câtul 6 și restul 5. a) Este posibil ca numărul

\overset{―}{a c}

să fie egal cu 18? Justifică răspunsul dat. b) Determină numerele

\overset{―}{a b c}

Vezi rezolvarea

a) Dacă $\overset{―}{a c} = 18$ , atunci $c = 8$ și $\overset{―}{a b c} = 18 \cdot 6 + 5 = 113$ , deci $c = 3$ . Cum $8 \neq 3$ , nu este posibil.

b) $\overset{―}{a b c} = 6 \cdot \overset{―}{a c} + 5$ , adică $100 a + 10 b + c = 60 a + 6 c + 5$ , de unde $40 a + 10 b = 5 c + 5$ , deci

8 a + 2 b = c + 1.

Cum $c \leq 9$ , $8 a + 2 b \leq 10$ , iar $a \neq 0$ , deci $a = 1$ și $2 b = c - 7$ . Obținem $b = 0, c = 7$ sau $b = 1, c = 9$ . Numerele sunt 107 și 119 (verificare: $107 = 6 \cdot 17 + 5$ , $119 = 6 \cdot 19 + 5$ ).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (5 x + 3)^{2} - (3 x + 4)^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = (2 x - 1) (8 x + 7)

, pentru orice număr real

x

. b) Dacă numărul natural

n

nu este divizibil cu 3, atunci arată că

E (n)

este divizibil cu 3.

Vezi rezolvarea

a) Folosim $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

E (x) = (5 x + 3 - 3 x - 4) (5 x + 3 + 3 x + 4) = (2 x - 1) (8 x + 7),

pentru orice număr real $x$ .

b) Dacă $n$ nu este divizibil cu 3, atunci $n = 3 k + 1$ sau $n = 3 k + 2$ , cu $k$ natural.

$n = 3 k + 1$ : $8 n + 7 = 24 k + 15 = 3 (8 k + 5)$ , deci $3 ∣ E (n)$ ;
$n = 3 k + 2$ : $2 n - 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ , deci $3 ∣ E (n)$ .

În ambele cazuri, $E (n)$ este divizibil cu 3.

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x + 3

. a) Arată că

f (\sqrt{5}) \cdot f (- \sqrt{5}) = 4

. b) Arată că simetricul punctului A(−3, −6) față de originea O(0, 0) a sistemului de axe ortogonale xOy aparține reprezentării grafice a funcției

f

Vezi rezolvarea

a) $f (\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5}$ și $f (- \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5}$ , deci $f (\sqrt{5}) \cdot f (- \sqrt{5}) = (3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 9 - 5 = 4$ .

b) Fie B simetricul punctului A față de O, deci O este mijlocul segmentului AB. Fie P și Q proiecțiile punctelor A și B pe axa Ox; triunghiurile AOP și BOQ sunt congruente, deci OQ = OP = 3 și BQ = AP = 6, adică $B (3, 6)$ . Cum $f (3) = 3 + 3 = 6$ , punctul B(3, 6) aparține reprezentării grafice a funcției $f$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată sunt reprezentate pătratele ABCD și MPQD. Punctul Q se află pe latura CD și AM = 2 cm. a) Arată că

P B = 2 \sqrt{2}

cm. b) Demonstrează că dreptele AQ, CM și DP sunt concurente.

Vezi rezolvarea

a) Fie ${T} = Q P \cap A B$ . ATPM și TBCQ sunt dreptunghiuri, deci TP = AM = 2 cm. Cum AD = DC și MD = DQ, avem CQ = AM = 2 cm, deci TB = CQ = 2 cm. Triunghiul BTP este dreptunghic în T:

B P = \sqrt{B T^{2} + P T^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2} cm .

b) Fie ${S} = A Q \cap D P$ și ${V} = C M \cap D P$ . $P Q ∥ A D$ , deci $△ P S Q \sim △ D S A$ și $\frac{P S}{S D} = \frac{P Q}{A D}$ . $M P ∥ D C$ , deci $△ M V P \sim △ C V D$ și $\frac{P V}{V D} = \frac{M P}{D C}$ .

Dar PQ = MP (laturi ale pătratului MPQD) și AD = DC, deci $\frac{P S}{S D} = \frac{P V}{V D}$ . Punctele S și V se află pe segmentul PD și îl împart în același raport, deci S = V. Așadar dreptele AQ, CM și DP sunt concurente.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC. Punctul D se află pe latura AC astfel încât AD = 2 cm și DC = 4 cm, iar punctul E se află pe dreapta BC astfel încât dreptele ED și AC sunt perpendiculare. a) Arată că EB = 2 cm. b) Calculează distanța de la punctul E la dreapta CF, unde

{F} = E D \cap A B

Vezi rezolvarea

a) BC = AC = AD + DC = 6 cm. Triunghiul EDC este dreptunghic în D, cu m(∢C) = 60°, deci m(∢E) = 30° și $E C = 2 \cdot D C = 8$ cm. Atunci EB = EC − BC = 8 − 6 = 2 cm.

b) În triunghiul ADF: m(∢ADF) = 90° și m(∢A) = 60°, deci m(∢AFD) = 30° și AF = 2 · AD = 4 cm, de unde BF = 2 cm. Ducem $F Q ⊥ B C$ , $Q \in B C$ . În triunghiul FQB, dreptunghic în Q, cu m(∢B) = 60°: $Q B = \frac{B F}{2} = 1$ cm și $F Q = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ cm. Q se află între B și C, deci QC = 6 − 1 = 5 cm, iar în triunghiul FQC: $F C = \sqrt{3 + 25} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ cm.

Scriem aria triunghiului EFC în două moduri:

A_{E F C} = \frac{d (E, C F) \cdot C F}{2} = \frac{F Q \cdot E C}{2},

d (E, C F) = \frac{\sqrt{3} \cdot 8}{2 \sqrt{7}} = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{4 \sqrt{21}}{7} cm .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′. Punctul M este mijlocul segmentului CC′, punctul P este mijlocul segmentului AD și

M P = 2 \sqrt{6}

cm. a) Arată că AB = 4 cm. b) Arată că sinusul unghiului dintre dreapta MP și planul (ABB′) este egal cu

\frac{\sqrt{6}}{6}

Vezi rezolvarea

a) Notăm DC = 2x; atunci PD = x și MC = x. Triunghiul PDC este dreptunghic în D: $P C^{2} = P D^{2} + D C^{2} = 5 x^{2}$ . $M C ⊥ (A B C)$ , deci triunghiul MCP este dreptunghic în C: $M P^{2} = M C^{2} + P C^{2} = 6 x^{2}$ . Din $6 x^{2} = 24$ obținem x = 2, deci AB = 2x = 4 cm.

b) Planele (ABB′) și (DCC′) sunt paralele, deci ∢(MP, (ABB′)) = ∢(MP, (DCC′)). $P D ⊥ D D^{'}$ și $P D ⊥ D C$ , cu $D D^{'} \cap D C = {D}$ , deci $P D ⊥ (D C C^{'})$ ; proiecția lui MP pe planul (DCC′) este MD, iar unghiul căutat este ∢DMP. În triunghiul PDM, dreptunghic în D:

\sin (∢ D M P) = \frac{D P}{M P} = \frac{2}{2 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 5 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională