Formule matematică clasa a 8-a — algebră și geometrie, pe capitole
În clasa a 8-a se studiază intervalele și inecuațiile, calculul algebric (formule de calcul prescurtat, descompuneri, ecuația de gradul al doilea), funcția \( f(x)=ax+b \), iar în geometrie geometria în spațiu și ariile și volumele corpurilor. Mai jos ai formulele pe capitole, cu linkuri spre explicații, calculatoare și subiectele de Evaluare Națională rezolvate.
Capitolele urmează programa de gimnaziu din 2017 (OMEN 3393/2017). Evaluarea Națională verifică materia claselor V–VIII, deci recapitulează și paginile pentru clasa a 6-a și clasa a 7-a.
Algebră
1. Intervale de numere reale. Inecuații
Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete; paranteza pătrată include capătul, cea rotundă îl exclude.
- \( [a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\} \), \( (a,b)=\{x\in\mathbb R\mid a\lt x\lt b\} \), \( [a,\infty)=\{x\in\mathbb R\mid x\ge a\} \).
- Inecuația \( ax+b\gt 0 \): pentru \( a\gt 0 \), \( x\gt -\dfrac{b}{a} \); pentru \( a\lt 0 \), \( x\lt -\dfrac{b}{a} \) (la împărțirea cu un număr negativ se schimbă sensul).
- \( |x|\le a\iff -a\le x\le a \) (pentru \( a\ge 0 \)).
→ detalii: intervale de numere reale, inecuații.
2. Calcul algebric
Calculezi cu expresii care conțin litere, descompui în factori și simplifici fracții algebrice, având grijă la condițiile de existență (numitorul diferit de 0).
- \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \), \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \).
- \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \).
- \( (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \).
- Descompunere: factor comun \( ab+ac=a(b+c) \), grupare de termeni, formule de calcul prescurtat; de exemplu \( x^2-6x+9=(x-3)^2 \).
- Fracție algebrică: \( \dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1 \), pentru \( x\ne -1 \).
→ detalii: formule de calcul prescurtat.
3. Ecuația de gradul al doilea
Ecuația \( ax^2+bx+c=0 \), \( a\ne 0 \), se rezolvă cu discriminantul.
- \( \Delta=b^2-4ac \).
- \( \Delta\gt 0 \): \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} \); \( \Delta=0 \): \( x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a} \); \( \Delta\lt 0 \): ecuația nu are soluții reale.
- Cazuri simple: \( x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3 \); \( x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0\Rightarrow x\in\{0,5\} \).
→ detalii: ecuația de gradul al II-lea. Calculator: ecuația de gradul 2 pas cu pas.
4. Funcții
Funcția \( f:\mathbb R\to\mathbb R \), \( f(x)=ax+b \) are graficul o dreaptă. Tot în acest capitol apar indicatorii statistici: media, mediana, modul și amplitudinea.
- \( A(x_0,y_0) \) aparține graficului \( \iff f(x_0)=y_0 \).
- Intersecția cu \( Oy \): \( (0,b) \); intersecția cu \( Ox \): \( \left(-\dfrac{b}{a},0\right) \), pentru \( a\ne 0 \).
- Intersecția graficelor lui \( f \) și \( g \): rezolvi ecuația \( f(x)=g(x) \).
- Mediana: valoarea din mijloc a datelor ordonate (pentru un număr par de date, media celor două din mijloc); modul: valoarea cu frecvența cea mai mare; amplitudinea: diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare.
→ detalii: funcția de gradul I, funcții — noțiuni introductive. Calculator: ecuația dreptei prin două puncte.
Geometrie
5. Elemente ale geometriei în spațiu
Lucrezi cu drepte și plane: paralelism, perpendicularitate, proiecții, unghiuri și distanțe. Instrumentul principal este teorema celor trei perpendiculare (T3P).
- O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.
- T3P: dacă \( PA\perp\alpha \), \( AB\perp d \), \( d\subset\alpha \), \( B\in d \), atunci \( PB\perp d \); deci \( d(P,d)=PB \).
- Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan; lungimea proiecției: \( A'B'=AB\cdot\cos\varphi \).
- Diagonala cubului: \( d=\ell\sqrt 3 \); a paralelipipedului dreptunghic: \( d=\sqrt{L^2+\ell^2+h^2} \).
→ detalii: geometrie în spațiu, dreapta perpendiculară pe plan, T3P, dreapta paralelă cu un plan.
6. Arii și volume ale corpurilor geometrice
Notații: \( A_b \) aria bazei, \( P_b \) perimetrul bazei, \( h \) înălțimea, \( a_p \) apotema piramidei, \( G \) generatoarea; aria totală este \( A_t=A_\ell+2A_b \) la prisme și cilindru și \( A_t=A_\ell+A_b \) la piramidă și con.
| Corp | Aria laterală | Volumul |
|---|---|---|
| Cub | \( 4\ell^2 \) (\( A_t=6\ell^2 \)) | \( \ell^3 \) |
| Paralelipiped dreptunghic | \( 2(L+\ell)h \) | \( L\cdot \ell\cdot h \) |
| Prismă dreaptă | \( P_b\cdot h \) | \( A_b\cdot h \) |
| Piramidă regulată | \( \dfrac{P_b\cdot a_p}{2} \) | \( \dfrac{A_b\cdot h}{3} \) |
| Trunchi de piramidă regulată | \( \dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2} \) | \( \dfrac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B A_b}\right) \) |
| Cilindru circular drept | \( 2\pi R G \) | \( \pi R^2 h \) |
| Con circular drept | \( \pi R G \) | \( \dfrac{\pi R^2 h}{3} \) |
| Trunchi de con | \( \pi G(R+r) \) | \( \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right) \) |
| Sferă | \( A=4\pi R^2 \) | \( \dfrac{4\pi R^3}{3} \) |
La con: \( G^2=R^2+h^2 \); la trunchiul de con: \( G^2=h^2+(R-r)^2 \); la trunchiul de piramidă, \( a_t \) este apotema trunchiului (înălțimea unei fețe laterale).
→ detalii: toate formulele de arii și volume, prisma, piramida, trunchiul de piramidă, cilindrul, conul, trunchiul de con, sfera. Calculator: arie și volum corpuri. Volumul sferei a fost aflat de Arhimede.
Exemple rezolvate
Exemplul 1 — calcul prescurtat. \( (x+3)^2-(x-3)^2=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)=12x \).
Exemplul 2 — ecuația de gradul al doilea. \( x^2-5x+6=0 \): \( \Delta=25-24=1 \), deci \( x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2} \), adică \( x_1=3 \) și \( x_2=2 \).
Exemplul 3 — cubul. Un cub cu muchia de 6 cm are diagonala \( 6\sqrt 3 \) cm, aria totală \( 6\cdot 36=216\ \text{cm}^2 \) și volumul \( 216\ \text{cm}^3 \).
Exemplul 4 — conul. Un con cu \( R=3 \) cm și \( h=4 \) cm are generatoarea \( G=\sqrt{9+16}=5 \) cm, aria laterală \( \pi\cdot 3\cdot 5=15\pi\ \text{cm}^2 \) și volumul \( \dfrac{\pi\cdot 9\cdot 4}{3}=12\pi\ \text{cm}^3 \).
Ce intră la Evaluarea Națională
La finalul clasei a 8-a dai Evaluarea Națională la matematică, din materia claselor V–VIII. Problemele de la final au de obicei o parte de algebră (calcul algebric, funcția liniară, ecuații) și una de geometrie plană sau în spațiu (distanțe, unghiuri, arii, volume). Lucrează subiectele din anii trecuți, de exemplu EN 2025 rezolvat, și calculează-ți media cu calculatorul de medie de admitere la liceu.
Întrebări frecvente
Ce formule de clasa a 8-a trebuie să știu pentru Evaluarea Națională? Formulele de calcul prescurtat, rezolvarea ecuației de gradul al doilea, funcția \( f(x)=ax+b \) cu intersecțiile cu axele, teorema celor trei perpendiculare și formulele de arie și volum pentru cub, paralelipiped, prismă, piramidă, cilindru, con și sferă. La acestea se adaugă formulele din clasa a 7-a: Pitagora, Thales, arii.
Se dă formularul de formule la Evaluarea Națională? Nu. La examen nu primești formule, așa că trebuie să le știi pe de rost sau să le poți deduce (de exemplu apotema piramidei din teorema lui Pitagora).
Care este diferența dintre înălțimea și apotema unei piramide? Înălțimea este distanța de la vârf la planul bazei. Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârf. Ele formează cu apotema bazei un triunghi dreptunghic: \( a_p^2=h^2+a_b^2 \).
Formule pe clase
clasa a 5-a · clasa a 6-a · clasa a 7-a · clasa a 8-a · clasa a 9-a · clasa a 10-a · clasa a 11-a · clasa a 12-a
Toate formulele, pe domenii: algebră, geometrie și trigonometrie, analiză matematică — sau pagina principală formule matematice.
Exersează: fișă de lucru printabilă — model de test pentru Evaluarea Națională (nr. 1), cu 18 exerciții și răspunsuri.
Exersează: fișă de lucru printabilă — model de test pentru Evaluarea Națională nr. 2, cu 18 exerciții și răspunsuri.
Exersează: fișă de lucru printabilă — model de test pentru Evaluarea Națională nr. 3, cu 18 exerciții și răspunsuri.