Simulare Evaluare Națională 2022 matematică

Subiectele oficiale de la Simularea Evaluării Naționale 2022 la matematică, itemii de tip grilă rezolvați pas cu pas, cu răspunsul corect și greșelile frecvente. Sunt 12 itemi grilă (Subiectul I și Subiectul II) și 6 probleme cu rezolvare completă (Subiectul al III-lea), rezolvate după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebra)

Rezultatul calculului 6 − 18 : 2 este egal cu:

-6
-3 ✓ răspuns corect
0
12

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Împărțirea se face înaintea scăderii: $18 : 2 = 9$ .
$6 - 9 = - 3$ .

Capcana tipică: Dacă scazi întâi, $(6 - 18) : 2 = - 6$ , ceea ce este greșit.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebra)

Dacă a/2 = b/3, atunci rezultatul calculului 2b − 3a este egal cu:

-5
-1
0 ✓ răspuns corect
5

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Din $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ , produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $3 a = 2 b$ .
Deci $2 b - 3 a = 0$ .

Capcana tipică: Nu e nevoie să afli a și b; ajunge relația $3 a = 2 b$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebra)

Soluția ecuației x + 6 = 2 este numărul întreg:

-8
-4 ✓ răspuns corect
4
8

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $x + 6 = 2 \Rightarrow x = 2 - 6 = - 4$ .
Verificare: $- 4 + 6 = 2$ .

Capcana tipică: Termenul 6 trece în membrul drept cu semn schimbat: $2 - 6$ , nu $2 + 6$ .

Itemul 4 (Subiectul I · Algebra)

Dintre numerele (1/2)², (1/2)³, (1/2)⁴ și (1/2)⁵, cel mai mic este numărul:

(1/2)²
(1/2)³
(1/2)⁴
(1/2)⁵ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci puterile ei scad când exponentul crește:
${(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1}{32}$ este cel mai mic.

Capcana tipică: Pentru o bază între 0 și 1, exponentul mai mare dă un număr mai mic.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebra)

Patru elevi, Elena, Alina, Paul și Adi, au calculat media aritmetică a numerelor a = 3 − 2√2 și b = 3 + 2√2. Rezultatele: Elena:14, Alina:6, Paul:3, Adi:1. Rezultatul corect a fost obținut de:

Elena
Alina
Paul ✓ răspuns corect
Adi

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $m_{a} = \frac{a + b}{2}$
$= \frac{(3 - 2 \sqrt{2}) + (3 + 2 \sqrt{2})}{2} = \frac{6}{2} = 3$ — Paul.

Capcana tipică: 6 este suma numerelor, iar 1 este media lor geometrică.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebra)

Numărul real x verifică relațiile 2 ≤ x < 5. Ioana afirmă că numărul real x aparține intervalului [2, 5). Afirmația Ioanei este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Relațiile $2 \leq x < 5$ înseamnă exact $x \in [2, 5)$ : 2 este inclus, 5 nu.
Afirmația Ioanei este adevărată.

Capcana tipică: Paranteza pătrată corespunde lui $\leq$ , cea rotundă lui $<$ .

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plana)

Punctele A și B sunt distincte, punctul C se află pe segmentul AB astfel încât AB = 3·AC și AC = 2 cm. Lungimea segmentului BC este egală cu:

2 cm
4 cm ✓ răspuns corect
6 cm
8 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $A B = 3 \cdot A C = 3 \cdot 2 = 6$ cm.
$B C = A B - A C = 6 - 2 = 4$ cm.

Capcana tipică: 6 cm este AB, nu BC.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plana)

Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente complementare. Semidreapta OD este bisectoarea unghiului BOC, iar măsura unghiului AOD este de 55°. Măsura unghiului AOB este egală cu:

55°
35°
20° ✓ răspuns corect
15°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Fie $∠ A O B = x$ ; atunci $∠ B O C = 90^{\circ} - x$ și $∠ B O D = \frac{90^{\circ} - x}{2}$ .
$∠ A O D = x + \frac{90^{\circ} - x}{2} = 55^{\circ}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} = 10^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$ .

Capcana tipică: 35° este măsura lui BOD, nu a lui AOB.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plana)

Triunghiul ABC este dreptunghic în A cu AB = 4 cm. Semidreapta BM este bisectoarea unghiului ABC, M ∈ AC și BM = MC. Lungimea segmentului BC este egală cu:

2 cm
4 cm
8 cm ✓ răspuns corect
12 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BM bisectoare și $B M = M C$ (triunghi isoscel): $∠ A B M = ∠ M B C = ∠ M C B = x$ .
În triunghiul ABC: $3 x = 90^{\circ}$ , deci $x = 30^{\circ}$ și $∠ C = 30^{\circ}$ .
Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: $B C = 2 \cdot A B = 8$ cm.

Capcana tipică: Teorema unghiului de 30° se aplică după ce afli că $∠ C = 30^{\circ}$ .

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plana)

Trapezul ABCD are AB &parallel; CD, AB = 4 cm și CD = 8 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului ABCD este egală cu:

4 cm
6 cm ✓ răspuns corect
8 cm
12 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor:
$m = \frac{A B + C D}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6$ cm.

Capcana tipică: Linia mijlocie este media bazelor, nu suma lor (12 cm).

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plana)

Punctele A, B, C și D se află pe cercul de centru O. AB este diametru, măsura arcului mic AC este de 60° și CD ⊥ AB. Măsura unghiului ACD este egală cu:

30° ✓ răspuns corect
45°
60°
90°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Diametrul AB este perpendicular pe coarda CD, deci A este mijlocul arcului CD: arcul AD = arcul AC = 60°.
$∠ A C D$ este înscris și cuprinde arcul AD:
$∠ A C D = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .

Capcana tipică: 60° este măsura arcului, nu a unghiului înscris.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie in spatiu)

Tetraedrul regulat VABC are AB = 4 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat VABC este egală cu:

12 cm
16 cm
20 cm
24 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Tetraedrul are 6 muchii, toate egale cu 4 cm (tetraedru regulat).
Suma: $6 \cdot 4 = 24$ cm.

Capcana tipică: 16 cm corespunde doar a 4 muchii; tetraedrul are 3 muchii în bază și 3 laterale.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Suma a două numere naturale

a

și

b

este egală cu 42. Cel mai mare divizor comun al numerelor

a

și

b

este 7. a) Numerele 14 și 28 îndeplinesc condițiile din enunț? Justifică răspunsul dat. b) Determină numerele naturale

a

și

b

a < b

, care îndeplinesc condițiile din enunț.

Vezi rezolvarea

a) Deși $14 + 28 = 42$ , cel mai mare divizor comun al numerelor 14 și 28 este 14 (14 divide 28), iar $14 \neq 7$ . Deci numerele 14 și 28 nu îndeplinesc condițiile din enunț.

b) Cum $(a, b) = 7$ , scriem $a = 7 k$ și $b = 7 p$ , cu $k$ , $p$ numere naturale prime între ele și $k < p$ . Din $7 k + 7 p = 42$ obținem $k + p = 6$ . Perechile cu $k < p$ sunt $(0, 6)$ , $(1, 5)$ , $(2, 4)$ ; doar $(1, 5)$ are cel mai mare divizor comun 1. Așadar $a = 7$ și $b = 35$ (verificare: $7 + 35 = 42$ , $(7, 35) = 7$ ).

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (2 x + 1)^{2} - (2 x + 3) (2 x - 3) +

(2 x - 3)^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 4 x^{2} - 8 x + 19

, pentru orice număr real

x

. b) Determină cel mai mare număr natural

A

, știind că

E (x) \geq A

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

a) Folosim formulele de calcul prescurtat:

E (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1 - (4 x^{2} - 9)

+ 4 x^{2} - 12 x + 9

= 4 x^{2} + 4 x + 1 - 4 x^{2} + 9

+ 4 x^{2} - 12 x + 9

= 4 x^{2} - 8 x + 19.

b) Formăm un pătrat perfect: $E (x) = 4 x^{2} - 8 x + 4 + 15 =$ $(2 x - 2)^{2} + 15$ . Cum $(2 x - 2)^{2} \geq 0$ , avem $E (x) \geq 15$ pentru orice număr real $x$ , iar pentru $x = 1$ obținem chiar $E (1) = 15$ . Deci orice număr $A$ cu proprietatea cerută verifică $A \leq E (1) = 15$ , iar $A = 15$ convine. Cel mai mare număr natural căutat este $A = 15$ .

Problema 3 (5 puncte)

Prețul unui obiect este 500 de lei. După o ieftinire cu 12% din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu

p %

din noul preț, obiectul costă 330 de lei. a) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă 440 de lei. b) Determină numărul

p

Vezi rezolvarea

a) Prima ieftinire este $\frac{12}{100} \cdot 500 = 60$ de lei, deci după prima ieftinire obiectul costă $500 - 60 = 440$ de lei.

b) A doua ieftinire se aplică noului preț, 440 de lei:

440 - \frac{p}{100} \cdot 440 = 330

\Rightarrow \frac{p}{100} \cdot 440 = 110

\Rightarrow p = \frac{110 \cdot 100}{440} = 25.

Deci $p = 25$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral CDE cu EC = 6 cm. Dreptele EC și AB se intersectează în punctul P. a) Arată că

C P = 4 \sqrt{3}

cm. b) Arată că distanța de la punctul P la dreapta AE este egală cu

\sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{3})

cm.

Vezi rezolvarea

a) Latura pătratului este $B C = C D = E C = 6$ cm. Cum $C D ∥ A P$ și EP este secantă, unghiurile DCE și BPC sunt corespondente: m(∢BPC) = m(∢DCE) = 60°, deci m(∢BCP) = 30° și $C P = 2 \cdot B P$ . În triunghiul BCP, dreptunghic în B:

C P^{2} = B P^{2} + B C^{2}

\Rightarrow 4 B P^{2} = B P^{2} + 36

\Rightarrow B P = 2 \sqrt{3} cm,

deci $C P = 4 \sqrt{3}$ cm.

b) m(∢ADE) = 90° + 60° = 150° și AD = DE = 6 cm, deci triunghiul ADE este isoscel și m(∢AED) = (180° − 150°) : 2 = 15°. Atunci m(∢AEP) = m(∢DEC) − m(∢AED) = 60° − 15° = 45°. Avem $E P = E C + C P = 6 + 4 \sqrt{3}$ cm. Fie $P Q ⊥ A E$ , Q ∈ AE. În triunghiul dreptunghic PQE:

\sin (∢ Q E P) = \frac{P Q}{E P},

P Q = (6 + 4 \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

= \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{3}) cm,

deci $d (P, A E) = \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{3})$ cm.

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC, AG = 4 cm, BG = 3 cm și dreptele AG și BG sunt perpendiculare. a) Arată că perimetrul triunghiului ABG este egal cu 12 cm. b) Determină lungimea segmentului BC.

Vezi rezolvarea

a) În triunghiul ABG, dreptunghic în G: $A B^{2} = A G^{2} + B G^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci AB = 5 cm și $P_{A B G} = 3 + 4 + 5 = 12$ cm.

b) Fie P punctul de intersecție a dreptelor AG și BC. Cum G este centrul de greutate, AP este mediană, deci P este mijlocul lui BC, iar $G P = \frac{A G}{2} = 2$ cm. Triunghiul PGB este dreptunghic în G ( $A G ⊥ B G$ ):

B P^{2} = B G^{2} + P G^{2} = 9 + 4 = 13,

deci $B P = \sqrt{13}$ cm, de unde $B C = 2 \cdot B P = 2 \sqrt{13}$ cm.

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată SABCD cu baza pătratul ABCD, m(∢SAC) = 45° și AB = 12 cm. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor BC, respectiv SD, iar O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Arată că SC = 12 cm. b) Calculează lungimea segmentului MN.

Vezi rezolvarea

a) AC este diagonală în pătratul ABCD, deci $A C = 12 \sqrt{2}$ cm. Piramida este regulată, deci SA = SC și m(∢SCA) = m(∢SAC) = 45°; triunghiul SAC este dreptunghic isoscel (unghiul drept în S):

S A^{2} + S C^{2} = A C^{2},

2 S C^{2} = 288 \Rightarrow S C = 12 cm .

b) Fie P mijlocul segmentului SA. NP este linie mijlocie în triunghiul SAD, deci $N P ∥ A D$ și $N P = \frac{A D}{2} = 6$ cm. Cum $M B ∥ A D$ și $M B = \frac{B C}{2} = 6$ cm, avem $N P ∥ M B$ și NP = MB, deci BMNP este paralelogram și MN = BP. Din a), SA = SB = AB = 12 cm, deci triunghiul SAB este echilateral, iar BP este înălțimea lui:

M N = B P = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} cm .

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Simulare Evaluare Națională 2022 matematică — subiectele rezolvate

Itemul 1 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebra)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plana)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plana)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plana)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plana)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plana)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie in spatiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională