Evaluare Națională 2021 matematică

Subiectele oficiale de matematică de la Evaluarea Națională 2021 (sesiunea de examen), itemii de tip grilă din Subiectul I (algebră) și Subiectul II (geometrie), rezolvați pas cu pas. Sunt 12 itemi grilă (Subiectul I și Subiectul II) și 6 probleme cu rezolvare completă (Subiectul al III-lea), rezolvate după baremul oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Dintre numerele 15, 17, 25 și 30, numărul divizibil cu 10 este:

15
17
25
30 ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Un număr natural este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0. Doar 30 îndeplinește condiția.

Capcana tipică: 15 și 25 sunt divizibile cu 5, dar nu și cu 10.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:

10 lei
90 de lei
100 de lei
110 lei ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Scumpirea: 10% din 100 de lei, adică 10 lei.
Noul preț: $100 + 10 = 110$ lei.

Capcana tipică: 90 de lei ar fi prețul după o ieftinire cu 10%, nu după o scumpire.

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Temperaturile aerului măsurate de Maria, într-o zi, la ora 8:00 și la ora 12:00, sunt înregistrate în tabelul de mai jos.

Ora	8:00	12:00
Temperatura	−3°C	5°C

Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată la ora 12:00 este mai mare decât temperatura măsurată la ora 8:00 cu:

8°C ✓ răspuns corect
2°C
−2°C
−8°C

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$ , deci temperatura de la ora 12:00 este mai mare cu 8°C.

Capcana tipică: Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: $5 - (- 3) = 8$ , nu 2.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Fracția subunitară din mulțimea

A = {\frac{44}{10}, \frac{5}{4}, \frac{4}{5}, 4}

este:

$\frac{4}{5}$ ✓ răspuns corect
$\frac{5}{4}$
$4$
$\frac{44}{10}$

Vezi rezolvarea

Rezolvare: O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul.
$4 < 5$ , deci $\frac{4}{5}$ este subunitară; $\frac{44}{10}$ și $\frac{5}{4}$ sunt supraunitare, iar 4 este număr natural.

Capcana tipică: $\frac{5}{4}$ are numărătorul mai mare decât numitorul, deci este supraunitară.

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Rezultatul calculului

2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}

este egal cu:

$11 \sqrt{2}$
$- 4 \sqrt{2}$
$- \sqrt{6}$
$- \sqrt{2}$ ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Dăm factor comun $\sqrt{2}$ : $(2 - 6 + 3) \sqrt{2} = - \sqrt{2}$ .

Capcana tipică: Coeficienții se adună cu semnele lor ( $2 - 6 + 3 = - 1$ ); radicalul $\sqrt{2}$ rămâne neschimbat.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Bunica lui Andrei are în curte 10 găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că: „Bunica are în curte 10 găini și 20 de rațe.”. Afirmația lui Andrei este:

adevărată ✓ răspuns corect
falsă

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numărul rațelor: $2 \cdot 10 = 20$ . Bunica are 10 găini și 20 de rațe, deci afirmația este adevărată.

Capcana tipică: „De două ori mai multe” înseamnă dublul (20 de rațe).

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte A, B, C și D. Punctul B este mijlocul segmentului AC și punctul C este mijlocul segmentului AD. Valoarea raportului

\frac{B D}{A B}

este egală cu:

3 ✓ răspuns corect
2
0,75
0,50

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Notăm AB = a. Atunci BC = a, AC = 2a, CD = AC = 2a.
BD = BC + CD = 3a, deci $\frac{B D}{A B} = \frac{3 a}{a} = 3$ .

Capcana tipică: 2 este raportul $\frac{A C}{A B}$ ; BD conține trei segmente egale cu AB.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile AOB și BOC, adiacente suplementare, semidreapta OD este bisectoarea unghiului AOB și măsura unghiului BOC este de 40°. Măsura unghiului BOD este egală cu:

70° ✓ răspuns corect
60°
40°
30°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiurile sunt suplementare: m(∢AOB) = 180° − 40° = 140°.
OD este bisectoarea unghiului AOB: m(∢BOD) = 140° : 2 = 70°.

Capcana tipică: Bisectoarea împarte unghiul AOB, nu unghiul BOC.

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 cm și AC = 6 cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. Lungimea segmentului BM este egală cu:

3 cm
4 cm
5 cm ✓ răspuns corect
6 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: AM = AC : 2 = 3 cm.
În triunghiul dreptunghic BAM: $B M = \sqrt{A B^{2} + A M^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5$ cm.

Capcana tipică: Folosește AM = 3 cm, nu AC = 6 cm (cu AC ai calcula ipotenuza BC).

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 6 cm și BC = 3 cm. Bisectoarea unghiului BAD intersectează latura DC în punctul P. Măsura unghiului APB este egală cu:

135°
90° ✓ răspuns corect
60°
45°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: m(∢DAP) = 45°, deci triunghiul ADP este dreptunghic isoscel: DP = AD = 3 cm și m(∢DPA) = 45°.
PC = 6 − 3 = 3 cm = BC, deci și triunghiul PCB este dreptunghic isoscel: m(∢CPB) = 45°.
m(∢APB) = 180° − 45° − 45° = 90°.

Capcana tipică: Pentru unghiul CPB trebuie arătat întâi că PC = BC = 3 cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 2 cm, unde AB și CD sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul C la dreapta AD este egală cu:

2 cm
$2 \sqrt{2}$ cm ✓ răspuns corect
$2 \sqrt{3}$ cm
4 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: CD este diametru, deci unghiul CAD este înscris în semicerc: m(∢CAD) = 90°, adică CA ⊥ AD.
Distanța de la C la dreapta AD este CA. În triunghiul dreptunghic AOC (OA = OC = 2 cm): $C A = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ cm.

Capcana tipică: Distanța nu este raza (2 cm): piciorul perpendicularei din C pe AD este chiar punctul A.

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD, cu baza ABCD și VA = AB = 4 cm. Aria laterală a piramidei VABCD este egală cu:

16 cm²
$16 \sqrt{2}$ cm²
$16 \sqrt{3}$ cm² ✓ răspuns corect
32 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Muchiile laterale sunt egale cu laturile bazei, deci fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale cu latura de 4 cm.
Aria unei fețe: $\frac{4^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$ cm²; aria laterală: $4 \cdot 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$ cm².

Capcana tipică: 16 cm² este aria bazei, nu aria laterală.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu 6 km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi 50% din distanța parcursă în primele două zile. a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte 50% din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi 9 km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

Vezi rezolvarea

a) Dacă în primele două zile turistul ar parcurge 50% din traseu, atunci în a treia zi ar parcurge 50% din 50%, adică 25% din lungimea traseului. În total ar parcurge doar $50 % + 25 % = 75 %$ din traseu, nu 100%. Deci nu este posibil.

b) În a treia zi a parcurs 9 km, adică jumătate din distanța primelor două zile, deci în primele două zile a parcurs $2 \cdot 9 = 18$ km. Notăm cu $x$ distanța din prima zi: $x + (x - 6) = 18$ , deci $2 x = 24$ și $x = 12$ km. În prima zi turistul a parcurs 12 km.

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (2 x - 1)^{2} - (2 x - 4) (x + 2)

+ (x + 3)^{2}

, unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 3 x^{2} + 2 x + 18

, pentru orice număr real

x

. b) Demonstrează că numărul natural

A = E (n) + n

este multiplu de 6, pentru orice număr natural

n

Vezi rezolvarea

a) Folosim formulele de calcul prescurtat:

E (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1 - (2 x^{2} - 8)

+ x^{2} + 6 x + 9

= 3 x^{2} + 2 x + 18.

b) $A = 3 n^{2} + 2 n + 18 + n$ $= 3 n^{2} + 3 n + 18$ $= 3 (n^{2} + n + 6)$ . Dar $n^{2} + n + 6 = n (n + 1) + 6$ , iar $n (n + 1)$ este produsul a două numere naturale consecutive, deci este par; atunci $n^{2} + n + 6$ este par. Rezultă că $A = 3 \cdot (număr par)$ este multiplu de 6, pentru orice număr natural $n$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x - 2

. a) Arată că

f (3) - f (- 3) = 6

. b) În sistemul de axe ortogonale xOy, determină distanța de la punctul

C (- 2, 0)

la reprezentarea grafică a funcției

f

Vezi rezolvarea

a) $f (3) = 3 - 2 = 1$ și $f (- 3) = - 3 - 2 = - 5$ , deci $f (3) - f (- 3) = 1 - (- 5) = 6$ .

b) Graficul intersectează axa Ox în $A (2, 0)$ (din $f (x) = 0$ ) și axa Oy în $B (0, - 2)$ . În triunghiul ABC: $A C = 4$ , iar înălțimea din B este $O B = 2$ , deci $A_{A B C} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ . Din triunghiul dreptunghic AOB, $A B = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ . Scriem aria și cu baza AB:

A_{A B C} = \frac{A B \cdot d (C, A B)}{2}

\Rightarrow d (C, A B)

= \frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{2}}

= 2 \sqrt{2} .

Distanța de la C la graficul funcției este $2 \sqrt{2}$ .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu AB = 3 cm și înălțimea AD, unde punctul D se află pe latura BC. Punctul M aparține laturii AB, astfel încât AM = 1 cm. Paralela prin punctul M la dreapta AC intersectează dreapta AD în punctul Q și dreapta BC în punctul P. a) Arată că perimetrul triunghiului BMP este egal cu 6 cm. b) Determină lungimea segmentului PQ.

Vezi rezolvarea

a) BM = AB − AM = 2 cm. Cum $M P ∥ A C$ , unghiurile triunghiului BMP sunt egale cu ale triunghiului ABC (unghiuri corespondente), deci triunghiul BMP este echilateral, cu latura BM = 2 cm. $P_{B M P} = 3 \cdot B M = 6$ cm.

b) AD este înălțime, deci și mediană în triunghiul echilateral ABC: BD = 1,5 cm. BP = BM = 2 cm, deci DP = BP − BD = 0,5 cm. Triunghiul DPQ este dreptunghic în D, cu m(∢DPQ) = 60°, deci m(∢PQD) = 30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: $P Q = 2 \cdot D P = 1$ cm.

Problema 5 (5 puncte)

Se consideră trapezul isoscel ABCD, cu

A B ∥ C D

, măsura unghiului ADC este egală cu 120° și AD = DC = 6 cm. Dreapta MP este mediatoarea segmentului BC, unde punctul M aparține dreptei AB și punctul P aparține dreptei BC. a) Arată că AB = 12 cm. b) Demonstrează că dreptele DM și MP sunt perpendiculare.

Vezi rezolvarea

a) Ducem $D E ⊥ A B$ și $C F ⊥ A B$ , cu E, F pe AB. Unghiul DAB are 180° − 120° = 60°, deci în triunghiul dreptunghic ADE: m(∢ADE) = 30° și $A E = \frac{A D}{2} = 3$ cm. Trapezul fiind isoscel, BF = AE = 3 cm. DCFE este dreptunghi, deci EF = DC = 6 cm. Atunci AB = AE + EF + FB = 3 + 6 + 3 = 12 cm.

b) M este pe mediatoarea lui BC, deci MB = MC; cum m(∢MBC) = m(∢ABC) = 60°, triunghiul MBC este isoscel cu un unghi de 60°, deci echilateral: MB = BC = 6 cm. Mediatoarea MP este și bisectoare: m(∢BMP) = 30°. Cum AM = AB − MB = 6 cm = AD și m(∢DAM) = 60°, triunghiul AMD este echilateral, deci m(∢AMD) = 60°. Punctele A, M, B sunt coliniare, deci

m (∢ D M P) = 180 ° - (60 ° + 30 °)

= 90 °,

adică $D M ⊥ M P$ .

Problema 6 (5 puncte)

Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′, cu

A B = 6 \sqrt{2}

cm. a) Arată că volumul cubului ABCDA′B′C′D′ este egal cu

432 \sqrt{2}

cm³. b) Determină distanța de la punctul O la planul (BDD′), unde O este punctul de intersecție a dreptelor AD′ și A′D.

Vezi rezolvarea

a) $V = A B^{3} = (6 \sqrt{2})^{3} = 216 \cdot 2 \sqrt{2} = 432 \sqrt{2}$ cm³.

b) Fie ${Q} = A C \cap B D$ și M mijlocul segmentului D′Q. O este mijlocul lui AD′ (diagonalele pătratului ADD′A′ se înjumătățesc), deci OM este linie mijlocie în triunghiul AD′Q: $O M ∥ A Q$ și $O M = \frac{A Q}{2}$ . Dar $A Q ⊥ B D$ (diagonalele pătratului ABCD sunt perpendiculare) și $A Q ⊥ D D^{'}$ (DD′ este perpendiculară pe planul bazei); cum BD și DD′ sunt concurente în D, rezultă $A Q ⊥ (B D D^{'})$ , deci și $O M ⊥ (B D D^{'})$ . Prin urmare d(O, (BDD′)) = OM.

A Q = \frac{A C}{2}

= \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}

= 6 cm,

deci $O M = \frac{A Q}{2} = 3$ cm. Distanța cerută este 3 cm.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Evaluare Națională 2021 matematică — subiectele rezolvate

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie plană)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie în spațiu)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională