Test 2 antrenament EN 2022 matematică

Test 2 din seria oficială de teste de antrenament pentru Evaluarea Națională 2022 la matematică, rezolvat pas cu pas: cei 12 itemi grilă din Subiectele I și II, plus cele 6 probleme din Subiectul al III-lea, rezolvate complet conform baremului oficial. Încearcă întâi să răspunzi singur, apoi deschide rezolvarea. Poți rezolva același test și interactiv, cu scor instant.

Rezolvă testul online →

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Câtul împărțirii cu rest a numărului natural 35 la numărul natural 15 este egal cu:

1
2 ✓ răspuns corect
3
5

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $35 = 15 \cdot 2 + 5$ , cu restul 5 mai mic decât 15, deci câtul este 2.

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Numărul care reprezintă 1/4 din 60 este egal cu:

15 ✓ răspuns corect
60
120
240

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ .

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Suma numerelor întregi negative din intervalul (−4; 5] este egală cu:

9
5
−6 ✓ răspuns corect
−10

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Numerele întregi negative din intervalul (−4; 5] sunt −3, −2, −1 (−4 nu aparține intervalului, deschis la stânga). Suma: $- 3 - 2 - 1 = - 6$ .

Capcana tipică: Dacă incluzi și −4 obții −10, dar capătul −4 este exclus.

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este:

8,(5); 8,55; 17/2; 161/20
8,55; 8,(5); 17/2; 161/20
161/20; 8,(5); 8,55; 17/2
161/20; 17/2; 8,55; 8,(5) ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $\frac{161}{20} = 8, 05$ , $\frac{17}{2} = 8, 5$ , 8,55 și $8, (5) = 8,555 \dots$ Ordinea crescătoare: $\frac{161}{20}; \frac{17}{2}; 8, 55; 8, (5)$ .

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Patru elevi, Aurel, Călin, Dragoș și Victor, calculează produsul numerelor reale a = 2√7 − 5 și b = 2√7 + 5 și obțin rezultatele: Dragoș = √3, Călin = 3, Aurel = 2√7, Victor = 9. Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect produsul numerelor este:

Dragoș
Călin ✓ răspuns corect
Aurel
Victor

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $a \cdot b = (2 \sqrt{7} - 5) (2 \sqrt{7} + 5) = (2 \sqrt{7})^{2} - 5^{2} = 28 - 25 = 3$ . Rezultatul corect l-a obținut Călin.

Capcana tipică: $(2 \sqrt{7})^{2} = 4 \cdot 7 = 28$ , nu 14.

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Un pieton se deplasează cu viteza de 6 km pe oră. Afirmația: „Pietonul, păstrând constantă viteza de deplasare, a parcurs 10 km în 60 de minute." este:

adevărată
falsă ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Cu 6 km pe oră, în 60 de minute (o oră) pietonul parcurge 6 km, nu 10 km. Afirmația este falsă.

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, punctele A, B, C, D și E sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB = 2 cm, BD = 7 cm, CD = 4 cm și CE = 9 cm. Lungimea segmentului AE este egală cu:

5 cm
9 cm
12 cm
14 cm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: BC = BD − CD = 7 − 4 = 3 cm, deci AE = AB + BC + CE = 2 + 3 + 9 = 14 cm.

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, dreptele paralele a și b sunt intersectate de secanta d, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de 55° și respectiv 2x + 35°. Valoarea lui x este de:

10
20
45 ✓ răspuns corect
50

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Conform figurii, unghiurile de $2 x + 35 °$ și de 55° sunt suplementare (dreptele a și b sunt paralele): $2 x + 35 ° + 55 ° = 180 °$ , deci $2 x = 90 °$ și $x = 45$ .

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC de bază BC. Unghiul B are măsura de 75° și AB = 4 cm. Aria triunghiului ABC este egală cu:

4 cm² ✓ răspuns corect
4√3 cm²
8 cm²
16 cm²

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Triunghiul este isoscel, deci m(∢C) = 75° și m(∢A) = 30°. Înălțimea din B pe AC se opune unghiului de 30° în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza AB = 4 cm, deci are 2 cm. $A = \frac{A C \cdot 2}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ cm².

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu măsura unghiului ABC de 120° și lungimea segmentului BD egală cu 4 cm. Perimetrul triunghiului ABD este egal cu:

16 cm
8√3 cm
12 cm ✓ răspuns corect
4√3 cm

Vezi rezolvarea

Rezolvare: În romb, m(∢BAD) = 180° − 120° = 60° și AB = AD, deci triunghiul ABD este echilateral, cu latura BD = 4 cm. Perimetrul este 12 cm.

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

În figura alăturată, punctele A, B și C sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază BC, înscris în cercul de centru O, iar măsura unghiului AOC este egală cu 140°. Măsura unghiului BAC este egală cu:

40° ✓ răspuns corect
70°
80°
140°

Vezi rezolvarea

Rezolvare: Unghiul înscris ABC subîntinde arcul AC, care are 140° (unghiul la centru AOC), deci m(∢ABC) = 70°. Triunghiul este isoscel cu baza BC, deci m(∢ACB) = 70° și m(∢BAC) = 180° − 140° = 40°.

Capcana tipică: Nu confunda unghiul la centru (140°) cu unghiul înscris (70°).

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Diagonala paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB = 4 dm, BC = 3 dm și înălțimea AA' = 5 dm, este egală cu:

5 dm
√34 dm
√41 dm
5√2 dm ✓ răspuns corect

Vezi rezolvarea

Rezolvare: $d = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} + A A^{' 2}} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ dm.

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

La Subiectul al III-lea se cer rezolvări complete. Enunțurile sunt cele din subiectul oficial (Testul 2), iar rezolvările de mai jos urmează pașii din baremul oficial; orice altă soluție corectă primește punctajul integral.

Problema 1 (5 puncte)

Ionel împarte pe rând numărul natural

n

la 3, 9, respectiv 15 și obține de fiecare dată restul 2. a) Este posibil ca numărul natural

n

să fie egal cu 38? Justifică răspunsul dat. b) Determină cel mai mare număr natural

n

de două cifre, care îndeplinește condițiile din enunț.

Vezi rezolvarea

a) $38 = 15 \cdot 2 + 8$ , deci la împărțirea lui 38 la 15 restul este 8. Cum $8 \neq 2$ , nu este posibil ca $n$ să fie egal cu 38.

b) $n = 3 c_{1} + 2 = 9 c_{2} + 2 = 15 c_{3} + 2$ , cu $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ numere naturale, deci $n - 2$ se divide cu 3, cu 9 și cu 15. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 9 și 15 este 45, deci $n - 2$ este multiplu de 45: $n - 2 \in {0, 45, 90, 135, \dots}$ , adică $n \in {2, 47, 92, 137, \dots}$ . Cel mai mare număr de două cifre este $n = 92$ .

Problema 2 (5 puncte)

Se consideră expresia

E (x) = (2 x + 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} - 4 (2 x^{2} + 3 x),

unde

x

este număr real. a) Arată că

E (x) = 2 - 12 x

, pentru orice număr real

x

. b) Determină numerele naturale

a

pentru care

- 10 a + 2 - E (a) \leq 2 \sqrt{3}

Vezi rezolvarea

E (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 4 x^{2} - 4 x + 1 - 8 x^{2} - 12 x

= 2 - 12 x,

pentru orice număr real $x$ .

b) $E (a) = 2 - 12 a$ , deci $- 10 a + 2 - E (a) = - 10 a + 2 - 2 + 12 a = 2 a$ . Inecuația devine $2 a \leq 2 \sqrt{3}$ , adică $a \leq \sqrt{3} \approx 1, 73$ . Cum $a$ este număr natural, obținem $a = 0$ sau $a = 1$ .

Problema 3 (5 puncte)

Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 2 x + 4

. a) Arată că

f (- \frac{1}{2}) - f (\frac{1}{2}) = - 2

. b) Calculează distanța de la originea O(0, 0) a sistemului de axe ortogonale xOy la reprezentarea grafică a funcției

f

Vezi rezolvarea

a) $f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 4 = 3$ și $f (\frac{1}{2}) = 1 + 4 = 5$ , deci $f (- \frac{1}{2}) - f (\frac{1}{2}) = 3 - 5 = - 2$ .

b) Graficul intersectează axele în $A (- 2, 0)$ (din $f (x) = 0$ ) și $B (0, 4)$ (din $f (0) = 4$ ). Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu OA = 2 și OB = 4, deci $A B = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}$ . Distanța de la O la dreapta AB este înălțimea din O:

d (O, A B) = \frac{O A \cdot O B}{A B} = \frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} .

Problema 4 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 4 cm și BC = 3 cm. Punctul E este mijlocul segmentului CD și F este punctul de intersecție a dreptelor BE și AC. a) Arată că

B E = \sqrt{13}

cm. b) Determină lungimea segmentului FP, unde P este punctul de intersecție a dreptelor DF și BC.

Vezi rezolvarea

a) E este mijlocul lui CD și CD = AB = 4 cm, deci CE = 2 cm. Triunghiul BCE este dreptunghic în C: $B E = \sqrt{B C^{2} + C E^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ cm.

b) $A B ∥ C E$ , deci $△ A B F \sim △ C E F$ și $\frac{B F}{E F} = \frac{A B}{C E} = 2$ . Așadar F se află pe mediana BE a triunghiului BCD, la două treimi de vârful B: F este centrul de greutate al triunghiului BCD. Atunci DF trece prin mijlocul laturii BC, adică P este mijlocul lui BC, CP = 1,5 cm, și $F P = \frac{1}{3} \cdot D P$ .

Triunghiul PCD este dreptunghic în C: $D P = \sqrt{D C^{2} + C P^{2}} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ cm, deci

F P = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{\sqrt{73}}{6} cm .

Problema 5 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, în care AC = 8 cm și BC = 10 cm. Punctul M se află pe latura AB astfel încât MB = 2 cm. a) Arată că AM = 4 cm. b) Arată că suma distanțelor de la punctele A și B la dreapta CM este mai mare decât

\frac{16}{3}

cm.

Vezi rezolvarea

a) Triunghiul ABC este dreptunghic în A: $A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{100 - 64} = 6$ cm, deci AM = AB − MB = 6 − 2 = 4 cm.

b) Triunghiul AMC este dreptunghic în A: $C M = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ cm. Aria triunghiului ABC se descompune în ariile triunghiurilor AMC și BMC, care au baza comună CM:

A_{A B C} = \frac{C M \cdot (d (A, C M) + d (B, C M))}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 {cm}^{2} .

Deci $d (A, C M) + d (B, C M) = \frac{48}{C M}$ . Cum $C M = \sqrt{80} < \sqrt{81} = 9$ , obținem

d (A, C M) + d (B, C M) = \frac{48}{C M} > \frac{48}{9} = \frac{16}{3} cm .

Problema 6 (5 puncte)

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră VABCD cu baza pătratul ABCD, AB = 6 cm. Înălțimea VO a piramidei are lungimea egală cu 4 cm, unde O este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. a) Arată că aria laterală a piramidei VABCD este egală cu 60 cm². b) Calculează distanța de la punctul Q la planul (VAD), unde Q este mijlocul segmentului OC.

Vezi rezolvarea

a) Fie M mijlocul segmentului AD. Atunci $O M = \frac{A B}{2} = 3$ cm, iar triunghiul VOM este dreptunghic în O: $V M = \sqrt{O M^{2} + V O^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm (apotema piramidei). Atunci

A_{ℓ} = \frac{P_{A B C D} \cdot V M}{2} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60 {cm}^{2} .

b) Ducem $O S ⊥ V M$ , $S \in V M$ . Avem $V M ⊥ A D$ și $O M ⊥ A D$ , deci $A D ⊥ (V O M)$ ; cum $O S \subset (V O M)$ , $O S ⊥ A D$ . Din $O S ⊥ V M$ și $O S ⊥ A D$ rezultă $O S ⊥ (V A D)$ .

Fie $Q T ⊥ (V A D)$ , $T \in (V A D)$ . Atunci $O S ∥ Q T$ , iar punctele A, S și T sunt coliniare (A, O, Q sunt pe dreapta AC). Din $△ A O S \sim △ A Q T$ : $\frac{O S}{Q T} = \frac{A O}{A Q}$ . Cum $A O = 3 \sqrt{2}$ cm și $A Q = A O + \frac{O C}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ cm, raportul este $\frac{2}{3}$ .

O S = \frac{V O \cdot O M}{V M} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} cm, Q T = \frac{3}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{18}{5} cm .

Deci d(Q, (VAD)) = $\frac{18}{5}$ cm = 3,6 cm.

Exersează acest test cu scor instant →

← Toate subiectele EN rezolvate (2021–2026)

Test 2 de antrenament — Evaluare Națională 2022 matematică, rezolvat

Itemul 1 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 2 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 3 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 4 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 5 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 6 (Subiectul I · Algebră)

Itemul 7 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 8 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 9 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 10 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 11 (Subiectul II · Geometrie)

Itemul 12 (Subiectul II · Geometrie)

Subiectul al III-lea — rezolvări complete

Problema 1 (5 puncte)

Problema 2 (5 puncte)

Problema 3 (5 puncte)

Problema 4 (5 puncte)

Problema 5 (5 puncte)

Problema 6 (5 puncte)

Evaluare Națională